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La fonction f est croissante sur l'intervalle

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

Première STG Chapitre 11 : feuilles annexes. Page n ° 1 2007 2008

1 Fonction croissante.

Exemples :

1 ) Trouvons les intervalles où la fonction f, donnée par la courbe ci dessus est croissante.

La fonction f est croissante sur l'intervalle [ - 3 ; 0 ] et sur l'intervalle [ 2 ; 4 ].

2 ) f est la fonction définie sur par f ( x ) = 3x − 4.

Traçons la courbe représentative de f et démontrons que f est une fonction strictement croissante sur . f ( x2 )

f ( x1 )

x1 x2

Soient x1 et x2 deux réels tels que x1 < x2.

( pour démontrer que f est strictement croissante, nous devons démontrer que f ( x1 ) < f ( x2 ) c'est à dire nous allons déterminer le signe de la différence f ( x1 ) − f ( x2 ). )

f ( x1 ) − f ( x2 ) = 3x1 − 4 − ( 3x2 − 4 ) = 3x1 − 4 − 3x2 + 4 = 3 ( x1 − x2 ).

or x1 < x2 donc x1 − x2 < 0 et 3 > 0.

Donc f ( x1 ) − f ( x2 ) < 0 ⇔ f ( x1 ) < f ( x2 ) . Donc f est une fonction strictement croissante sur [ 0 ; + ∞ [.

(2)

Première STG Chapitre 11 : feuilles annexes. Page n ° 2 2007 2008

2 Fonction décroissante.

Exemples

3 ) Trouvons les intervalles où la fonction f est décroissante.

f est décroissante sur l'intervalle [ - 5 ; - 3 ] et sur l'intervalle [ 0 ; 2 ].

4 ) f ( x ) = 1

x . Démontrons que f est strictement décroissante sur ] - ∞ ; 0 [.

x1 x2

f ( x1 )

f ( x2 )

Soient x1 et x2 deux réels de l'intervalle ] - ∞ ; 0 [ tels que x1 < x2.

( pour démontrer que f est strictement décroissante, nous devons démontrer que f ( x1 ) > f ( x2 ) c'est à dire nous allons déterminer le signe de la différence f ( x1 ) − f ( x2 ). )

f ( x1 ) − f ( x2 ) = 1 x1 − 1

x2 =

2 1

1 2

x x

x x

×

or x1 < x2 donc x2− x1 > 0 et x1× x2 > 0.

Donc f ( x1 ) − f ( x2 ) > 0 ⇔ f ( x1 ) > f ( x2 ) .

Donc f est une fonction strictement décroissante sur ] - ∞ ; 0 [.

Autre méthode soient a et b deux réels de ] − ∞ ; 0 [ tels que a < b alors a ab < b

ab ⇔ 1 b < 1

a . Donc f est strictement décroissante sur ] −∞ ; 0 [.

(3)

Première STG Chapitre 11 : feuilles annexes. Page n ° 3 2007 2008

3 Tableau de variation.

Exemple : déterminons le sens de variation de la fonction f donnée par la courbe ci dessous La fonction f est strictement décroissante sur l'intervalle ] − ∞ ; − 1 [.

La fonction f est strictement croissante sur l'intervalle ] − 1 ; + ∞ [.

Dressons le tableau de variation de cette fonction.

x −∞ − 1 +∞

f

− 3 4 Recherche d'extremums.

(4)

Première STG Chapitre 11 : feuilles annexes. Page n ° 4 2007 2008

5 Equation f ( x ) = k.

Exemple :

Soit f une fonction définie sur l'intervalle [ - 5 ; 4 ] dont on donne le tableau de variation :

x −5 - 3 0 2 4

2 3 5

f

- 2 1

Démontrons que l'équation f ( x ) = 1 admet une unique solution dans l'intervalle [ - 5 ; - 3 ].

f est une fonction strictement décroissante sur l'intervalle [ -5 ; - 3 ].

f ( - 5 ) = 2 et f ( - 3 ) = - 2.

Or 1 ∈ [ - 2 ; 2 ].

D'après le théorème du cours, l'équation f ( x ) = 1 admet une unique solution dans l'intervalle [ - 2 ; 2 ].

Autre façon d'apprendre le cours :

x a α b

f ( b )

f f ( α )

f ( a )

x a α b

f ( a )

f f ( α )

f ( b )

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