Une fonction polynôme de degré 3 Le moteur de recherche de Google permet de tracer la représentation graphique de n’importe quelle fonction.

Douine – Terminale S – Chapitre 2 – Etude des fonctions

Travaux pratiques Page 1

Une fonction polynôme de degré 3 Le moteur de recherche de Google permet de tracer la représentation graphique de n’importe quelle fonction.

On a représenté ci-contre une copie d’écran après avoir rentré dans la barre de recherche l’expression du polynôme de degré 3 : ^{f x}  

^x

^x

.

Etude de la fonction

Démontrer que l’équation

 

f x

admet trois solutions : une solution x

située dans l’intervalle



 , une solution x

située dans l’intervalle



 et une solution x

située dans l’intervalle  

Etude d’un algorithme

On propose ci-dessous les lignes de programmation d’un algorithme. Le but est de déterminer à

quoi sert cet algorithme, de décrire précisément son fonctionnement, puis de l’utiliser.

Douine – Terminale S – Chapitre 2 – Etude des fonctions

Travaux pratiques Page 2

Localisation de la première solution comprise entre -2 et -1

Compléter les cases vides de ce tableau permettant de suivre l’état des variables à chaque étape de l’algorithme. Utiliser un tableur pour automatiser les calculs et effectuer une copie d’écran.

m p a _{b b a}

Etape 0 / / -2 -1 1

Etape 1 ? ? ? ? ?

Etape 2 ? ? ? ? ?

Etape 3 ? ? ? ? ?

Etape 4 ? ? ? ? ?

Etape 5 ? ? ? ? ?

Etape 6 ? ? ? ? ?

Etape 7 ? ? ? ? ?

Localisation de la deuxième solution comprise entre 0 et 1

Compléter les cases vides de ce tableau permettant de suivre l’état des variables à chaque étape de l’algorithme. Utiliser un tableur pour automatiser les calculs et effectuer une copie d’écran.

m p a _{b b a}

Etape 0 / / 0 1 1

Etape 1 ? ? ? ? ?

Etape 2 ? ? ? ? ?

Etape 3 ? ? ? ? ?

Etape 4 ? ? ? ? ?

Etape 5 ? ? ? ? ?

Etape 6 ? ? ? ? ?

Etape 7 ? ? ? ? ?

Localisation de la troisième solution comprise entre 1 et 2

Compléter les cases vides de ce tableau permettant de suivre l’état des variables à chaque étape de l’algorithme. Utiliser un tableur pour automatiser les calculs et effectuer une copie d’écran..

m p a _{b b a}

Etape 0 / / 1 2 1

Etape 1 ? ? ? ? ?

Etape 2 ? ? ? ? ?

Etape 3 ? ? ? ? ?

Etape 4 ? ? ? ? ?

Etape 5 ? ? ? ? ?

Etape 6 ? ? ? ? ?

Etape 7 ? ? ? ? ?

Amplitude de l’encadrement

En sept étapes, quelle est l’amplitude d’encadrement de la solution que l’on réussit à obtenir ? Modification de l’algorithme

Reprendre et programmer l’algorithme précédent afin d’obtenir, à une amplitude donnée, un

encadrement de la racine d’une fonction. On contrôlera la validité de cet algorithme en le faisant

tourner pour obtenir un encadrement au millième près des trois racines du polynôme de degré 3.

Douine – Terminale S – Chapitre 2 – Etude des fonctions

Travaux pratiques Page 3

Equation de la tangente à une courbe On considère ci-contre la courbe

représentative d’une fonction

. On a tracé la tangente   ^T à la courbe au point A d’abscisse a . Démontrer que l’équation de la tangente   ^T est de la forme :

    

y

f

a x a

f a

Méthode de Newton

Le schéma proposé ci-contre illustre le procédé mis en place par Newton pour déterminer une valeur approchée de la racine  d’une fonction : à partir d’un point d’abscisse x

de la courbe, on trace la tangente à la courbe qui coupe l’axe des abscisses en x

, à partir du point d’abscisse x

de la courbe, on trace la tangente à la courbe qui coupe l’axe des abscisses en x

, et on réitère cette opération…

Analyse de cette méthode

On note ^{f x}   l’expression algébrique d’une fonction, ^f

  ^x l’expression algébrique de la dérivée de cette fonction, x

l’abscisse d’un point de la courbe, x

l’intersection de la tangente à la courbe en x

avec l’axe des abscisses, x

l’intersection de la tangente à la courbe en x

avec l’axe des abscisses, …, x

l’intersection de la tangente à la courbe en x

avec l’axe des abscisses.

Sauriez-vous exprimer x

en fonction de x

? Sauriez-vous exprimer x

en fonction de x

? Sauriez-vous exprimer x

en fonction de x

?

Ecriture d’un algorithme

A l’aide du travail mathématique effectué ci-dessus, programmer un algorithme permettant de déterminer, pour un nombre d’itérations donné, la valeur approchée de la racine d’une fonction.

On contrôlera la validité de cet algorithme en le faisant tourner pour obtenir une valeur approchée des trois racines du polynôme de degré 3.

Cet algorithme est-il plus ou moins rapide que l’algorithme de dichotomie ?