Première STG Chapitre 11 : feuilles annexes. Page n ° 1 2007 2008
1 Fonction croissante.
Exemples :
1 ) Trouvons les intervalles où la fonction f, donnée par la courbe ci dessus est croissante.
La fonction f est croissante sur l'intervalle [ - 3 ; 0 ] et sur l'intervalle [ 2 ; 4 ].
2 ) f est la fonction définie sur par f ( x ) = 3x − 4.
Traçons la courbe représentative de f et démontrons que f est une fonction strictement croissante sur . f ( x2 )
f ( x1 )
x1 x2
Soient x1 et x2 deux réels tels que x1 < x2.
( pour démontrer que f est strictement croissante, nous devons démontrer que f ( x1 ) < f ( x2 ) c'est à dire nous allons déterminer le signe de la différence f ( x1 ) − f ( x2 ). )
f ( x1 ) − f ( x2 ) = 3x1 − 4 − ( 3x2 − 4 ) = 3x1 − 4 − 3x2 + 4 = 3 ( x1 − x2 ).
or x1 < x2 donc x1 − x2 < 0 et 3 > 0.
Donc f ( x1 ) − f ( x2 ) < 0 ⇔ f ( x1 ) < f ( x2 ) . Donc f est une fonction strictement croissante sur [ 0 ; + ∞ [.
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2 Fonction décroissante.
Exemples
3 ) Trouvons les intervalles où la fonction f est décroissante.
f est décroissante sur l'intervalle [ - 5 ; - 3 ] et sur l'intervalle [ 0 ; 2 ].
4 ) f ( x ) = 1
x . Démontrons que f est strictement décroissante sur ] - ∞ ; 0 [.
x1 x2
f ( x1 )
f ( x2 )
Soient x1 et x2 deux réels de l'intervalle ] - ∞ ; 0 [ tels que x1 < x2.
( pour démontrer que f est strictement décroissante, nous devons démontrer que f ( x1 ) > f ( x2 ) c'est à dire nous allons déterminer le signe de la différence f ( x1 ) − f ( x2 ). )
f ( x1 ) − f ( x2 ) = 1 x1 − 1
x2 =
2 1
1 2
x x
x x
×
−
or x1 < x2 donc x2− x1 > 0 et x1× x2 > 0.
Donc f ( x1 ) − f ( x2 ) > 0 ⇔ f ( x1 ) > f ( x2 ) .
Donc f est une fonction strictement décroissante sur ] - ∞ ; 0 [.
Autre méthode soient a et b deux réels de ] − ∞ ; 0 [ tels que a < b alors a ab < b
ab ⇔ 1 b < 1
a . Donc f est strictement décroissante sur ] −∞ ; 0 [.
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3 Tableau de variation.
Exemple : déterminons le sens de variation de la fonction f donnée par la courbe ci dessous La fonction f est strictement décroissante sur l'intervalle ] − ∞ ; − 1 [.
La fonction f est strictement croissante sur l'intervalle ] − 1 ; + ∞ [.
Dressons le tableau de variation de cette fonction.
x −∞ − 1 +∞
f
− 3 4 Recherche d'extremums.
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5 Equation f ( x ) = k.
Exemple :
Soit f une fonction définie sur l'intervalle [ - 5 ; 4 ] dont on donne le tableau de variation :
x −5 - 3 0 2 4
2 3 5
f
- 2 1
Démontrons que l'équation f ( x ) = 1 admet une unique solution dans l'intervalle [ - 5 ; - 3 ].
f est une fonction strictement décroissante sur l'intervalle [ -5 ; - 3 ].
f ( - 5 ) = 2 et f ( - 3 ) = - 2.
Or 1 ∈ [ - 2 ; 2 ].
D'après le théorème du cours, l'équation f ( x ) = 1 admet une unique solution dans l'intervalle [ - 2 ; 2 ].
Autre façon d'apprendre le cours :
x a α b
f ( b )
f f ( α )
f ( a )
x a α b
f ( a )
f f ( α )
f ( b )