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1S/Devoirs/C90 Corrigé.docx/1804
Première S
Corrigé du devoir de mathématiques du 13/04/18
Exercice 1 : Applications directes du cours
1) Soit 3
2 a < b. Alors, en multipliant par –36 : –24 –36a > –36b, puis en ajoutant 24 :
0 24 – 36a > 24 – 36b, puis en élevant au carré des réels négatifs : 0 (24 – 36a)2 < (24 – 36b)2.
Ceci prouve que la fonction définie par f(x) = (24 – 36x)2 est strictement croissante sur [
3
2, [.
2) AB
) 6 ( 18
15
51 =
24
36 , et OC
46
69 . det(AB, OC) = 36 46 – 24 69 = 0
Les vecteurs AB et OC sont colinéaires.
3) Sur les 100 tirages équiprobables, trois donnent un produit égal à 36 : 4 9, 6 6 et 9 4.
La probabilité cherchée vaut donc 100
3 .
4) Soit X cette variable aléatoire : Sa loi est donnée par le tableau :
xi 1 4 9 16 25 36
pi
6 1
6 1
6 1
6 1
6 1
6 1 E(X) =
6
1(1 4 9 16 25 36) = 6 91.
5)
2
7 40
2,8, arrondi à 3 (3 tours).
7 40
– 3 2 = – 7 2
.
Exercice 2
1) v1 = 4
1 et v2 = 7 1. 2) v1 – v0 = –
4
3 v2 – v1 = – 28
3 : la différence entre deux termes consécutifs n’est pas constante, donc la suite (vn) n’est pas arithmétique.
3) Au vu des valeurs des premiers termes, (vn) semble strictement décroissante.
4) u2 = 7 et v3 = 10
1 , donc u3 = 10.
5) un 1 un =
1
1
n
v – vn
1 =
n n
v v 3 1
– vn
1 =
n n
v v 3 = 3.
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6) (un) est donc une suite arithmétique de premier terme u0 = 1 et de raison 3, donc pour tout n ℕ, un = 1 3n.
Comme un = vn
1 , vn = un
1 . donc vn = n 3 1
1
.
7) (un) est strictement croissante car sa raison 3 est strictement positive.
Donc (vn), son inverse, est strictement décroissante.
Exercice 3
Partie A : Étude d’une fonction
1) a) En développant, (x 3)2(3 – x) = (x2 6x 9)(3 – x) = x3 – 3x2 9x 27.
b) f ’(x) = –3x2 – 6x 9 = 3(x2 2x – 3) = 3(x – 1)(x 3).
2) f ’(x) est du signe de a = 3 < 0, sauf entre ses racines 3 et 1.
f est croissante là où f ’ est positive, et décroissante là où f ’ est négative.
Enfin, f(3) = 0 et f(1) = 32, d’où le tableau :
x 3 1 +
) ( ' x
f – –
) (x f
3) Sur [0, 1], f est strictement croissante et f(0) = 27 et f(1) = 32.
Sur [1, 3], f est strictement décroissante et f(1) = 32 et f(3) = 0.
Finalement, sur [0, 3], 0 f(x) 32..
4) Selon la formule : y = f ’(a)(x – a) f(a), avec a = 2, f(a) = 25 et f ’(2) = –15 : y = 15x 55.
Partie B : Application
1) petite base = 2x, grande base = 6 et hauteur = 2 9x2
, donc l’aire du trapèze ABNM est :
2 2 )9 6 2 (
x2
x
= 2
2 ) 3 )(
3 )( 3 (
2 x x
x
= 2 ) (x f .
2) D’après l’étude effectuée dans la
Partie A
, cette aire, dont les variations sont les mêmes que celles de f, est maximale pour x = 1, et vaut alors2
32 = 16 u.a.
0 0
0
32
