Lycée Pierre de Fermat 2020/2021
MPSI 1 TD
Polynômes à une indéterminée sur le corps K
Dans tous les exercices et sauf mention du contraire, le corpsKest Q, RouC.
1 Calculs dans l’anneau K [X ] des polynômes à une indéterminée sur le corps K.
⊲ Exercice 1.1.
1. Montrer que (X+X3) Xn k=0
(−1)kX2k
!
=X+ (−1)nX2n+3.
2. Montrer que (X3+X2+X+ 1) X2n k=0
(−1)kXk
!
=X2n+3+X2n+1+X2+ 1.
3. Montrer que pour toutn∈N∗, Xn k=0
n k
3k(1−X)3n−2kXk = (1−X3)n
⊲ Exercice 1.2.
SoitP∈C[X] fixé non nul.
Donner le degré, le coefficient dominant et le coefficient constant de a) P(X3),
b) (P(X))2,
c) P(X+ 1)−P(X),
d) P(2X)−aP(X) poura∈Cfixé quelconque.
2 Divisibilité dans R [X ] ou C [X ] .
⊲ Exercice 2.1.
1. Soitθ∈R. Donner le reste de la division euclidienne de (cosθ+ sinθX)n parX2+ 1.
2. SoitE unR-espace vectoriel non réduit au vecteur nul etf ∈ LR(E) tel que f2+ idE = 0LR(E). Posons g= idE+√
3.f. Justifier que (idE, f) est une base de R[f] puis exprimergn dans cette base en fonction den∈N.
⊲ Exercice 2.2.
Montrer que, pourn>1,nXn+1−(n+ 1)Xn+ 1 est divisible par (X−1)2. Quel est le quotient ?
⊲ Exercice 2.3. SoitP ∈C[X] fixé quelconque.
1. Montrer queP(X)−X diviseP(P(X))−X.
2. Résoudre dansC, (z2−3z+ 1)2= 3z2−8z+ 2. Réponse :{2 +√
3,2−√
3,1−√
2,1 +√ 2}.
⊲ Exercice 2.4. Soient (a, n)∈R∗×N∗.
PosonsA(X) =X2−2Xch(a) + 1 etPn(X) =Xn+1sh(na)−Xnsh((n+ 1)a) + sh(a). Montrer queAdivisePn
dansR[X] et former le quotient en cherchant à factoriserAdans l’expression explicite dePn.
⊲ Exercice 2.5. Formule de Taylor et reste d’une division euclidienne
En utilisant la formule de Taylor, donner le resteRk de la division euclidienne dePn(X) =X3n+1+X3n+X−2 par (X−1)k pourk∈[[1,4]] etn∈N∗.
⊲ Exercice 2.6. Division euclidienne dans Z[X] Pourquoi le théorème de la division euclidienne du cours ne s’applique pas aux polynômes deZ[X] ?
Montrer que si (A, B)∈Z[X]2 et siB est unitaire, alors le quotient et le reste de la division euclidienne deA parB effectuée dansQ[X] sont en fait des polynômes deZ[X].
3 Interpolation
⊲ Exercice 3.1. Déterminer les polynômesP ∈R[X] tels que
P(−1)P(1) = −2, P(1) +P(−1) = 1 .
⊲ Exercice 3.2. SoitP ∈C[X] un polynôme de degréntel que ∀k∈[[0, n]], P(k) = 2k .CalculerP(n+ 1).
4 Racines de Polynômes.
⊲ Exercice 4.1.
SoitP(X) =anXn+an−1Xn−1+. . .+a1X+a0∈C[X] tel quean6= 0 eta06= 0. Soitz0∈Cune racine deP. PosonsA= max{|ak| |06k6n−1} etB= max{|ak| |16k6n}.
1. Montrer que|z0|61 + A
|an|..
2. Montrer que|z0|> 1 1 + B
|a0| ..
3. Localiser les racines deX5−2X2+ 3X−2.
⊲ Exercice4.2. Considérons les polynômes deC[X] définis poura∈CparP =X2−aX+1 etQ=X4−X+a.
1. Donner une CNS sura∈Cpour queP diviseQ.
2. Donner une CNS sura∈Cpour queP etQaient une racine commune.
⊲ Exercice 4.3.
Montrer que, pour toutn∈N∗, le polynômeEn= Xn k=0
Xk
k! n’a que des racines simples dansC(on pourra calculer En+1′ et le relier à un autre polynôme).
⊲ Exercice 4.4.
SoitP∈R[X] un polynôme non constant scindé à racines simples et a∈R∗. 1. Montrer que le polynômePa(X) =P(X)2+a2 n’a aucune racine dansR.
2. Montrer quePa n’a que des racines simples dansC. On pourra essayer de montrer que P′ est scindé à racines simples dansRou utiliser une décomposition classique de P′(x)
P(x) lorsqueP est scindé comme dans l’exercice suivant.
⊲ Exercice 4.5. Localisation des racines du polynôme dérivé.
1. SoitP ∈C[X] de degrén>2 P(X) =a Yn k=1
(X−zk) où a∈C∗ et les (zk)16k6n sont les racines de P répétées avec multiplicité. Montrer que
P′(X) P(X) =
Xn k=1
1 X−zk.
2. En déduire que toute racine deP′ s’exprime comme barycentre à coefficients positifs de racines de P (ce qui signifie que pour tout u ∈ C racine de P′, il existe (α1, . . . , αn) ∈ Rn+ tels que
Xn k=1
αk = 1 et u=
Xn k=1
αkzk).
3. Illustrer le résultat précédent sur un dessin en localisant les racines du polynôme 3X2+ 2(1−i)X−(2 +i) vu comme polynôme dérivé de X3+ (1−i)X2−(2 +i)X + 2i dont on trouvera aisément une forme factorisée en observant que 1 est racine évidente. Vérifier cela en calculant explicitement les racines.
⊲ Exercice 4.6. Soitpun nombre premier.
SoitP=Xp−X ∈Z/pZ[X]
1. Caculer, à l’aide du petit théorème de Fermat, pourx∈Z/pZ,P(x).
2. En déduire la forme factorisée deP.
⊲ Exercice 4.7.
Soient (a, b, c)∈Z3 deux à deux distincts etP ∈Z[X] tel queP(a) =P(b) =P(c) = 2. Montrer que,∀p∈Z, P(p)6= 3.
On pourra utiliser le résultat de l’exercice2.6.
5 Équations fonctionnelles.
⊲ Exercice 5.1.
Résoudre l’équation d’inconnueP∈R[X], pour toutp∈N, (2−X)P′−P=Xp Expliciter la(les) solutions pourp= 0,p= 1 etp= 2.
⊲ Exercice 5.2.
Trouver les polynômesP ∈C[X] tels que (X+ 2)P(X) =XP(X+ 1). On pourra montrer que les racines d’un polynôme non constant solution du problème sont nécessairement 0 et−1.
⊲ Exercice 5.3.
Trouver tous les polynômesP ∈C[X] tels queP(X2) =P(X−1)P(X+ 1).
On pourra en particulier s’intéresser à une racine de module maximal d’un polynômeP non constant satisfaisant l’équation.
⊲ Exercice 5.4.
Trouver tous les polynômesP ∈C[X] tels queP(X2) =P(X)P(X+ 1).
On pourra raisonner géométriquement dans le plan complexe pour montrer que les racines d’un tel polynôme ne peuvent être que 0 ou 1 puis on étudiera les liens entre leurs multiplicités respectives.
6 Relations coefficients racines.
⊲ Exercice 6.1.
Trouver les racines dans C de P = X4+ 12X −5 sachant qu’il possède deux racines dont la somme est 2.
Réponse :{1 + 2i,1−2i,−1 +√
2,−1−√ 2}.
⊲ Exercice 6.2.
SoitP ∈C[X] un polynôme de degrén∈N∗. Montrer que la somme des racines de P, celle des racines de P′, deP′′,..., deP(n−1)forme une suite arithmétique dont on précisera la raison et le premier terme.
⊲ Exercice 6.3.
Considérons le polynômeX3+pX+q∈C[X] ((p, q)∈C×C∗) dont les trois racines sontz1,z2etz3. Calculer 1
z21 + 1 z22+ 1
z32. (Réponse : p2 q2).
⊲ Exercice 6.4.
Soientaetb deux racines distinctes deX3+ 3X2+X+ 1. Calculera2b+ab2+ 3ab. (Réponse : 1).
⊲ Exercice 6.5.
SoitX3+aX2+bX+c ∈C[X] un polynôme dont on notez1, z2 et z3 les racines répétées avec multiplicité.
CalculerS2=z21+z22+z32,S3=z13+z32+z33puisS4=z14+z42+z34en fonction de (a, b, c)∈C3.
⊲ Exercice 6.6. Centrale.SoitX3+aX2+bX+c∈C[X] un polynôme dont on notez1,z2etz3 les racines répétées avec multiplicité. CalculerF = z1
z2+z3
+ z2
z1+z3
+ z3
z1+z2
en fonction de (a, b, c)∈C3.
⊲ Exercice 6.7. Résoudre dansCles systèmes d’inconnues (x1, x2) pour (S1) et (S2), (x1, x2, x2) pour (S3).
(S1)
x1+x2 = −1
x1x2 = −6 , (S2)
x1+x2 = −1
x21+x22 = 5 et (S3)
x1+x2+x3 = 2 x1x2+x1x3+x2x3 = −5
x1x2x3 = −6
⊲ Exercice 6.8.
Déterminer les racines deP(X) =X3−4X2+ 6X−4 dansCsachant qu’une des racines est la somme des deux autres.
⊲ Exercice 6.9. Sommes de Newton Soient (x1, . . . , xn)∈Kn.
Pour toutk∈N∗, notonsSk = Xn i=1
xki.
De plus, si∀i∈[[1, n]],xi6= 0, pourk∈N∗, notonsS−k= Xn i=1
1 xki . 1. ExprimerS2 en fonction des (σi)i∈[[1,n]].
2. ExprimerS−1en fonction des (σi)i∈[[1,n]].
CalculerS−1(P) = 1 x1
+ 1 x2
+ 1 x3
+ 1 x4
si (x1, x2, x3, x4) sont les racines deP = 2X4−6X3+ 6X, puis celles deQ= 2X4−5X3+ 6X+ 1.
3. ExprimerS−2en fonction des (σi)i∈[[1,n]].
7 Factorisation, calcul de sommes et de produits de racines.
⊲ Exercice 7.1.
1. Factoriser les polynômesX4−1 etX4+ 1 dansC[X] puis en déduire leur forme factorisée dansR[X].
2. Factoriser dansC[X] puis dansR[X],H(X) =X5+X4+X3+X2+X+ 1.
3. Factoriser astucieusement et directement dansR[X] les polynômesX12−1 puisX12+ 1 (sans passer par la factorisation dansC[X] du polynôme initial).
⊲ Exercice 7.2.
1. Factoriser dansC[X] le polynômeP(X) = (X+ 1)n−e2inaoùa∈R(n>1).
2. En déduire
nY−1 k=0
sin
a+kπ n
puis montrer que
nY−1 k=1
sin kπ
n
= n
2n−1.
⊲ Exercice 7.3.
1. Factoriser dansC[X] le polynômeP(X) = (X+ 1)n−(X−1)n (n>2).
2. En déduire que∀p∈N∗, Yp k=1
cotan kπ
2p+ 1 = 1
√2p+ 1.
L’indispensable : complétez, démontrez ou infirmez les assertions sui- vantes.
1. Donner les coefficients dominants, constants et le degré des polynômes suivants (n∈N∗),
(X−1)n−(X+ 1)n, (1−X4)5+ (X4−1)4, (1−X3)5+ (X5−1)3, (X2+ 1)3n+1−(X2−1)3n+1. 2. Une application polynomiale à coefficients réels, deRdansR, non identiquement nulle est non bornée sur
Z(et donc surRet C).
3. Le degré du produit de deux polynômes est égal à la somme des degrés.
4. Le degré de la somme de deux polynômes est égal au maximum des degrés de chacun.
5. SoitP ∈R[X] unitaire (i. e. dont le coefficient dominant vaut 1). SiP(0) = 1
2, alorsP ne peut pas avoir que des racines dansZ(l’ensemble de ses racines est considéré dansC).
6. Une fonction polynomiale à coefficients réels, deR dans R, possède-t-elle un DLn(a) en tout a∈ R et pour toutn∈N? Si oui, comment est obtenu leDLn(a) ?
7. Une fonction polynomiale à coefficients réels, deRdansR, possède unDLn(a) de partie principale nulle pour une valeura∈Rfixée et pour un entier n supérieur ou égal au degré de la fonction, alors il s’agit de la fonction nulle.
8. Deux fonctions polynomiales à coefficients réels de degré inférieur ou égal à 13 (resp.p∈N), deRdans R, possèdant le mêmeDL13(√π) (resp.DLp(a), a∈Rfixé quelconque) coïncident surR
9. Une fonction polynomiale paire n’a que des puissances paires.
10. SoitP ∈R[X]. SiP(0) = 1
√2, alorsP ne peut pas avoir que des racines dansQ(l’ensemble de ses racines est considéré dansC).
11. SoitP ∈C[X] scindé à racines dansZ(resp. dansQ,R) alorsP ∈Z[X] (resp.P∈Q[X]),P ∈R[X]).
12. SoitP un polynôme deC[X] tel que P′(X)∈R[X]. Peut-on dire queP ∈R[X] ? 13. Montrer que, siP ∈C[X], P =P ⇐⇒ P ∈R[X].
14. Montrer que C[X] est la somme directe des sous-espaces vectoriels {P ∈ C[X] | P ∈ R[X]} = {P ∈ C[X] | P =P} et de{P ∈ C[X] |P ∈i.R[X]} ={P ∈C[X] | P =−P} (i.R[X] ={P ∈C[X] | ∃R ∈ R[X] :P(X) =i.R(X)}).
15. Considérons, pour (n, a)∈N×Kfixés, la base de Taylor enadeRn[X] :
Tk= (X−a)k k!
k∈[[0, n]]
. À la lumière de la formule de Taylor ena, déterminer la base duale de (T0, . . . , Tn)
16. Donner la somme et le produit des racines deP =X5−3X3+ 7X−1 et deQ=−X3+−2X4+X+ 1.
17. SoitP(X) =aX2+bX+cavec (a, b, c)∈C∗×C2. Construire en fonction dea,betcle polynôme unitaire Adont les racines (répétées avec multiplicité) sont les carrés des racines deP (répétées avec multiplicité) puis le polynome unitaireB dont les racines (répétées avec multiplicité) sont les cubes des racines deP (répétées avec multiplicité).
Vérifier explicitement les résultats théoriques précédents pour les polynômesP = X2+X −2 = (X− 1)(X+ 2) etQ=X2+X+ 1.
18. Considérons, pour (n, a) ∈ N×R fixés, la base de Taylor en a de Rn[X] :
(X−a)k k!
k∈[[0, n]]
. Que dire de cette base pour le produit scalaire Φ défini sur Rn[X] par Φ(P, Q) =
Xn k=0
P(n)(a)Q(n)(a) ? Comment s’interprète alors la formule de Taylor ?
Correction des exercices
⊲ Corrigé de l’exercice 1.1 1. (X+X3)
Xn k=0
(−1)kX2k
!
=X+ (−1)nX2n+3.
• Méthode astucieuse.
(X+X3) Xn k=0
(−1)kX2k
!
= X(1−(−X2)) Xn k=0
(−X2)k
!
= −X((−X2)−1) Xn k=0
(−X2)k×1n+1−k
!
= −X((−X2)n+1−1n+1) en utilisantan+1−bn+1= (a−b) Xn k=0
akbn+1−k poura← −X2,b←1
= X(1−(−1)n+1X2(n+1))
= X+ (−1)nX2n+3
• Méthode standard.
(X+X3) Xn k=0
(−1)kX2k
!
= X(1 +X2) Xn k=0
(−X2)k
!
= X
" n X
k=0
(−1)kX2k+X2 Xn k=0
(−1)kX2k
#
= X
" n X
k=0
(−1)kX2k+ Xn k=0
(−1)kX2k+2
#
= X
" n X
k=0
(−1)kX2k+ Xn k=0
(−1)kX2(k+1)
#
= X
" n X
k=0
(−1)kX2k+
n+1X
i=1
(−1)i−1X2i
#
en posanti=k+ 1
= X
(−1)0X0+ Xn k=1
(−1)kX2k− Xn k=1
(−1)iX2i
| {z }
= 0
−(−1)n+1X2(n+1)
= Xh
1−(−1)n+1X2(n+1)i
= X+ (−1)nX2n+3 2. • Méthode astucieuse.
−1 est une racine évidente deX3+X2+X+ 1 donc ce polynôme se factorise parX+ 1 et après avoir calculé le quotient de la division euclidienne de X3+X2+X + 1 parX + 1, X3+X2+X + 1 = (X+ 1)(X2+ 1). Ainsi,
(X3+X2+X+ 1) X2n k=0
(−1)kXk
!
= (X2+ 1)(X+ 1) X2n k=0
(−1)kXk
!
= (X2+ 1)(X2n+1+ 1)
= X2n+3+X2n+1+X2+ 1.
où nous avons utilisé l’identitéa2n+1+b2n+1= (a+b) X2n k=0
(−1)kakb2n−k
!
valable pouraetb deux éléments d’un anneau qui commutent l’un avec l’autre.Cette identité à connaître se déduit de l’identité fondamentale valable pouruet v deux éléments d’un anneau qui commutent l’un avec l’autre
∀p∈N∗ , up−vp= (u−v)
p−1X
k=0
ukvp−1−k
!
appliquée pourp= 2n+ 1,u=aet v=−b.
• Méthode standard, faire apparaître un phénomène télescopique.
(X3+X2+X+ 1) X2n k=0
(−1)kXk = X2n k=0
(−1)kXk+3+ X2n k=0
(−1)kXk+2+ X2n k=0
(−1)kXk+1+ X2n k=0
(−1)kXk
=
2n+3X
i=3
(−1)i−3Xi+
2n+2X
i=2
(−1)i−2Xi+
2n+1X
i=1
(−1)i−1Xi+ X2n i=0
(−1)iXi
= X2n i=3
(−1)i−3+ (−1)i−2+ (−1)i−1+ (−1)i Xi
+(−1)2n+1−3X2n+1+ (−1)2n+2−3X2n+2+ (−1)2n+3−3X2n+3 +(−1)2−2X2+ (−1)2n+1−2X2n+1+ (−1)2n+2−2X2n+2 +(−1)1−1X+ (−1)2−1X2+ (−1)2n+1−1X2n+1
+(−1)0+ (−1)1X+ (−1)2X2
= X2n+3+X2n+1+X2+ 1.
• Méthode standard améliorée, faire apparaître un phénomène télescopique en regroupant deux à deux les sommes.
(X3+X2+X+ 1) X2n k=0
(−1)kXk = X2n k=0
(−1)kXk+3+ X2n k=0
(−1)kXk+2+ X2n k=0
(−1)kXk+1+ X2n k=0
(−1)kXk
=
2n+1X
j=1
(−1)j+1Xj+2+ X2n k=0
(−1)kXk+2+
2n+1X
i=1
(−1)i−1Xi+ X2n i=0
(−1)iXi
= (−1)2n+2X2n+1+2+ X2n j=1
[(−1)j+1+ (−1)j]
| {z }
= 0
Xj+2+ (−1)0X0+2
+(−1)2n+1−1X2n+1+ X2n i=1
[(−1)i−1+ (−1)i]
| {z }
= 0
Xi+ (−1)0X0
= X2n+3+X2n+1+X2+ 1.
3. Montrer que pour toutn∈N∗, Xn k=0
n k
3k(1−X)3n−2kXk= (1−X3)n
•
Xn k=0
n k
3k(1−X)3n−2kXk = (1−X)n Xn k=0
n k
(3X)k(1−X)2n−k
= (1−X)n(3X+ (1−X)2)n
= (1−X)n(1 +X+X2)n
= (1−X3)n
•
Xn k=0
n k
3k(1−X)3n−2kXk = Xn k=0
n k
(3X(1−X))k(1−X)3n−k
= (3X(1−X) + (1−X)3)n
= (3X−3X2+ 1−3X+ 3X2−X3)n
= (1−X3)n
⊲ Corrigé de l’exercice 1.2 SoitP∈C[X] fixé.
Posonsp= degP ∈N.∃(a0, . . . , ak)∈Cp+1 :P(X) = Xp i=0
aiXiavecap6= 0.
a) b)
c) P(X+ 1)−P(X) = Xp i=0
ai(X+ 1)i− Xp
i=0
aiXi= Xp i=0
ai[(X+ 1)i−Xi] Or,
⋆ pouri= 0, (X+ 1)i−Xi= 1−1 = 0,
⋆ pouri>1, (X+ 1)i−Xi= Xi k=0
i k
Xk−Xi=
i−1
X
k=0
i k
Xk donc
P(X+ 1)−P(X) = Xp i=1
ai i−1
X
k=0
i k
Xk
!
Ainsi,
• le terme dominant est ap
p p−1
Xp−1 =papXp−1, otrap 6= 0 donc P(X + 1)−P(X) est de degré p−1.
• le terme constant est Xp i=1
ai
i 0
X0= Xp i=1
ai ce qui est cohérent avec le fait que le terme constant est l’évaluation en 0 à savoirP(1)−P(0) =
Xp i=0
ai
!
−a0= Xp i=1
ai. d) P(2X)−aP(X) =
Xp i=0
ai(2X)i−a Xp i=0
aiXi= Xp i=0
(2i−a)aiXi. Ainsi,
— le terme qui semble être dominant est (2p−a)ap,
— sia6= 2p, alors le degré estp,
— sia= 2p, alors le terme suivant est (2p−1−a)
| {z } 6= 0
ap−1Xp−1mais pour affirmer que le degré estp−1, il faudrait savoir queap−16= 0, dans le cas contraire il faut s’intéresser aux termes suivants. . . Au final,
— si (a0, . . . , ap−1) = 0Kp, alors P(2X)−aP(X) est le polynôme nul, de degré −∞ et sans coefficient dominant.
— si (a0, . . . , ap−1)6= 0Kp, en posantp′= max{k∈[[0, p−1]]| ak6= 0}, alorsP(2X)−aP(X) est de degrép′ et son coefficient dominant vaut (2p′−a)ap′.
— le terme constant est (20−a)a0= (1−a)a0, ce qui est cohérent avecP(2×0)−aP(0) =a0−aa0= (1−a)a0.
⊲ Corrigé de l’exercice 2.1
1. Le reste d’une division euclidienne parX2+ 1 est un polynôme de degré inférieur ou égal à 1 donc, en effectuant cette division euclidienne dansC[X],
∀n∈N,∃!(Qn, an, bn)∈C[X]×C2 : (cosθ+ sinθX)n= (X2+ 1)Qn+anX+bn.
En particularisant cette identité pour X = i et X = −i, le facteur (X2+ 1)Qn s’annule si bien que einθ = ian + bn
e−inθ = −ian + bn d’oùan= sin(nθ) et bn= cos(nθ).
Remarque :il y aurait un piège correspondant à la tentation de déduire le résultat final directement de la particularisation eni, en disanteinθ =ian+bndoncan = Im(einθ) = sin(nθ) etbn = Re(einθ) = cos(nθ).
En fait cette manipulation est fausse puisque la seule information sur (an, bn) que nous avions était (an, bn) ∈ C2. Toutefois, nous pouvons la rendre juste en disant que, puisque (cosθ +Xsinθ)n et (X2+ 1) sont dansR[X], la division euclidienne peut être effectuée dansR[X] :
∀n∈N,∃!( ˆQn,aˆn,ˆbn)∈R[X]×R2 : (cosθ+Xsinθ)n= (X2+ 1) ˆQn(X) + ˆanX+ ˆbn
Or tout polynôme réel est un polynôme complexe donc par unicité du triplet (Qn, an, bn) dansC[X]×C2, pour toutn∈N,Qn= ˆQn,an= ˆanetbn= ˆbn. Ainsi, (an, bn)∈R2ce qui permet de conclure directement à partir deeinθ=ian+bn.
2. La relationf2=−idEpermet de montrer par une récurrence assez simple que sim= 2p,fm= (−1)midE
et sim= 2p+ 1,fm= (−1)p.f.
• Soith∈R[f] fixé quelconque.
Il existe (pk)k∈N∈R(N) :h=X
k∈N
pkfk.
Par conséquent,
h = X
k∈N k≡0 [2]
pk.fk+ X
k∈N k≡1 [2]
pk.fk
= X
k∈N k≡0 [2]
pk(−1)k/2.idE+ X
k∈N k≡1 [2]
pk(−1)(k−1)/2.f
=
X
k∈N k≡0 [2]
pk(−1)k/2
.idE+
X
k∈N k≡1 [2]
pk(−1)(k−1)/2
.f ∈Vect{idE, f}
Ainsi,R[f]⊂Vect{idE, f}.
Réciproquement, il est immédiat que Vect{idE, f} ⊂Vect{fk|k∈N}=R[f] si bien que R[f] = Vect{idE, f} .
• Soient (a, b)∈R2 fixés quelconques tels que
a.idE+b.f= 0LR(E) (1)
En composant parf à gauche,
a.f +b.f2= 0LR(E)
orf2=−idE donc
a.f−bidE= 0LR(E) (2)
En calculanta.(1)−b.(2), on obtient
2ab.idE= 0LR(E)
E 6={0E} par hypothèse donc∃x0 ∈E : x06= 0E si bien qu’en évaluant en ce vecteur x0 l’identité ci-dessus,
2ab.x0= 0E
orx06= 0E doncab= 0 donca= 0 oub= 0.
Si a= 0, en évaluant (2) enx0,−b.x0= 0E doncb= 0.
Si b= 0 et en évaluant (1) enx0,a.x0= 0E donca= 0.
Par conséquent,a=b= 0 donc (idE, f) est une famille libre, or elle engendreR[f] donc c’est une base deR[f].
• Soientn∈Net θ∈Rfixés quelconques.
Prenons l’image de la relation polynomiale dansR[X]
(cosθ+ sinθ.X)n = (X2+ 1)Qn+ sin(nθ)X+ cos(nθ) par le morphisme deR-algèbres Φf du cours :
(cosθ.idE+ sinθ.f)n= (f2+ idE)
| {z }
= 0LR(E)
◦Qn(f) + sin(nθ).f + cos(nθ).idE
de sorte que
(cosθ.idE+ sinθ.f)n = sin(nθ).f+ cos(nθ).idE
Choisissonsθ=π
3 pour obtenir
∀n∈N, 1
2.idE+
√3 2 .f
n
= sinnπ
3 .f+ cosnπ 3 .idE
donc 1 2n.
idE+√ 3.fn
= sinnπ
3 .f+cosnπ
3 .idEd’où ∀n∈N, gn= 2nsinnπ
3 .f+ 2ncosnπ 3 .idE.
⊲ Corrigé de l’exercice 2.2
• Il suffit de montrer que 1 est racine multiple d’ordre au moins 2 deP(X) =nXn+1−(n+ 1)Xn+ 1 pour conclure que (X−1)2|nXn+1−(n+ 1)Xn+ 1.
Pour cela il suffit de calculerP(1) =. . .= 0 etP′(1) =. . .= 0.
• Pour calculer le quotient, nous allons manipuler astucieusement le polynôme : nXn+1−(n+ 1)Xn+ 1 = n(Xn+1−Xn)−(Xn−1)
= nXn(X−1)−(X−1)
n−1X
k=0
Xk
= (X−1)
n−1
X
k=0
Xn−(X−1)
nX−1 k=0
Xk
= (X−1)
n−1
X
k=0
(Xn−Xk)
= (X−1)
n−1X
k=0
Xk(Xn−k−1)
= (X−1)
n−1X
k=0
Xk(X−1)
n−k−1X
i=0
Xi
= (X−1)2
n−1
X
k=0
Xk
n−Xk−1 i=0
Xi
| {z }
∈R[X] carn>1 Le quotient denXn+1−(n+ 1)Xn+ 1 par (X−1)2 est donc
n−1X
k=0
Xk
n−k−1X
i=0
Xi =
n−1X
k=0 n−k−1X
i=0
Xk+i
=
nX−1 k=0
nX−1 j=k
Xj en posant j=k+i
= X
06k6j6n−1
Xj en posantj =k+i
=
nX−1 j=0
Xj k=0
Xj en permutant les sommes
=
nX−1 j=0
(j+ 1)Xj
Ainsi, le quotient de nXn+1−(n+ 1)Xn+ 1 par (X−1)2 est
n−1X
j=0
(j+ 1)Xj.
⊲ Corrigé de l’exercice 2.3 1. Notons P(X) =
Xn k=0
akXk où n = degP. En remarquant que, pour tout k ∈ N∗, Yk −Xk = (Y − X)(Yk−1+Yk−2X+. . .+Y Xk−2+Yk−1= (Y −X)
k−1X
i=0
YiXk−1−i
! ,
P(P(X))−P(X) = Xn k=0
ak(P(X))k− Xn k=0
akXk = Xn k=1
ak (P(X))k−Xk= (P(X)−X) Xn k=1
ak k−1X
i=0
P(X)iXk−1−i
!
doncP(X)−X diviseP(P(X))−P(X).
Observons alors queP(P(X))−X =P(P(X))−P(X)+P(X)−XdoncP(X)−Xdivise aussiP(P(X))− X.
2. L’équation (z2−3z+ 1)2 = 3z2−8z+ 2 s’écrit (z2−3z+ 1)2−3(z2−3z+ 1) + 1 =z, soit, en notant P(X) =X2−3X+ 1,P(P(z))−z= 0. D’après la question précédente,P(z)−z se met en facteur dans
cette expression :
P(z)2−3P(z) + 1−z = P(z)2−3P(z) + 1−P(z) +P(z)−z
= P(z)2−3P(z) + 1−(z2−3z+ 1)+P(z)−z
= [P(z)2−z2] + [−3P(z)−3z] + [1−1] +P(z)−z
= (P(z)2−z2)−3(P(z)−z) + (1−1) +P(z)−z
= (P(z)−z)(P(z) +z)−3(P(z)−z) + (1−1) + (P(z)−z)
= (P(z)−z) ((P(z) +z)−3 + 1)
= (z2−4z+ 1)(z2−2z−1)
Ainsi, l’ensemble des solutions de l’équationP(P(z))−z= 0 est la réunion des solutions des équationsz2−4z+1 = 0 etz2−2z−1 = 0 à savoir{2 +√
3,2−√
3,1−√
2,1 +√ 2}.
⊲ Corrigé de l’exercice 2.4
• En observant queA= (X−ea)(X−e−a), il semble suffire de montrer queea et e−a sont racines dePn
ce qui est un calcul simple. Toutefois, il y a une petite justification supplémentaire à donner car le lemme de factorisation
P(α) =P(β) = 0⇒(X−α)(X−β)| P requiert l’hypothèseα6=β.
Par conséquent, l’implication
Pn(ea) =Pn(e−a) = 0⇒(X2−2chaX+ 1) |Pn
n’est vraie que siea 6=e−a. Or cette condition est satisfaite si et seulement siea−e−a6= 0, si et seulement si sh(a)6= 0, si et seulement sia6= 0, ce qui est bien le cas ici.
•
Pn = Xn+1sh(na)−Xnsh((n+ 1)a) + sh(a)
= 1
2 h
Xn+1(ena−e−na)−Xn(e(n+1)a−e−(n+1)a) + (ea−e−a)i
= 1
2
(Xea)nX−(Xe−a)nX−(Xea)nea+ (Xe−a)ne−a+ea−e−a
= 1
2
(Xea)n(X−ea)−(Xe−a)n(X−e−a) +ea−e−a
= 1
2
(Xea)n(X−ea)−(Xe−a)n(X−e−a)−(X−ea)+(X−e−a)
= 1
2
((Xea)n−1)(X−ea)−((Xe−a)n−1)(X−e−a)
= 1
2
"
(Xea−1)
n−1
X
k=0
(Xea)k
!
(X−ea)−(Xe−a−1)
nX−1 k=0
(Xe−a)k
!
(X−e−a)
#
= 1
2
"
ea(X−e−a)
n−1X
k=0
(Xea)k
!
(X−ea)−e−a(X−ea)
n−1X
k=0
(Xe−a)k
!
(X−e−a)
#
= 1
2(X−ea)(X−e−a)
"
ea
n−1X
k=0
(Xea)k
!
−e−a
n−1X
k=0
(Xe−a)k
!#
= 1
2A
"nX−1
k=0
(e(k+1)a−e−(k+1)a)Xk
#
= 1
2A
"n−1 X
k=0
2sh((k+ 1)a)Xk
#
= A
n−1
X
k=0
sh((k+ 1)a)Xk
!
⊲ Corrigé de l’exercice 2.5 Soitn∈N∗fixé quelconque.
ExprimonsPn(X) dans la base de Taylor en 1 : Pn(X) = Pn(1) +Pn′(1)(X−1) +Pn′′(1)
2 (X−1)2+Pn(3)(1)
6 (X−1)3+
3n+1X
k=4
Pn(k)(1)
k! (X−1)k
= 1 + (6n+ 2)(X−1) + 18n2
2 (X−1)2+3n(3n−1)(6n−1)
6 (X−1)3+
3n+1X
k=4
Pn(k)(1)
k! (X−1)k
= 1 + (6n+ 2)(X−1) + 18n2
2 (X−1)2+3n(3n−1)(6n−1)
6 (X−1)3+ (X−1)4
3n+1X
k=4
Pn(k)(1)
k! (X−1)k−4
| {z }
∈R[X] Par unicité du quotient et du reste de la division euclidienne dePn(X) par (X−1)k,
⋆ R1(X) = 1,
⋆ R2(X) = 1 + 2(3n+ 1)(X−1),
⋆ R3(X) = 1 + 2(3n+ 1)(X−1) + 9n2(X−1)2,
⋆ R4(X) = 1 + 2(3n+ 1)(X−1) + 9n2(X−1)2+n(3n−1)(6n−1)
2 (X−1)3.
⊲ Corrigé de l’exercice 2.6
Procédons par récurrence sur le degréndeA,B étant fixé.
SoitB∈Z[X] un polynôme non nul unitaire fixé quelconque.
Considérons la propriété P(n) définie pour tout n∈ NparP(n) : “pour toutA ∈Z[X] tel que degA6n, le reste et le quotient de la division euclidienne deAparB effectuée dansQ[X] sont des polynômes deZ[X]”.
• SoitA un polynôme constant.
⋆ Si degB60, alorsB étant unitaire,B = 1 si bien que la division euclidienne deA parB dansQ[X] est A=A×B+ 0. Le reste et le quotient valent respectivement 0 et A, ce sont bien des polynômes deZ[X].
⋆ Si degB >1, la division euclidienne de AparBdansQ[X] estA= 0×B+A. Le reste et le quotient valent respectivementA et 0, ce sont bien des polynômes deZ[X].
doncP(0) est vraie.
• Soitn∈Nfixé quelconque tel queP(n) est vraie.
SoitA∈Z[X] fixé quelconque tel que degA6n+ 1.
— Si degA6n, alors P(n) s’applique si bien que le reste et le quotient de la division euclidienne de A parB sont des polynômes deZ[X].
— Supposons que degA=n+ 1.
⋆ Si degB >n+ 2, la division euclidienne deAparB dansQ[X] est A= 0×B+A. Le reste et le quotient valent respectivementAet 0, ce sont bien des polynômes deZ[X].
⋆ Si degB 6 n+ 1, notons an+1Xn+1 le terme dominant de A (donc an+1 ∈ Z) et posons Ab = A−an+1Xn+1−degBB de sorte que degA <b degA.
Notons respectivementRbet Qble reste et le quotient de la divison euclidienne dansQ[X] deAbpar B :
Ab=BQb+Rb , degR <b degB .
Puisque par construction, degA <b degA, degAb6n, or toujours par construction,Ab∈Z[X] donc la propriétéP(n) s’applique àAbsi bien que
(Q,b R)b ∈Z[X]2. On en déduit que
A=an+1Xn+1−degBB+BQb+Rb= (an+1Xn+1−degB+Q)b
| {z }
∈Q[X]
B+ |{z}Rb
∈Q[X]
avec degR <b degB.
Par unicité du reste et du quotient de la division euclidienne dans Q[X], le reste et le quotient de la division euclidienne de A par B sont respectivementRb et an+1Xn+1−degB+Q. Ces deuxb polynômes sont dansZ[X] (par construction pour le resteR, comme somme de polynômes deb Z[X] pour le quotient).
Ainsi,P(n+ 1) est vraie.
Ainsi, le quotient et le reste de la division euclidienne de toute polynôme deZ[X] par un polynôme deZ[X] unitaire est un polynôme à coefficients entiers.
⊲ Corrigé de l’exercice 3.1 Sur le modèle de l’exercice6.7,
x1x2 = −2
x1+x2 = 1 ⇐⇒ x1 etx2 sont les racines deX2−X−2
Or l’équation x2−x−2 = 0 a pour discriminant 9 donc le trinôme possède deux racines réelles distinctes 1 + 3
2 = 2 et 1−3 2 =−1.
Ainsi le système ci-dessus possède exactement deux solutions qui sont (2,−1) et (−1,2).
On en déduit que
P(−1)P(1) = −2,
P(1) +P(−1) = 1, ⇐⇒
P(1) = −1, P(−1) = 2, ou
P(1) = 2 , P(−1) = −1
⇐⇒ P ∈ {2L0−L1+ (X−1)(X+ 1)A |A∈R[X]} ouP ∈ {−L0+ 2L1+ (X−1)(X+ 1)B |B∈R[X]} où (L0, L1) est la base d’interpolation de Lagrange en les points−1 et 1 si bien que
L0= X−1
−2 =−1
2(X−1), L1= X+ 1
2 = 1
2(X+ 1) L’ensemble des solutions est donc
−3 2X+1
2+ (X−1)(X+ 1)A|A∈R[X]
∪ 3
2X+1
2 + (X−1)(X+ 1)B |B∈R[X]
⊲ Corrigé de l’exercice 3.2
Un polynôme de degré inférieur ou égal à n dont on connaît les valeurs en au moins (n+ 1) points deux à deux distincts est connu de manière unique ! Pour le “reconstituer”, il suffit d’utiliser l’interpolation polynomiale de Lagrange.
Introduisons la base d’interpolation de Lagrange en les (n+ 1) points{0,1, . . . , n} :
∀i∈[[0, n]], Li(X) = Yn
j=0 j6=i
(X−j) Yn
j=0 j6=i
(i−j)
Dans cette base,P(X) = Xn i=0
P(i)Li(X) si bien qu’en observant que, pour touti∈[[0, n]],
Li(n+ 1) = Yn
j=0 j6=i
(n+ 1−j) Yn
j=0 j6=i
(i−j)
=
(n+ 1)!
(n+ 1−i)
i!(−1)n−i(n−i)! = (−1)n−i
n+ 1 i
,
d’où
P(n+ 1) = Xn i=0
P(i)Li(n+ 1) = Xn i=0
2i(−1)n−i
n+ 1 i
= −
Xn i=0
2i(−1)n+1−i
n+ 1 i
+ 2n+1(−1)n+1−(n+1)
n+ 1 n+ 1
−2n+1
!
= −(2−1)n+1+ 2n+1
= 2n+1−1.
⊲ Corrigé de l’exercice 4.1 SoitP(X) =anXn+an−1Xn−1+. . .+a1X+a0 ∈C[X] tel quean 6= 0 et a06= 0. Soitz0∈Cune racine de P. PosonsA= max{|ak| | 06k6n−1}et B= max{|ak| |16k6n}.
1. ⋆ si|z0|61, alors|z0|6161 + A
|an|.
