´Episode I : Int´egration bonus

UNIVERSIT ´E MONTESQUIEU BORDEAUX IV 2^`emeann´ee Licence Eco-Gestion

Semestre 1 2013/2014

´Episode I : Int´egration bonus

E

XERCICE

1

Justifier l’existence des int´egrales suivantes puis les calculer : I1=

1

Z

−1

(t+ 1)(t+ 2)²dt=34

3 , I2=

4

Z

0

√x x−2√ x

dx=−16

5 , I3=

2

Z

1

3^udu= 6

ln(3), I4=

4

Z

1

1 y√

ydy= 1,

I5=

1

Z

0

(2z−1) exp(z²−z)dz= 0, I6=

2

Z

1

a²

√1 +a³da= 2−2 3

√

2, I7=

2

Z

1

2√ c

2 + 3c^3/2dc= 4

9ln 2 + 6√ 2 5

! ,

I8=

e

Z

1

(lnb)⁵ b db= 1

6, I9=

(ln 2)/2

Z

0

e^2t

e^2t+ 2dt= 1 2ln

4 3

, I10=

e³

Z

e

ln(3γ)

γ dγ= 2 ln(3) + 4,

I₁₁=

2

Z

0

β⁴exp(−β⁵)dβ= 1 5−1

5e⁻³², I₁₂=

3/2

Z

1/2

1−α

(α²−2α)⁴dα= 0, I₁₃=

2

Z

0

x²(x³+ 1)^3/2dx= 484 15 ,

I₁₄=

1

Z

0

s²⁰⁰⁴

(1 +s²⁰⁰⁵)²⁰⁰⁵ds= 1 2005×2004

1− 1

2²⁰⁰⁴

, I₁₅=

4

Z

1

e⁻

√ζ

√ζ dζ= 2(e−1) e² ,

I₁₆=

4

Z

−4

e^u−e^−u

e^u+e^−udu= 0, I₁₇=

√3

Z

1

exp(−3/v²) v³ dv= 1

6e− 1

6e³, I₁₈=

1

Z

0

y⁴ p3

1 + 7y⁵dy= 9 70

E

XERCICE

2

Calculer les int´egrales suivantes `a l’aide d’une ou de plusieurs int´egrations par parties : A=

1

Z

−1

xe^3xdx= 4

9e⁻³+2

9e³, B=

1

Z

0

(t²+t)e^2tdt= e²

2, Cn=

e

Z

1

uⁿln(u)du=neⁿ⁺¹+ 1 (n+ 1)² ,

D=

e

Z

√e

ln(v) v dv=3

8, E=

4

Z

1

√3slns ds=^√16

3ln(4)−₃^28√₃, F=

1

Z

0

ln(1 + 2t) (1 + 2t)³ dt= 1

9− 1 36ln(3),

G =

e²

Z

1

(2x³+ 1) ln(x)dx = 7

8e⁸+e² + 9

8, H =

1

Z

0

y⁴e^ydy = 9e−24, I =

e

Z

1

z²(lnz)³dz = 4

27e³+ 2 27,

J =

1

Z

0

(3x+ 1)³ln(3x+ 1)dx= 64

3 ln(4)−85 16, K=

e

Z

1

lny dy= 1, L=

2

Z

1

ln

1 +1 t

dt= 3 ln(3)−4 ln(2),

M =

2

Z

1

(1 + 2s) ln

1 + 1 s

ds= 6 ln(3)−8 ln(2) + 1, N =

1/2

Z

0

(1−2x)

r1 +x 1−xdx=3

4

√ 3−1

E

XERCICE

3

Soita∈R^×+.Calculer l’int´egraleI(a) =

1/a

Z

a

lnx x dx a) par int´egration par partie

I(a) = (−ln(a))²−(ln(a))²−I(a) ⇐⇒ I(a) = 0 b) en posant le changement de variablex= 1/t. I(a) =−I(a) ⇐⇒ I(a) = 0

E

XERCICE

4

A l’aide de changement de variables indiqu´es, calculer les int´egrales suivantes : A=

1

Z

0

w√

3w+ 1dw= 116

135 (z= 3w+ 1), B=

e

Z

1

lnt t dt= 1

2 (x= lnt),

C=

1

Z

0

dx

e^x+ 1 = 1−ln(e+ 1) + ln(2) (v=e^x),

PourEetC,utiliser:1/[α(α−1)] = 1/(α−1)−1/αet1/[α(α+ 1)] = 1/α−1/(α+ 1) D=

1

Z

1/2

1 x(x+ 1)ln

x x+ 1

dx= (ln 2)²−(ln 3)²

2 (t= x

x+ 1),

E=

2

Z

1

ds

s(s³+ 1) = 4 ln(2)−2 ln(3)

3 (α=s³+ 1),

F =

0

Z

−1

u³du (u²+ 1)√

u²+ 1 = 2−3 2

√

2 (v=u²+ 1), G=

3

Z

0

t.ln(t²+ 1)

t²+ 1 dt=(ln 10)²

4 (x=t²+ 1)