Classe de première 10
Corrigé du devoir surveillé de mathématiques n°2 : coordonnées cartésiennes.
Exercice 1 : ∆ est la droite d’équation ሺܽ + 2ሻݔ + ሺܽଶ− 1ሻݕ + ܽଶ+ ܽ + 1 = 0.
∆ est parallèle à l’axe des ordonnées si son équation peut se mettre sous la forme ݔ = ݇, donc si son coefficient de ݕ est nul. L’équation ܽଶ− 1 = 0 a pour solutions 1 et −1.
∆ est parallèle à l’axe des abscisses si son équation ne comporte pas de terme en ݔ, donc si
ܽ + 2 = 0. La solution est donc ܽ = −2.
∆ passe par l’origine si son équation est vérifiée pour ݔ = 0, ݕ = 0. On obtient ܽଶ+ ܽ + 1 = 0, équation du second degré qui n’a pas de solution car son discriminant vaut −3. Un vecteur directeur de ∆ est ሺ−ሺܽଶ− 1ሻ ; ܽ + 2ሻ. Il est colinéaire à ݑሬԦ = ଓԦ + 2ଔԦ si et seulement si −2ሺܽଶ− 1ሻ = 1ሺܽ + 2ሻ, équation équivalente à −2ܽଶ = ܽ, dont les solutions sont 0 et −ଵଶ.
∆ a pour équation 2ݔ − ݕ + 1 = 0, ∆ଵ a pour équation 3ݔ + 3 = 0 équivalente à ݔ = −1 et ∆ିଶ a pour équation 3ݕ + 3 = 0, équivalente à ݕ = −1. Les droites ∆ଵ, ∆ିଶ se coupent évidemment au point ܣሺ−1 ; −1ሻ. Il reste à vérifier qu’il appartient aussi à ∆, ce qui est vrai car 2 × ሺ−1ሻ − ሺ−1ሻ + 1 = 0.
Vérifions que ܣ appartient à ∆ pour tout réel ܽ :
ሺܽ + 2ሻ × ሺ−1ሻ + ሺܽଶ− 1ሻ × ሺ−1ሻ + ܽଶ+ ܽ + 1 = −ܽ − 2 − ܽଶ+ 1 + ܽଶ+ ܽ + 1 est en effet nul quel que soit ܽ. Ainsi ܣ appartient à ∆
Exercice 2
Dans le repère ൫ܣ, ܣܤሬሬሬሬሬԦ,ܣܦሬሬሬሬሬԦ൯, ܣሺ0 ; 0ሻ car c’est l’origine, ܤሺ1 ; 0ሻ car ܣܤሬሬሬሬሬԦ est l’unité de l’axe des abscisses, ܦሺ0 ; 1ሻ car ܣܦሬሬሬሬሬԦ est l’unité de l’axe des ordonnées. ሺܤܥሻ est parallèle à l’axe des ordonnées, donc ܤ et ܥ ont même abscisse, de même ܦ et ܥ ont même ordonnée et ܥሺ1 ; 1ሻ. ܫ est un point de l’axe des abscisses, d’abscisse ܽ donc ܫሺܽ ; 0ሻ, de même ܬሺ0 ; ܾሻ. Comme ܣܫܭܬ est un parallélogramme, pour les mêmes raisons que plus haut ܭ a la même abscisse que ܫ et la même ordonnée que ܬ donc ܭሺܽ ; ܾሻ.
Il en résulte que ܦܫሬሬሬሬԦሺܽ ; −1ሻ, ܤܬሬሬሬሬԦሺ−1 ; ܾሻ et ܥܭሬሬሬሬሬԦሺܽ − 1 ; ܾ − 1ሻ
ܲሺݔ ; ݕሻ appartient à ሺܤܬሻ si et seulement si ܤܲሬሬሬሬሬԦሺݔ − 1 ; ݕሻ et ܤܬሬሬሬሬԦሺ−1 ; ܾሻ sont colinéaires, donc si et seulement si ܾሺݔ − 1ሻ = −ݕ. ܾݔ + ݕ − ܾ = 0 est une équation de ሺܤܬሻ.
ܲሺݔ ; ݕሻ appartient à ሺܦܫሻ si et seulement si ܦܲሬሬሬሬሬԦሺݔ ; ݕ − 1ሻ et ܦܫሬሬሬሬԦሺܽ ; −1ሻ sont colinéaires, donc si et seulement si −ݔ = ܽሺݕ − 1ሻ. ܽݔ + ܽݕ − ܽ = 0 est une équation de ሺܦܫሻ.
Pour déterminer les coordonnées de ܯ, on résout le système ൜ܾݔ + ݕ − ܾ = 0ݔ + ܽݕ − ܽ = 0. On élimine les ݕ en multipliant la première ligne par ܽ, on obtient ൜ܾܽݔ + ܽݕ − ܾܽ = 0ݔ + ܽݕ − ܽ = 0 , par soustraction ሺ1 − ܾܽሻݔ − ܽ + ܾܽ = 0 et ݔ =ሺଵିሻଵି . On élimine les ݔ en multipliant la deuxième ligne par ܾ, on obtient ൜ ܾݔ + ݕ − ܾ = 0ܾݔ + ܾܽݕ − ܾܽ = 0, par soustraction ሺ1 − ܾܽሻݕ − ܾ +
ܾܽ = 0 soit ݕ =ሺଵିሻଵି . On a donc ܯ ቀሺଵିሻଵି ; ሺଵିሻଵିቁ.
Vérifions enfin que ܥ, ܯ, ܭ sont alignés : ܥܯሬሬሬሬሬሬԦ ቀሺଵିሻଵି − 1; ሺଵିሻଵି − 1ቁ. Calculons séparément ces coordonnées : ሺଵିሻ
ଵି − 1 =ିିሺଵିሻ
ଵି =ଵିିଵ et ሺଵିሻ
ଵି − 1 =ିିሺଵିሻ
ଵି = ଵିିଵ. On a finalement ܥܯሬሬሬሬሬሬԦ ቀଵିିଵ ; ଵିିଵቁ. Comme ܥܭሬሬሬሬሬԦሺܽ − 1 ; ܾ − 1ሻ, on a ܥܯሬሬሬሬሬሬԦ =ଵିଵ ܥܭሬሬሬሬሬԦ et les trois points ܥ, ܯ, ܭ sont bien alignés.
