Corrigé devoir surveillé N°3

(1)

STS AB1

Corrigé devoir surveillé N°3

09/02/2006

A. Résolution d’une équation différentielle

1. Les solutions de l’équation différentielle(E0):y ^′+y= 0 sont les fonctions défines surRpary0=ke⁻^x aveckun réel.

2. La fonction h définie sur R par h(x) = axe⁻^x est une solution particulière de (E) si et seulement si h^′+h= e⁻^x.

h^′+h= e^−x

⇔ ae^−x−axe^−x+axe^−x= e^−x

⇔ ae^−x= e^−x

⇔ a= 1

La fonctionhdéfinie sur Rparh(x) =xe^−x est une solution particulière de(E).

3. Les solutions de l’équation différentielle(E)s’obtiennent en ajoutant aux solutions générales de l’équation différentielle homogène (E0)une solution particulière de(E).

Les solutions de (E)sonty=ke⁻^x+xe⁻^x= (x+k)e⁻^xaveckun réel.

4. Commef est une solution de(E)elle est donc de la formef(x) = (x+k)e⁻^x avecf(0) = 2.

D’où 2 =ket f est définie surRparf(x) = (x+ 2)e^−x. B. Étude d’une fonction

1. les limites def en−∞et+∞. On sait que lim

x→−∞e^−x= +∞et que lim

x→−∞(x+ 2) =−∞d’où lim

x→−∞f(x) =−∞. On sait que lim

x→+∞2e⁻^x= 0et que lim

x→−∞xe⁻^x= lim

x→−∞

x

e^x = lim

x→−∞

1

e^x x

= 0.

(cf formulaire . lim

x→+∞

e^x

x^α = +∞pour α >0) d’où lim

x→+∞f(x) = 0.

On en déduit que la courbe C_f admet l’axe des abscisses comme asymptote.

2. On a pour toutxdeR:

f^′(x) = e^−x+ (x+ 2)×(−e^−x) f^′(x) = (1−x−2)e^−x

f^′(x) = (−x−1)e^−x f^′(x) =−(x+ 1)e^−x.

3. Comme l’exponentielle est positivef^′(x)est du signe de −(x+ 1).

• f^′ est strictement positive sur l’intervalle x∈]− ∞;−1[;

• f^′ s’annule pour x=−1;

• f^′ est strictement négative sur l’intervallex∈]−1; +∞[.

On en déduit que la fonctionf :

• est strictement croissante sur l’intervallex∈]− ∞;−1[;

• admet un maximun local pour x=−1qui vautf(−1) = e(f^′ s’annule en changeant de signe) ;

• est strictement décroissante sur l’intervallex∈]−1; +∞[.

C. Calcul intégral

1. Il suffit de dériver la fonction F pour toutx∈Ron a : F(x) =−(x+ 3)e⁻^x F^′(x) =−e⁻^x+ (x+ 3)e⁻^x F^′(x) = (x+ 3−1)e⁻^x F^′(x) = (x+ 2)e⁻^x F^′(x) =f(x) F est bien un primitive def.

typeset by L^ATEX

(2)

STS AB1