Classe de première S5 Jeudi 17 mai 2018 Devoir surveillé de mathématiques n°8
Exercice 1 (7 points)
1. désignant un entier naturel, donner la valeur de et de 1 2. On admet que 13
2 = 78. En expliquant votre méthode a) Donner la valeur de 13
11 b) Donner la valeur de 14 2
3. On admet maintenant que, pour tout entier : 2 = ( ) a) Résoudre l’équation 2 = 3003
b) Calculer 2 + + 1 2 .
c) Quelle propriété du triangle de Pascal peut-on en déduire ? Exercice 2 (10 points)
1. On lance 4 fois une pièce parfaitement équilibrée.
a) Quelle est la loi suivie par le nombre de « Piles » (précisez ses paramètres ? b) Montrer que la probabilité d’obtenir 3 ou 4 « Piles » est .
2. Dans la suite de l’exercice, on appelle épreuve le fait de lancer 4 fois une pièce parfaitement équilibrée, et succès le fait d’obtenir 3 ou 4 « Piles ». On effectue épreuves, X est le nombre de succès.
a) Quelle est la loi suivie par la variable ? b) Quelle est l’espérance de ?
3. Dans cette question, = 7. On donnera la valeur exacte et approchée à 10 près a) Donner la probabilité ( = 2)
b) Donner la probabilité ( ≥ 1)
4. Dans cette question, est un entier quelconque a) Donner en fonction de la valeur de ( ≥ 1)
b) Écrire un algorithme qui donne la plus petite valeur de telle que la probabilité d’obtenir au moins un succès dépasse 0,999. Quelle est cette valeur ?
Exercice 3 (3 points)
L’objectif du service clients d’un opérateur de téléphonie est de 80% de satisfaction
1. On a interrogé 20 clients et 13 se sont déclarés satisfaits. Peut-on considérer, au risque 5%, que l’objectif est atteint ?
2. On a interrogé 2500 clients, et 1900 se sont déclarés satisfaits. Peut-on considérer, au risque 5%, que l’objectif est atteint ?
Corrigé Exercice 1
1. 1 = 1 et = 1 (1 point)
2. Dans le triangle de Pascal, chaque ligne est symétrique, donc 13
11 = 13
2 = 78 D’après la propriété +
+ 1 = + 1 + 1 , 14
2 = 13
1 + 13
2 = 13 + 78 = 91 (2 points)
3. 2 = 3003 équivaut à ( )= 3003 soit − − 6006 = 0
∆= 1 + 4 × 6006 = 24025, il y a deux solutions, = = 78 et = −77.
Comme est positif, la seule solution est 78 (2 points) 2 + + 1
2 = ( )+ ( )= . (1 point)
Cela montre que, quand on fait la somme de deux termes successifs de la deuxième colonne du triangle de Pascal, on obtient toujours un carré. (1 point)
Exercice 2
1. Le nombre de « Piles » suit la loi binomiale de paramètres et 4, car on effectue des épreuves de Bernoulli identiques où « Pile » est considéré comme succès. (0,75 point)
La probabilité d’obtenir 3 ou 4 « Piles » est 4
3 × × + 4
4 × =
4 × × + 1 × = (1,25 point)
2. On effectue des épreuves de Bernoulli, le nombre de succès suit la loi binomiale de paramètres et (0,75 point)
L’espérance de est (0,75 point) 3. ( = 2) = 7
2 × × = 21 × × ≈ 0,315 (1,25 point) ( ≥ 1) = 1 − ( = 0) = 1 − ≈ 0,927 (1,25 point)
4. ( ≥ 1) = 1 − ( = 0) = 1 − (1 point) On écrit un algorithme de balayage :
← 0
Tant que 1 − < 0,999
← + 1 Fin tant que
Afficher (2 points)
La valeur obtenue est 19 (1point) Exercice 3
1. Calculons l’intervalle de fluctuation : pour = 20 et = 0,8, on trouve [0,6 ; 0,95]
La fréquence observée est = = 0,65 : on peut considérer, au risque 5%, que l’objectif est atteint. (1,5 point)
2. Pour = 2500, on peut utiliser l’intervalle −
√ , +
√ . Ici on obtient [0,78 ; 0,82]. Comme = = 0,76 n’est pas dans l’intervalle, on ne peut pas considérer que l’objectif est atteint. (1,5 point)
