Classe de Première S5 Vendredi 1er juin 2018 Devoir surveillé de mathématiques n°9
Exercice 1 (5 points)
En l’an 2000, la population de lynx dans une réserve était égale à 500 individus. On modélise l’évolution de cette population en supposant que chaque année, il y a une augmentation de 10% par les naissances, mais il y avait aussi 30 morts (on fait l’augmentation en premier).
On note la population au bout de ans 1. Calculer ,
2. La suite ( ) est-elle arithmétique ? Géométrique ? 3. Vérifier que = 1,1 − 30
4. On pose = − 300.
a) Calculer , ,
b) Démontrer que la suite ( ) est géométrique, préciser sa raison.
c) En déduire l’expression de en fonction de d) En déduire l’expression de en fonction de 5. Montrer que la suite ( ) est croissante.
Exercice 2 (4 points)
Le daltonisme est une affection qui atteint 8% des hommes Partie A
Dans une classe comportant 20 garçons, on appelle la variable aléatoire égale au nombre de daltoniens. On donnera la valeur exacte et un arrondi à 10 des probabilités
1. Quelle est la loi de ?
2. Quelle est l’espérance de ? Comment s’interprète-t-elle ?
3. Déterminer la probabilité qu’il y ait exactement deux garçons daltoniens 4. Déterminer la probabilité qu’il y ait au moins un garçon daltonien
Parte B
Dans une ile isolée, sur une population de 200 hommes on compte 30 daltoniens 1. Donner l’intervalle de fluctuation au seuil 95% pour la loi binomiale avec la
probabilité 0,08 et la population égale à 500
2. Peut-on considérer que cette situation est normale ?
Exercice 3 (6 points)
Le plan est rapporté à un repère orthonormal ( , ⃗, ⃗)
On considère les points (−2 ; 1), (6 ; 7), (2 ; 0). est le milieu de [ ].
La figure en annexe sera complétée au fur et à mesure de l’exercice
1. Calculer ⃗ ∙ ⃗. En déduire une valeur approchée de l’angle ⃗, ⃗
2. Donner une équation cartésienne de , perpendiculaire à [ ] passant par . 3. Donner une équation cartésienne de Γ, cercle de centre passant par . 4. Déterminer l’ensemble ℰ des points ( ; ) du plan tels que ⃗ ∙ ⃗ = −9.
5. Montrer que appartient à ℰ
6. Ne pas oublier de construire les ensembles , ℰ, Γ
7. Question bonus : Quel est le second point d’intersection de et Γ ?
Exercice 4 (3 points) est un quadrilatère.
1. Dans cette question, est un parallélogramme de centre
a) En appliquant le théorème de la médiane, démontrer que + = +
b) En déduire l’expression de la somme des carrés des côtés d’un parallélogramme.
2. Dans cette question est quelconque, est le milieu de [ ], celui de [ ].
Démontrer que + + + = + + 4
Exercice 5 (2 points)
On observe le résultat suivant : 1 = 1 , 1 + 3 = 4 = 2 , 1 + 3 + 5 = 9 = 3
Montrer que la somme des nombres impairs consécutifs (en commençant à 1) est toujours un carré.
Toute tentative, même infructueuse, toute démonstration, même incomplète, pourront être valorisées.
Corrigé Exercice 1
= 500 + 50 − 30 = 520, = 520 + 52 − 30 = 542 (0,5 point)
La suite n’est pas arithmétique car il n’y a pas la même augmentation de à que de à . Elle n’est pas non plus géométrique car il n’y a pas non plus le même facteur (1 point)
= + − 30 = 1,1 − 30 (0,5 point)
= − 300 = 1,1 − 30 − 300 = 1,1 − 330 = 1,1( − 30) = 1,1 . La suite ( ) est géométrique de raison = 1,1 (1 point)
On a donc, pour tout : = × = 200 × 1,1 (0,5 point) On en déduit que = + 300 = 300 + 200 × 1,1 (0,5 point)
La suite ( ) est géométrique, sa raison est supérieure à 1 et son premier terme est positif.
Elle est donc croissante. Ajouter la constante 200 ne change pas le sens de variation, donc la suite ( ) est croissante. (1 point)
Exercice 2 Partie A
Pour un garçon, le fait d’être ou non daltonien est une épreuve de Bernoulli de probabilité 0,08. On répète 20 fois cette expérience, le nombre de garçons suit donc la loi binomiale de paramètres 0,08 et 20. (0,75 point)
L’espérance est égale à 20 × 0,08 = 1,6. Il y a en moyenne 1,6 garçon daltonien par classe.
(0,75 point) ( = 2) = 20
2 × 0,08 × 0,92 ≈ 0,027 (0,75 point) ( ≥ 1) = 1 − ( = 0) = 1 − 0,92 ≈ 0,81 (0,75 point) Partie B
L’intervalle de fluctuation est donné par = 9, = 24 (0,5 point)
30 n’appartient pas à l’intervalle de fluctuation, donc on ne peut pas considérer cette situation comme normale. On peut supposer que c’est dû à l’isolement, donc une consanguinité plus élevée. (0,5 point)
Exercice 3
⃗(8 ; 6), ⃗(4 ; −1) donc ⃗ ∙ ⃗ = 32 − 6 = 26 (0,5 point)
Comme ⃗ ∙ ⃗ = × × cos ⃗, ⃗ , on a cos ⃗, ⃗ = ⃗∙ ⃗
× .
= 10, = √17 donc cos ⃗, ⃗ =
√ et ⃗, ⃗ ≈ 51° (1 point)
( , ) appartient à si et ssi ⃗ et ⃗ sont perpendiculaires, donc si et ssi ⃗ ∙ ⃗ = 0.
On obtient 8( − 2) + 6( − 0) = 0 soit 8 + 6 − 16 = 0 ou encore 4 + 3 − 8 = 0 (0,75 point)
( , ) appartient à Γ si et ssi = , soit ( + 2) + ( − 1) = 17, ce qui s’écrit + 4 + − 2 − 12 = 0 (0,5 point)
⃗ ∙ ⃗ = −9 s’écrit ( + 2)( − 6) + ( − 1)( − 7) = 0, soit en développant − 4 + − 8 − 5 = 0 (0,75 point)
Sous forme canonique, on a ( − 2) − 4 + ( − 4) − 16 − 5 = 0, ou encore ( − 2) + ( − 4) = 25 : c’est le cercle de centre , de rayon 5 (1 point)
⃗ ∙ ⃗ = −4 × 4 + 1 × 7 = −9 donc appartient à ℰ (0,5 point) Figure : 1,5 point
Les points d’intersection vérifient 4 + 3 − 8 = 0 + 4 + − 2 − 12 = 0
On substitue dans la deuxième équation par − + , on obtient + 4 +
− + − 2 − + + 12 = 0, ce qui s’écrit − − = 0 Les solutions de cette équation sont 2 et − , qui est l’abscisse du second point
d’intersection. On trouve l’ordonnée en remplaçant par sa valeur dans = − + , on obtient =
Exercice 4
+ = 2 + . Comme est le milieu de [ ], = et = , on
obtient bien + = + (1 point)
Comme les côtés opposés sont de même longueur, la somme des carrés des côtés est égale à la somme des carrés des diagonales. (1 point)
Cette fois, + = 2 + , + = 2 + , donc + + +
= 2 + + 2 + = + 2( + )
On applique encore le théorème de la médiane, + = 2 + .
On obtient donc + + + = + + 4 (1 point)
Exercice 4
La suite des nombres impairs est une suite arithmétique de raison 2, = 1 + 2 La somme des termes est donc ( )( ) = ( + 1)
