Classe de Première S
5Mardi 8 Décembre 1998 Devoir de mathématiques
N°8
Exercice 1) (7 points)
A, B et C sont trois points tels que AB = 5, AC = 8, et AB.AC =20 a) Faire une figure que l’on complétera par la suite.
b) Quelle est la valeur de BÂC ?
c) En écrivant BC = AC−ABpuis en élevant au carré, calculez BC.
d) Déterminer l’ensemble D des points M du plan tels que AM.AC = AB.AC. e) Soit I le milieu de [BC]. Montrer que, pour tout point M du plan,
. 4
2
2 BC
MI MC
MB = − .
f) En déduire l’ensemble B des points M du plan tels que MB.MC =20
Exercice 2) (6 points)
B est un cercle de centre O et de rayon r. On place sur B quatre points A, A’, B, B’ tels que les droites (AA’) et (BB’) soient orthogonales, et on appelle I leur point d’intersection.
On appelle A’’ le point de B diamétralement opposé à A.
a) Faire une figure
b) Montrer que IA.IA''=IO2 −r2
c) En déduire la valeur de IA.IA'. Combien vaut IB.IB' ?
d) Calculer (IA+IB).A'B'. En déduire que la médiane issue de I du triangle IAB est aussi une hauteur du triangle IA’B’.
Exercice 3) (7 points)
ABC est un triangle de côtés respectifs BC = a, AC = b et AB = c. On appelle A’, B’ et C’ les milieux respectifs des côtés [BC], [AC] et [AB] , G est le centre de gravité.
a) Faire une figure
b) Calculer en fonction de a, b et c les longueurs AA’2, BB’2, CC’2 (on utilisera le théorème de la médiane sans justification).
c) En déduire que la somme GA2 + GB2 + GC2 vaut ( ) 3
1 2 2 2
c b a + +
d) Si M est un point du plan, montrer que MA2 +MB2 +MC2 =3MG2 +GA2 +GB2 +GC2. e) En déduire l’ensemble des points M du plan vérifiant MA2 + MB2 + MC2 = b2 + c2.
