Classe de première S5 Mardi 26 septembre 2017 Devoir surveillé de mathématiques n°1
Exercice 1 (11 points)
Les questions sont indépendantes
1. Donner la forme canonique du trinôme ( ) = + 6 + 5 2. a) Résoudre dans l’équation 4 + 7 + 5 = 0
b) En déduire la résolution de l’équation 4 + 7 + 5 = 0 3. a) Factoriser en termes du premier degré le trinôme 5 + 3 − 8
b) Résoudre dans l’inéquation 5 + 3 − 8 < 0 4. a) Résoudre dans − {0} l’équation + = 5
b) En déduire la résolution de l’inéquation + ≥ 5 5. a) Résoudre dans l’équation − 25 + 144 = 0
b) En déduire la résolution de l’équation − 25 + 144 = 0 Exercice 2 (4 points)
On considère le trinôme ( ) = + + ( , , sont trois réels donnés). On suppose qu’il possède deux racines et .
1. Donner l’expression de et en fonction de , , 2. Calculer + .
3. Démontrer que × =
4. On suppose que = 1. Combien vaut alors ?
5. Écrire un algorithme qui reçoit en données les valeurs de , , , regarde et affiche si 1 est une racine, et affiche alors l’autre racine.
Exercice 3 (5 points)
1. Résoudre le système + = 20
× = 91.
2. désigne un réel donné. On recherche deux nombres de somme 20, de produit . a) Démontrer que cela revient à résoudre l’équation − 20 + = 0
b) Pour quelles valeurs de l’équation ci-dessus a-t-elle des solutions ? 3. Déduire de la question précédente la plus grande valeur possible de l’aire d’un
rectangle de périmètre 40 cm.
Corrigé Exercice 1
1. ( ) = + 6 + 5 = ( + 3) − 9 + 5 = ( + 3) − 4 (1 point)
2. 4 + 7 + 5 = 0 : ∆ = 49 − 4 × 5 × 4 = −31 : Il n’y a pas de solution (1 point) 4 + 7 + 5 = 0 équivaut à (4 + 7 + 5) = 0 soit à
= 0 ou
4 + 7 + 5 = 0 . Comme l’équation du second degré n’a pas de solution, il reste = {0} (1 point) 3. Recherche des racines de 5 + 3 − 8 : ∆= 9 + 4 × 5 × 8 = 169 = 13 . Ses
racines sont donc = 1 et = −1,6. On a donc la factorisation : 5 + 3 − 8 = 5( − 1)( + 1,6) (1,5 point)
Le trinôme 5 + 3 − 8 est positif à l’extérieur de ses racines, négatif à l’intérieur.
L’inéquation 5 + 3 − 8 < 0 a donc pour solution =] − 1,6 ; 5[ (1 point)
4. + = 5 équivaut successivement à + = ; = 0 ; − 5 + 1. Cette dernière équation a pour discriminant ∆= 25 − 4 = 21, ses solutions sont donc =
√ ; √ (1,5 points)
De même, + ≥ 5 équivaut à ≥ 0 . Il faut faire un tableau de signes :
−∞ 0 5 − √21
2
5 + √21
2 +∞
− 5 + 1 + || + 0 − 0 +
− || + | + | +
+ 1 − 5
− ||
|| + 0 − 0 +
= 0 ; √ ∪ √ ; +∞ . (1,5 point)
5. − 25 + 144 = 0 : ∆= 625 − 576 = 49, = {9 ; 16} (1,5 point)
− 25 + 144 = 0 : on pose = , on obtient − 25 + 144 = 0, de solutions 9 et 16. On revient maintenant à : = 9 si et ssi = 3 ou = −3, de même pour = 16. Finalement = {−3 ; −4 ; 3 ; 4} (1 point)
Exercice 2
1. = √ , = √ (0,5 point)
2. + = √ + √ = = − (1 point)
3. × = √ × √ = ( )( ). On reconnaît
l’identité remarquable, donc × =( ) √ = ( ) = = (1
point)
4. Si = 1, comme × = , il reste 1 × = donc = (0,5 point) 5. Lire , , .
Si + + = 0 alors
Afficher « 1 est racine » Afficher
Fin si
Fin algorithme (1 point) Exercice 3
+ = 20
× = 91 s’écrit = 20 −
× (20 − ) = 91 soit = 20 −
− + 20 = 91. L’équation − 20 + 91 = 0 a pour discriminant ∆= 400 − 364 = 36, ses racines sont = 7 et
= 13. Quand = 7, = 20 − 7 = 13 et quand = 13, = 20 − 13 = 7.
Finalement, = {(7 ; 13) ; (13; 7)} (2 points) De même , + = 20
× = devient = 20 −
× (20 − ) = soit = 20 −
− + 20 = . On est bien ramené à résoudre l’équation − 20 + = 0. (1 point)
Le discriminant de cette équation vaut ∆= 400 − 4 , elle a des solutions si et seulement si 400 − 4 ≥ 0, donc ≤ 100 (1 point)
Si on nomme , les côtés du rectangle, on a + = 20, et on cherche la plus grande valeur de . D’après la question précédente, c’est 100. L’aire maximale est donc 100 . (1 point)
