G111 Deux très vieilles pièces de monnaie[*** à la main]
Daniel Collignon, Pierre Henri Palmade et Claude Morin ont répondu au problème Solution de Daniel Collignon
Si |x|<1, alors rappelons que : somme(k>=0 ; x^k) = 1/(1-x)
somme(k>=1 ; k*x^(k-1)) = 1/(1-x)^2
La traduction des probabilités ou espérances en équation ne pose aucun problème : 1/ somme(k>=1 ; p(1-q)[(1-q)(1-p)]^(k-1)) = p(1-q) / (1-(1-p)(1-q)) = 3/5
(cette égalité implique que p<>0, q<>1, q<>0 et si p=1, alors q=2/5) 2/ somme(k>=1 ; k*pq(1-pq)^(k-1)) = 1 / pq = A entier
(cette égalité implique que A<>0 et p<>1)
3/ somme(k>=1 ; k*(1-p)(1-q)(1-(1-p)(1-q))^(k-1)) = 1 / (1-p)(1-q) = B entier (cette égalité implique que B<>0)
4/ somme(k>=1 ; p(1-q)[pq]^(k-1)) = p(1-q) / (1-pq)
1/ => 5p(1-q) = 3(p+q-pq) => 2p = 3q + 2pq 3/ => p+q-pq = (B-1) / B
En combinant ces 2 résultats => q = 2(B-1) / 5B et p = 3(B-1) / (3B+2) (d’où B<>1)
D’où à l’aide de 2/ => 6A(B-1)^2 = 5B(3B+2) et B est par conséquent un multiple de 3.
Mais 6A(B-1) - 15B = 25B/(B-1) est un entier : B et B-1 étant premiers entre eux, nécessairement B-1 divise 25, d’où B est parmi {2, 6, 26}.
De ce qui précède, nous en déduisons donc que B = 6, d’où A = 4, p = 3/4 et q = 1/3.
La probabilité cherchée vaut donc 2/3.
Solution de Pierre Henri Palmade
Rappelons d’abord, pour x<1 que 1+x+…+xn+…=1/(1-x) et, en dérivant, 1+2x+…+nxn-1+…=1/(1-x)2. La probabilité que Diophante tire pile avant Hippolyte, est égale à la somme des probabilités que Diophante tire n-1 fois face puis pile, et Hippolyte n fois face,
soit p(1-q)(1+(1-p)(1-q)+…+(1-p)n-1(1-q)n-1+…=p(1-q)/(1-(1-p)(1-q)) donc p(1-q)/(p+q-pq)=3/5 ou encore p=3q/2(1-q) et 1-p=(2-5q)/2(1-q)
L’espérance que nos deux amis tirent pile en même temps est la somme de n fois la probabilité qu’ils tirent pile ensemble au n-ième coup soit pq(1+2(1-pq)+…+n(1-pq)n-1+…=pq/(1-(1-pq))2=1/pq=A soit Apq=1
De même pour l’espérance de tirer face ensemble, B(1-p)(1-q)=1 En tenant compte de la première relation, 3Aq2=2(1-q) et B(2-5q)=2.
Soit q=2(B-1)/5B , 1-q=(3B+2)/5B et 12A(B-1)2=10B(3B+2) donc A=5B(3B+2)/6(B-1)2
B-1 est premier avec B et 5 avec 6; (B-1)2 doit donc diviser 5(3B+2), et 6 divise B(3B+2), ce qui n’est possible que si B=6k. Alors, (6k-1)2 doit diviser 5(18k+2), ce qui n’est le cas que pour k=1 (si (6k-1)2 ne comporte le facteur 5, il doit diviser 18k+2, mais lui est supérieur dès que k≥2, ;la seconde valeur pour laquelle (6k-1) comporte le facteur 5 sera k=6, mais là encore l’impossibilité vient du fait que (6k-1)2>5(18k+2).
Donc B=6 et A=4 et q=1/3 et p=3/4
La probabilité pour qu’ Hippolyte obtienne face avant Diophante sera donc p(1- q)(1+pq+…+pnqn+…)=p(1-q)/(1-pq)=2/3
