Classe de première S5 Mardi 23 janvier 2018 Devoir surveillé de mathématiques n°5 Exercice 1 (6 points) Calculer la dérivée des fonctions suivantes :

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Classe de première S5 Mardi 23 janvier 2018 Devoir surveillé de mathématiques n°5

Exercice 1 (6 points)

Calculer la dérivée des fonctions suivantes : définie par ( ) =

définie par ( ) = ( + 3)√ − ℎ définie par ℎ( ) = −

On appelle la fonction définie sur R par ( ) = . Sa courbe est représentée ci- dessous.

1. Déterminer les coordonnées des points d’intersection de avec les axes du repère.

2. Montrer que la dérivée de est donnée par ( ) = ₍ ₎ . 3. Étudier les variations de , dresser son tableau de variations.

4. Donner une équation de la tangente à en son point d’abscisse −2. Tracer 5. On admet que ( ) − ( + 2) = ⁽ ₍ ^{) (} ₎ ⁾. En déduire la position de par

rapport à

6. Soit un réel. On considère la droite , tangente à en son point d’abscisse a) Montrer que passe par si et seulement si ( ) = ′( )

On admet que l’équation ( ) = ′( ) est équivalente à + 3 + 5 = 0 b) On pose ( ) = + 3 . Étudier les variations de .

c) En déduire le nombre de tangentes à qui passet par . Donner à la calculatrice une valeur approchée à 10 près de l’abscisse de leur(s) point(s) de contact avec 7. Question bonus : démontrer les propriétés admises aux questions 5 et 6

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Exercice 1

( ) = ⁽ ⁾ ⁽ ⁾

( ) =

( ) ou ( ) = ⁽ ⁾ ⁽ ⁾

( ) =

( ) (2 points)

( ) = 1 × √ + ( + 3)

√ =^{√ × √} ⁽ ⁾

√ =

√ (2 points)

ou ( ) = 1 × √ + ( + 2) ×

√ =^{√ × √} ⁽ ⁾

√ =

√ (2 points)

ℎ ( ) = 2 + = × ou ℎ ( ) = 2 + = (2 points)

Exercice 2

coupe l’axe des ordonnées si = 0, (0) = 2, donc au point (0 ; 2) (0,5 point)

coupe l’axe des abscisses si ( ) = 0, soit 5 + 10 = 0, = −2, donc au point (−2 ; 0)

(0,5 point)

( ) = ₍ ⁽ ₎ ⁾ = ₍ ₎ = ₍ ₎ (2 points)

( ) est du signe de −5 − 20 + 25. ∆= 20 + 4 × 5 × 25 = 900, il y a deux racines

= = −5, = = 1. Comme le coefficient de est négatif, ′ est positive entre −5 et 1, négative à l’extérieur. On a le tableau de variations suivant : (2,5 points)

−∞ −5 1 +∞

′( ) − 0 + 0 −

( )

−1 2

5 2

(−2) = 0, (−2) = = . a pour équation = ( + 2) + 0, soit = + (1 point)

( ) − ( + 2) = − ( + 2) = ⁽ ⁾ ⁽ ⁾

( ) = ^{× (} ⁾ ⁽ ⁾⁽ ⁾

( ) . En

factorisant 5( + 2), on obtient ( ) − ( + 2) = ⁽ ⁾ = ⁽ ⁾⁽ ⁾ ce qui prouve le résultat. (2 points)

On obtient la position de par rapport à en étudiant le signe de ( ) − ( + 2), qui est le même que celui de 2 − car + 5 et ( + 2) sont positifs. Ainsi est au dessus de quand 2 − est positif, donc sur ] − ∞ ; 2] et est en dessous de sur [2 ; +∞[. Les points d’intersection sont (−2 ; 0) et (2 ; ) (2 points)

a pour équation = ( )( − ) + ( ). Elle passe par l’origine si l’équation est vérifiée pour = 0, = 0. Cela s’écrit 0 = ( )(0 − ) + ( ), équation équivalente à 0 = − ( ) + ( ), ou encore ( ) = ( ). ^{(1 point)}

= ₍ ₎ est équivalente à (5 + 10)( + 5) = (−5 − 20 + 25), soit à 5 + 10 + 25 + 50 = −5 − 20 + 25 , ou encore 10 + 30 + 50 = 0 et finalement + 3 + 5 = 0 (2 points)

On pose ( ) = + 3 , ( ) = 3 + 6 = 3 ( + 2) s’annule en 0 et −2, est positive sur ] − ∞ ; −2] ∪ [0 ; +∞[ et négative sur [−2 ; 0]. est donc croissante sur ] − ∞ ; −2] et [0 ; +∞[ et décroissante sur [−2 ; 0](2,5 points)

]. (−2) = 4 et (0) = 0, donc ne peut être égale à −5 qu’au maximum une fois, sur l’intervalle ] − ∞ ; −2]. Comme (−4) = −16 et (−3) = 0, prend la valeur −5 une fois, entre −4 et −3. Il y a donc une seule tangente passant par l’origine (1.5 point)

On obtient à la calculatrice que l’abscisse de son point de contact est comprise entre −3,43 et −3,42. (0,5 point)

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