Première S2 Soutien n ° 2 : exemple de corrigé. 2007 2008
Soit la fonction f telle que : f ( x ) =
2 x
6 x 2
² x 2 ++ +
− . Soit Cf sa représentation graphique dans un repère ( O ; Åi , Åj ).
1. D = ] − ∞ ; − 2 [ U ] − 2 ; + ∞ [.
2. Soit x ∈ D et soit x ≠ 0 alors f ( x ) =
2 x
6 x 2
² x 2 ++ +
− = − 2x × x 1 2
² x
3 x 1 1
+
−
− .
Or xlim→−∞− 2x = + ∞ et
−∞
→
xlim ( 1 − 1 x −
²
x3 ) = 1 et
−∞
→
xlim ( 1 + 2
x ) = 1 donc xlim f ( x ) = + ∞ .→−∞
Et xlim→+∞− 2x = − ∞ et
+∞
→
xlim ( 1 − 1 x −
²
x3 ) = 1 et
+∞
→
xlim ( 1 + 2
x ) = 1 donc xlim f ( x ) = − ∞ .→+∞
2
x 2
xlim
−
<−
→ ( − 2x² + 2x + 6 ) = − 6 et
2
x 2
xlim
−
<−
→ ( x + 2 ) = 0 et x < − 2 donc x + 2 < 0 donc
2
x 2
xlim
−
<−
→ f ( x ) = + ∞.
2
x 2
xlim
−
>−
→ ( − 2x² + 2x + 6 ) = − 6 et
2
x 2
xlim
−
>−
→ ( x + 2 ) = 0 et x > − 2 donc x + 2 > 0 donc
2
x 2
xlim
−
>−
→ f ( x ) = − ∞.
La droite d'équation x = − 2 est une asymptote verticale à la courbe de f.
3. Trouvons trois réels a, b et c tels que : ∀ x ∈ D , f ( x ) = ax + b + 2 x
c+ .
Soit x ≠ − 2 alors ax + b + 2 x
+c =
2 x
c b 2 bx ax 2
²
ax+ ++ + + =
2 x
6 x 2
² x 2 ++ +
−
⇔ a = − 2 et 2a + b = 2 et 2b + c = 6 ⇔ a = − 2 et b = 6 et c = − 6
donc f ( x ) = − 2x + 6 − 2 x
6+ .
4. Démontrons que le point I ( - 2 ; 10 ) est centre de symétrie pour Cf. soit x ∈ tel que − 2 − x ∈ D et − 2 + x ∈ D
soit donc x ∈ tel que − 2 − x ≠ − 2 et − 2 + x ≠ − 2 soit donc x ∈ tel que x ≠ 0
alors f ( − 2 − x ) + f ( − 2 + x ) = − 2 ( − 2 − x ) + 6 −
2 x 2
6+
−
− + ( − 2 ) ( − 2 + x ) + 6 −
2 x 2
6+ +
−
= 4 + 4x + 6 + 6
x + 4 − 4x + 6 − 6 x = 20 or 20
2 = 10.
Donc I ( − 2 ; 10 ) est le centre de symétrie de C.
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