Classe de Première S5 Mardi 17 octobre 2017 Devoir surveillé de mathématiques n°1
Exercice 1 (9 points)
est un parallélogramme de centre . est le point défini par ⃗ = 3 ⃗, est le milieu de [ ].
1. Compléter la figure en annexe.
2. Dans le repère ( , ⃗, ⃗), donner les coordonnées des points , , , , , . 3. On appelle le centre de gravité du triangle . On rappelle que ⃗ = ⃗.
Déterminer les coordonnées de , construire 4. Démontrer que les points , , sont alignés.
5. On appelle le point défini par 3 ⃗ − 2 ⃗ − 2 ⃗ = 0⃗.
a) Exprimer ⃗ en fonction de ⃗ et ⃗. Construire b) Démontrer que les points , , sont alignés.
c) Les droites ( ) et ( ) sont-elles sécantes ? Exercice 2 (4 points)
Le plan est rapporté à un repère orthonormal ( , ⃗, ⃗)
1. Construire la droite d’équation 2 + 4 = 0 et la droite d’équation 3 + 2 − 8 = 0. Donner un vecteur directeur de chacune de ces droites.
2. Soit (1 ; 3) et (−6 ; 0). Donner une équation cartésienne de ( ) 3. Déterminer une équation cartésienne de la parallèle à passant par A
Exercice 3 (7 points)
Les figures sont sur l’annexe
Question préliminaire : On considère un triangle équilatéral de côté . On appelle le milieu de [ ]. Démontrer que = √
est un carré. On construit un triangle équilatéral à l’intérieur de , et un triangle équilatéral à l’extérieur de .
1. Quelle conjecture peut-on émettre ?
2. On se place dans le repère ( , ⃗, ⃗). Donner les coordonnées des points , , , 3. Démontrer que les coordonnées de sont ; √ .
4. Déterminer les coordonnées de 5. Démontrer la conjecture.
Exercice 1
Dans le repère ( , ⃗, ⃗) on a : (0 ; 0), (1 ; 0) , (1 ; 1), (0 ; 1) ; (3 ; 0), (2 ; 0)
⃗ = ⃗ avec ( ; ) donc ⃗ − ; − et ; .
On a donc ⃗ ; − et ⃗(2 ; −1). Ainsi ⃗ = 3 ⃗ et , , sont alignés.
3 ⃗ − 2 ⃗ − 2 ⃗ = 0⃗ s’écrit 3 ⃗ − 2 ⃗ + ⃗ − 2 ⃗ + ⃗ = 0⃗, successivement équivalente à − ⃗ − 2 ⃗ − 2 ⃗ = 0⃗, à − ⃗ = 2 ⃗ + 2 ⃗, à ⃗ = 2 ⃗ + 2 ⃗ Comme par propriété du parallélogramme ⃗ = ⃗ + ⃗, ⃗ = 2 ⃗. , , sont alignés et est le milieu de [ ]
⃗ = ⃗ + ⃗ = −3 ⃗ + 2 ⃗ + 2 ⃗ = − ⃗ + 2 ⃗.
⃗ = ⃗ + ⃗ = ⃗ + ⃗ + ⃗ = − ⃗ + ⃗. Ainsi ⃗ = 3 ⃗ et les droites ( ) et ( ) sont parallèles.
Exercice 2
est parallèle à l’axe des ordonnées, à = −2. passe par les points (−4 ; 10), (−2 ; 7), (0 ; 4), (2 ; 1), (4 ; −2) …Un vecteur directeur de est ⃗, un vecteur directeur de est
⃗(−2 ; 3).
⃗(7 ; 3). ( ; ) est sur ( ) si et seulement si ⃗( − 1 ; − 3) et ⃗ sont colinéaires, donc si et ssi 3( − 1) = 7( − 3), équivalente à 3 − 7 + 18 = 0.
La parallèle à passant par a pour équation 3 + 2 + = 0. Comme elle passe par , 3 × + 2 × + = 0, ce qui s’écrit 3 + 6 + = 0 donc = 9. L’équation cherchée est donc 3 + 2 − 9 = 0.
Exercice 3
Dans le triangle rectangle en , on a = et = . Comme d’après Pythagore
+ = , on peut écrire = − = − = et = , ce
qui fait bien = √
On conjecture que , , sont alignés.
Dans ( , ⃗, ⃗) on a (0 ; 0), (1 ; 0), (1 ; 1), (0 ; 1).
Comme est équilatéral, l’ordonnée de est égale à la hauteur du triangle, donc à √ d’après la question précédente. Comme La hauteur est aussi médiatrice, l’abscisse de est bien égale à .
On obtient de même (1 +√ ; )
On peut donc écrire ⃗ ;√ − 1 et ⃗ √ + 1 ; − . Ces vecteurs sont-ils colinéaires ?
= × − = − et = √ − 1 √ + 1 = √ − 1 = − 1 = − . Les produits en croix sont égaux, ⃗, ⃗ sont colinéaires et , , sont alignés.
