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E1
ABC est un triangle.
I est le milieu du segment [ AB ].
K et L sont les points tels que ÄBK = 3
5 ÄBC et ÄAL = 3 ÄAC . 1.
2. a ) ÄIL = ÄIA + ÄAL = - 1
2 ÄAB + 3 ÄAC b ) ÄIK = ÄIB + ÄBK = 1
2 ÄAB + 3
5 ÄBC = 1
2 ÄAB + 3
5 ÄBA + 3
5 ÄAC = - 1
10 ÄAB + 3 5 ÄAC c ) Déduisons en que les points I, J et K sont alignés.
10 ÄIK = - ÄAB + 6 ÄAC et 2 ÄIL = - ÄAB + 6 ÄAC donc 10 ÄIK = 2 ÄIL . Donc les vecteurs ÄIK et ÄIL sont colinéaires.
Donc les points I, K et L sont alignés.
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E2 Question 1
Le coefficient directeur de la droite ( T ) est égal à − 1. Donc f ' ( 1 ) = − 1. Seule la réponse c ) est correcte.
Question 2
D'après le texte, la droite d'équation y = 0 est asymptote à la courbe ( C ) en + ∞ cela signifie que
+∞
→
xlim f ( x ) = 0 ce qui correspond à la réponse a ). On peut dire aussi que
0 xlim
→ f ( x ) = f ( 0 ) ≈ 2,7.
Et que
4 xlim
→ f ( x ) = f ( 4 ) ≈ 0,25. Et enfin que
−∞
→
xlim f ( x ) = − ∞ d'après la courbe.
E3 Partie A Soit g la fonction définie sur [ 0 ; + ∞ [ par g ( x ) = x3 + 2x − 12.
1. xlim x→+∞ 3 = + ∞ et
+∞
→
xlim ( 2x − 12 ) = + ∞ donc
+∞
→
xlim g ( x ) = + ∞.
Soit x ∈ [ 0 ; + ∞ [ alors g ' ( x ) = 3x² + 2. Alors pour tout x ≥ 0, g ' ( x ) > 0.
Donc la fonction g est strictement croissante sur [ 0 ; + ∞ [.
Tableau de variation
x 0 +∞
signe de g ′ +
+ ∞ g
− 12 2. g ( 2 ) = 8 + 4 − 12 = 0.
Soit x ∈ [ 0 ; 2 [ alors g est strictement croissante sur [ 0 ; 2 [ ce qui signifie que 0 ≤ x < 2 entraîne g ( 0 ) ≤ g ( x ) < g ( 2 ). Donc pour x ∈ [ 0 ; 2 [, g ( x ) < 0.
Soit x ∈ ] 2 ; + ∞ [ alors g est strictement croissante sur ] 2 ; + ∞ [ cela signifie que 2 < x entraîne g ( 2 ) < g ( x ) . Donc pour x ∈ ] 2 ; + ∞ [ , g ( x ) > 0.
Partie B Soit f la fonction définie sur ] 0 ; + ∞ [ par f ( x ) =
² x
6 x 2
² x x3+ − +
. 1. Soit x ∈ ] 0 ; + ∞ [ alors x + 1 +
² x
6 x 2 +
− =
² x
² x ) 1 x
( + × +
² x
6 x 2 +
− =
² x
6 x 2
² x x3+ − +
= f ( x ).
Donc pour tout x élément de ] 0 ; + ∞ [ : f ( x ) = x + 1 +
² x
6 x 2 +
− 2.
0 x
lim→ ( x + 1 ) = 1 et
0 xlim
→ ( − 2x + 6 ) = 6 et
0 x
lim→ x² = 0 et x² > 0.
Donc
0 xlim
→ x² 6 x 2 +
− = + ∞ d'où
0 xlim
→ f ( x ) = + ∞
+∞
→
xlim ( x + 1 ) = + ∞ et
² x
6 x 2 +
− =
² x
x
−2 +
² x6 = − 2
x + ²x6 donc
+∞
→
xlim ( − 2
x ) = 0 et xlim→+∞
² x6 = 0 Donc
+∞
→
xlim f ( x ) = + ∞ .
3. Soit x ∈ ] 0 ; + ∞ [ alors f est une fonction dérivable en tant que quotient de deux fonctions dérivables sur ] 0 ; + ∞ [ et f ' ( x ) = 4 3
x
) 6 x 2
² x x ( x 2
²) x )(
2 x 2
² x 3
( + − − + − +
pour tout x > 0.
Le numérateur de f ' ( x ) est donc égal à 3x4 + 2x3 − 2x² − 2x4 − 2x3 + 4x² − 12x = x4 + 2x² − 12x.
Ainsi x3× f ' ( x ) = x3× ( x4 + 2x² − 12x ) × 4
x1 = x3 +2x − 12 = g ( x ).
Donc pour tout x élément de ] 0 ; + ∞ [ on a : f ' ( x ) = 3 x
) x (
g .
Sur ] 0 ; + ∞ [ on peut dire que x3 > 0.
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Et d'après la partie A, pour x ∈ [ 0 ; 2 [, g ( x ) < 0 et pour x ∈ ] 2 ; + ∞ [ g ( x ) > 0 et g ( 2 ) = 0.
Donc pour x ∈ [ 0 ; 2 [, f ' ( x ) < 0 et pour x ∈ ] 2 ; + ∞ [ f' ( x ) > 0 et f' ( 2 ) = 0.
Tableau de signes de f '
x 0 2 +∞
f ' ( x ) − 0 +
4. Soit x ∈ ] 0 ; 2 [ alors f ' ( x ) < 0 donc f est strictement décroissante sur ] 0 ; 2 [.
Soit x ∈ ] 2 ; + ∞ [ alors f ' ( x ) > 0 donc f est strictement croissante sur ] 2 ; + ∞ [.
Tableau de variation de f
x 0 2 +∞
signe de f ′ − 0 +
+ ∞ + ∞
f
3,5 f ( 2 ) = ( 8 + 4 − 4 + 6 ) / 4 = 7
2
5. D'après la question 1, pour tout x de ] 0 ; + ∞ [ on a f ( x ) = x + 1 +
² x
6 x 2 +
− On sait que
+∞
→ xlim
² x
6 x 2 +
− = 0 donc au voisinage + ∞ la courbe de f se rapproche
de la droite d'équation y = x + 1.
Autrement dit la droite ( D ) d'équation y = x + 1 est asymptote à la courbe C. f ( x ) − ( x + 1 ) =
² x
6 x 2 +
−
Or − 2x + 6 = 0 ⇔ − 2x = − 6 ⇔ x = 3.
x 0 3 +∞
− 2x + 6 + 0 −
x² 0 + +
f ( x ) − ( x + 1 ) + 0 −
Donc pour x ∈ ] 0 ; 3 [ f ( x ) − ( x + 1 ) > 0 cad f ( x ) > x + 1 donc C est au dessus de ( D ).
Donc pour x ∈ ] 3 ; + ∞ [ f ( x ) − ( x + 1 ) < 0 cad f ( x ) < x + 1 donc C est en dessous de ( D ).
6. Une équation de la tangente ( T ) à C au point d'abscisse 1 est donnée par la formule : y = f ' ( 1 ) ( x − 1 ) + f ( 1 ).
Or f ' ( 1 ) = g ( 1 ) = 1 + 2 − 12 = − 9 Et f ( 1 ) = 1 + 1 − 2 + 6 = 6.
Donc une équation de ( T ) est y = − 9 ( x − 1 ) + 6 = − 9x + 9 + 6 = − 9x + 15.
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7.
( D )
( T ) C
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
-1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
-1 -2
0 1
1
x y
