i , →j , Åk ) est un repère quelconque

Première S2 Chapitre 22 : feuilles annexes. page n ° 1 2007 2008

1 Repérage dans l'espace.

Exemple 1 : ABCD est un tétraèdre.

( B ;

→

i , ^→j , Åk ) est un repère quelconque.

Exemple 2 : ABCDEFGH est un pavé droit.

( A ;

→

i , ^→j , Åk ) est un repère orthogonal.

Exemple 3 : ABCDEFGH est un cube.

( D ; ^→i , ^→j , Åk ) est un repère orthonormé.

Dans un repère ( O ;

→

i , ^→j , Åk ) donné, si Åu et Åv ont pour coordonnées ( x ; y ; z ) et ( x' ; y' ; z ' ) Les coordonnées de la somme des deux vecteurs Åu + Åv sont ( x + x' ; y + y' ; z + z' ).

Les coordonnées du produit du vecteur Åu par un réel k sont ( k x ; k y ; k z ).

M ( x ; y ; z ) signifie que ÄOM = x Åi + y Åj + z Åk . Åu = Å0 ⇔ x = y = z = 0.

L'égalité de deux vecteurs se traduit par Åu = Åv ⇔ x = x' et y = y' et z = z'.

Les coordonnées d'un vecteur ÄAB sont ( x_B− x_A ; y_B− y_A ; z_B− z_A )

Les coordonnées du milieu I du segment [ AB ] sont données par les formules : x_I =

2 x

x_A+ _B y_I = 2

y

y_A+ _B z_I = 2

z z_A+ _B

La norme d'un vecteur Åu dans un repère orthonormé est donnée par la formule u = x²+y²+z² La distance entre deux points dans un repère orthonormé est donnée par la formule

AB = (x_B−x_A)²+(y_B−y_A)²+(z_B−z_A)².

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2 Equations cartésiennes de plans.

Soit P le plan passant par le point C ( 0 ; 0 ; c ) et parallèle au plan ( x O y ).

Soit M ( x ; y ; z ) un point quelconque de l'espace.

Alors ÄCM = ÄCO + ÄOM = ÄOM − ÄOC = x Åi + y Åj + z Åk − c Åk Or ( C ; Åi , Åj ) est un repère du plan P.

Donc M est un point du plan P si et seulement si il existe deux réels α et β tels que ÄCM = α Åi + β Åj M ∈ P ⇔ α Åi + β Åj = x Åi + y Åj + z Åk − c Åk ⇔ α = x et β = y et 0 = z − c

Donc z = c est une équation du plan P.

3 Equation cartésienne d'une sphère.

Soit R un réel strictement positif.

Soit O un point de l'espace.

La sphère de centre O et de rayon R est l'ensemble des points M de l'espace tels que OM = R.

Soit M ( x ; y ; z ).

Alors M ∈ S ⇔ OM = R ⇔ OM² = R² ⇔ x² + y² + z² = R².

Donc une équation cartésienne de la sphère de centre O et de rayon R est : x² + y² + z² = R² 4 Equation cartésienne d'un cylindre de révolution.

Soit C le cylindre de révolution d'axe ( Oz ) et de rayon R.

Soit M ( x ; y ; z ) un point quelconque de l'espace.

Soit H son projeté orthogonal sur l'axe ( Oz ).

Alors H ( 0 ; 0 ; z ).

Or M ∈ C ⇔ HM = R ⇔ HM² = R²

⇔ ( x − 0 )² + ( y − 0 )² + ( z − z )² = R² ⇔ x² + y² = R².

Première S2 Chapitre 22 : feuilles annexes. page n ° 3 2007 2008

5 Equation cartésienne d'un cône de révolution.

Soit C le cône de révolution de sommet O d'axe ( Oz ) dont chaque génératrice forme un angle aigu θ avec l'axe

∆ ( 0 < θ < 90 ° ).

Notons C ' le cône privé du point O. Soit M un point quelconque de l'espace de cordonnées ( x ; y , z ).

Soit H son projeté sur l'axe ( Oz ). Alors H ( 0 ; 0 ; z ).

M ∈ C ' ⇔ HOM = θ.Æ

Or le triangle HOM est un triangle rectangle en H. Donc l'angle HOM est un angle aigu.Æ Or deux angles aigus sont égaux si et seulement si leurs tangentes sont égales.

Donc M ∈ C ' ⇔ tan ( HOM ) = tan ( Æ θ ) ⇔ tan² ( HOM ) = tan ² ( Æ θ ) . ( car la tangente d'un angle aigu est positive ).

Or tan ( HOM ) = Æ opp adj = HM

HO .

Donc M ∈ C ' ⇔ HM² = HO² tan ² ( θ ) ⇔ ( x − 0 )² + ( y − 0 )² + ( z − z )² = z² tan ² ( θ )

⇔ x² + y² = z² tan ² ( θ ) . Si x = y = z = 0 alors cette relation est vérifiée.

Donc M ∈ C ⇔ x² + y² = z² tan ² ( θ ) .