Devoir surveillé de mathématiques n°7
Exercice 1 (9 points)
1. est la fonction définie sur ] − 1 ; +∞[ par ( ) = . Sa courbe est tracée ci- dessous
a) Vérifier que ( ) = ( ) . b) En déduire les variations de
2. On appelle ( ) la suite définie par = ( ) =
a) Déduire de la question 1 les variations de la suite ( )
b) Quelle est la limite de la suite ( ) ? (on justifiera sa réponse) 3. On appelle ( ) la suite définie par
= 1
=
a) Représenter sur l’axe des abscisses du graphique les quatre premiers termes de la suite ( ) en laissant apparents les tracés nécessaires
b) Calculer ,
c) Conjecturer le sens de variation et la limite de la suite ( ).
Exercice 2 (11 points)
Les entreprises Galtier proposent deux types de contrats à leurs salariés :
Le contrat A correspond à un salaire initial de 1200 €, et à une augmentation de 15 € par mois Le contrat B correspond à un salaire initial de 1200 €, et à une augmentation de 1% par mois Les trois questions sont indépendantes
1. Adélie a choisi le contrat A. On note son salaire après mois (on prendra = 1200)
a) Quelle est la nature de la suite ( ) ? En préciser les éléments caractéristiques b) Donner l’expression de en fonction de
c) Quel est le salaire d’Adélie après 2 ans dans l’entreprise ? d) Combien a-t-elle gagné en tout pendant ces 2 ans ?
2. Baptiste a choisi le contrat B. On note son salaire après mois (on prendra = 1200)
a) Quelle est la nature de la suite ( ) ? En préciser les éléments caractéristiques b) Donner l’expression de en fonction de
c) Quel est le salaire de Baptiste après 2 ans dans l’entreprise ? d) Combien a-t-il gagné en tout pendant ces 2 ans ?
3. À l’aide de la calculatrice, en expliquant la méthode employée, déterminer au bout de combien de temps le salaire mensuel de Baptiste dépasse-t-il celui d’Adélie.
4. On a écrit l’algorithme suivant :
← 1200
← 1200
← 0 Tant que ≤
← + 1
←( × )( )
← 1200 ,
,
a) Que représentent les variables , , ? b) Quel est le but de cet algorithme ?
c) Programmez et algorithme sur votre calculatrice. À la fin de l’algorithme, quelles sont les valeurs des variables , , ? (question bonus)
Devoir surveillé de mathématiques n°7
Exercice 1 (9 points)
1. est la fonction définie sur ] − 1 ; +∞[ par ( ) = . Sa courbe est tracée ci- dessous
a) Vérifier que ( ) = ( ) . b) En déduire les variations de
2. On appelle ( ) la suite définie par = ( ) =
a) Déduire de la question 1 les variations de la suite ( )
b) Quelle est la limite de la suite ( ) ? (on justifiera sa réponse) 3. On appelle ( ) la suite définie par
= 1
=
a) Représenter sur l’axe des abscisses du graphique les quatre premiers termes de la suite ( ) en laissant apparents les tracés nécessaires
b) Calculer ,
c) Conjecturer le sens de variation et la limite de la suite ( ).
Exercice 2 (11 points)
Les entreprises Galtier proposent deux types de contrats à leurs salariés :
Le contrat A correspond à un salaire initial de 1100 €, et à une augmentation de 15 € par mois
Le contrat B correspond à un salaire initial de 1100 €, et à une augmentation de 1% par mois Les quatre questions sont indépendantes
1. Adélie a choisi le contrat A. On note son salaire après mois (on prendra = 1100)
a) Quelle est la nature de la suite ( ) ? En préciser les éléments caractéristiques b) Donner l’expression de en fonction de
c) Quel est le salaire d’Adélie après 2 ans dans l’entreprise ? d) Combien a-t-elle gagné en tout pendant ces 2 ans ?
2. Baptiste a choisi le contrat B. On note son salaire après mois (on prendra = 1100)
a) Quelle est la nature de la suite ( ) ? En préciser les éléments caractéristiques b) Donner l’expression de en fonction de
c) Quel est le salaire de Baptiste après 2 ans dans l’entreprise ? d) Combien a-t-il gagné en tout pendant ces 2 ans ?
3. À l’aide de la calculatrice, en expliquant la méthode employée, déterminer au bout de combien de temps le salaire mensuel de Baptiste dépasse-t-il celui d’Adélie.
4. On a écrit l’algorithme suivant :
← 1100
← 1100
← 0 Tant que ≤
← + 1
←( × )( )
← 1100 ,
,
a) Que représentent les variables , , ? b) Quel est le but de cet algorithme ?
c) Programmez et algorithme sur votre calculatrice. À la fin de l’algorithme, quelles sont les valeurs des variables , , ? (question bonus)
1. ( ) = ( ) =
( ) =
( ) (1 point)
′( ) est du signe de + 2 − 3 : ∆= 2 + 4 × 3 = 16, = = −3, =
= 1. (1 point)
′ est positive à l’extérieur des racines, négative entre les racines (0,5 point) Ainsi est décroissante sur ] − 1 ; 1] et croissante sur [1 ; +∞[ (0,25 point) 2. Comme est croissante sur [1 ; +∞[,pour ≥ 1 on a ≥ : la suite est
croissante à partir de = 1. En revanche, = 3 et = 2, on a ≥ (1,25 point)
On peut écrire = ( )
( ) = . (1 point)
Quand tend vers +∞, tend vers 0, donc tend vers +∞ (0,5 point) 3. On représente un escalier en allant de l’axe des abscisses verticalement vers la
courbe, puis horizontalement vers la droite, et ainsi de suite (1,5 point)
= = = 2, = = (1 point)
La suite ( ) semble croissante et avoir pour limite 3. (1 point) Exercice 2
1. Chaque mois, le salaire augmente de 15 €. ( ) est une suite arithmétique de premier terme 1200, de raison 15 (1 point)
On a donc pour tout : = 1200 + 15 (1 point)
En deux ans, il y a 24 mois, on prend = 23, = 1200 + 15 × 23 = 1545 € (0,5 point)
En tout, elle aura gagné + + ⋯ + = ( )× 32940 € (1,5 point) 2. Chaque mois, le salaire augmente de 1%, donc est multiplié par 1,01. ( ) est une
suite géométrique de premier terme 1200, de raison 1,01 (1 point) On a donc pour tout ∶ = 1200 × 1,01 (1 point)
Pour = 23, son salaire est 1200 × 1,01 ≈ 1508,6 € (0,5 point)
La somme + + ⋯ + = ,
, ≈ 32368,16 € (1,5 point)
3. On fait la table des deux suites, on trouve que dépasse à partir de = 45. (1 point)
4. Les variables , représentent les sommes des termes pour les suites , , est le rang où l’on calcule les sommes (1 point)
Le but de cet algorithme est de déterminer à partir de quelle valeur le total de la suite dépasse celui de (1 point)
On trouve = 65 (2 points)
Exercice 1
1. ( ) = ( ( ) )( )=
( ) =
( ) (1 point)
′( ) est du signe de + 2 − 3 : ∆= 2 + 4 × 3 = 16, = = −3, =
= 1. (1 point)
′ est positive à l’extérieur des racines, négative entre les racines (0,5 point) Ainsi est décroissante sur ] − 1 ; 1] et croissante sur [1 ; +∞[ (0,25 point) 2. Comme est croissante sur [1 ; +∞[,pour ≥ 1 on a ≥ : la suite est
croissante à partir de = 1. En revanche, = 3 et = 2, on a ≥ (1,25 point)
On peut écrire = ( )
( ) = . (1 point)
Quand tend vers +∞, tend vers 0, donc tend vers +∞ (0,5 point) 3. On représente un escalier en allant de l’axe des abscisses verticalement vers la
courbe, puis horizontalement vers la droite, et ainsi de suite (1,5 point)
= = = 2, = = (1 point)
La suite ( ) semble croissante et avoir pour limite 3. (1 point)
Exercice 2
1. Chaque mois, le salaire augmente de 15 €. ( ) est une suite arithmétique de premier terme 1100, de raison 15 (1 point)
On a donc pour tout : = 1100 + 15 (1 point)
En deux ans, il y a 24 mois, on prend = 23, = 1100 + 15 × 23 = 1445 € (0,5 point)
En tout, elle aura gagné + + ⋯ + = ( )× = 30540 € (1,5 point) 2. Chaque mois, le salaire augmente de 1%, donc est multiplié par 1,01. ( ) est une
suite géométrique de premier terme 1100, de raison 1,01 (1 point) On a donc pour tout ∶ = 1100 × 1,01 (1 point)
Pour = 23, son salaire est 1100 × 1,01 ≈ 1382,88 € (0,5 point)
La somme + + ⋯ + = ,
, ≈ 29670,81 € (1,5 point)
3. On fait la table des deux suites, on trouve que dépasse à partir de = 60. (1 point)
4. Les variables , représentent les sommes des termes pour les suites , , est le rang où l’on calcule les sommes (1 point)
Le but de cet algorithme est de déterminer à partir de quelle valeur le total de la suite dépasse celui de (1 point)
On trouve = 88 (2 points)
