Résolution équation différentielle linéaire ordre 1

NOM : ENONCE FEUILLE-REPONSE Respecter les consignes

Soit l’équation différentielle ¹y ' y e^2t sin 3t 2

+ = − + (G), les fonctions étant définies sur R.

1) Donner la forme générale des solutions de l’équation homogène (H) associée à (G). On obtient, yh(t) = kg(t) où k est une constante et g une fonction à préciser.

2) Recherche d’une solution particulière y1 de l’équation ¹y ' y e^2t 2

+ = − , notée (1), de la forme k(t)g(t) où g est la fonction trouvée en 1).

a) Ecrire l’équation différentielle vérifiée par la fonction k.

b) Ecrire une solution particulière y1

de (1)

3) Recherche d’une solution particulière y2 de l’équation ¹y ' y sin 3t

2 + = , notée (2), de la forme (a cos3t + b sin3t) où a et b sont des constantes réelles.

a) Les nombres a et b sont solutions d’un système d’équations. Ecrire ce système.

b) Ecrire la solution de ce système.

c) Ecrire alors la solution y2.

4) Ecrire une solution particulière de (G), en justifiant le résultat à l’aide de théorèmes clés.

5) Ecrire alors les

solutions de l’équation (G) en justifiant le résultat à l’aide de théorèmes clés.

Eléments pour un corrigé.

Soit l’équation différentielle ¹y ' y e^2t sin 3t 2

+ = − + (G), les fonctions étant définies sur R.

1) Donner la forme générale des solutions de l’équation homogène (H) associée à (G). On obtient, yh(t) = kg(t) où k est une constante et g une fonction à préciser.

Sur R, yh(t) = ke^-2t (k constante réelle)

2) Recherche d’une solution particulière y1 de l’équation ¹y ' y e^2t 2

+ = − , notée (1), de la forme k(t)g(t) où g est la fonction trouvée en 1).

a) Ecrire l’équation différentielle vérifiée par

la fonction k. Sur R, k’(t) = 2 (ou sur R, ^{k’ t 1}

( )

2 = , ou …)

b) Ecrire une solution particulière y1 de (1) Sur R, y1(t) = 2te^-2t 3) Recherche d’une solution particulière y2 de l’équation ¹y ' y sin 3t

2 + = , notée (2), de la forme (a cos3t + b sin3t) où a et b sont des constantes réelles.

a) Les nombres a et b sont solutions d’un

système d’équations. Ecrire ce système. 3

a b 1 2

a 3b 0

2

− + =



 + =



b) Ecrire la solution de ce système. _{6 4}

13 13;

− 

 

 

c) Ecrire alors la solution y2.

Sur R, y2(t) = 6 4 cos 3t sin 3t

13 13

− +

4) Ecrire une solution particulière de (G), en justifiant le résultat à l’aide de théorèmes clés.

Par exemple : soit yp une solution particulière de (G) ; de 2)b) et 3)c), on déduit (th.1) sur R, yp(t) = 2te^-2t 6cos 3t 4sin 3t

13 13

− + .

Th.1 (dit de superposition des solutions) : Soit a(t)y’ + b(t)y = f1(t) + f2(t) une équation différentielle. Si y1 est une solution particulière de a(t)y’ + b(t)y = f1(t) et si y2 est une solution particulière de a(t)y’ + b(t)y = f2(t), alors y1 + y2 est une solution particulière a(t)y’ + b(t)y = f1(t) + f2(t).

5) Ecrire alors les solutions de l’équation (G) en justifiant le résultat à l’aide de théorèmes clés.

De 1) et 4), on en déduit (th.2) les solutions y de (G) :

sur R, y(t) = 2te^-2t 6cos 3t 4sin 3t

13 13

− + + ke^-2t, (k

constante réelle).

Th.2 : Soit y’ + q(t)y = f(t) (G) une équation différentielle linéaire du premier ordre où q et f sont continues et y1 une solution particulière de (G).

y est une solution de (G) si et seulement si y est la somme d’une solution de l’équation homogène associée à (G) et de y1.