Coordonnées cartésiennes Exercice 1 : Calcul

Tous les objets seront assimilés à des points matériels

Exercices d’application :Calcul, ascenseur, clefs, distance de sécurité, espace des phases, mouvement circulaire, carrousel, spirale logarithmique, godille, bretelle, coordonnées sphériques

Culture en sciences physiques :Clefs, accident, basket, conjonction, mouvement circulaire, carrousel, solide en rotation, coordonnées sphériques, dilatation du temps

Corrigés en TD : clefs, accident, basket, carrousel, bretelle, godille

Coordonnées cartésiennes Exercice 1 : Calcul

On considère un mouvement décrit par les équation horaires :

x=a0t²+x0 y(t)=v0t z(t)=z0, aveca₀,v₀etz₀des constantes positives.

1. Déterminer les composantes des vecteurs vitesse et accélération dans la base cartésienne. Déterminer également les expressions de leurs normes.

2. Tracer la trajectoire de la courbe et y représenter le vecteur vitesse#»_v ent=0.

3. Déterminer le ou les instantsttels quex=2x0et y représenter également le vecteur vitesse.

Exercice 2 : Utilisation de courbes

On donne ci-contre la courbe représentant l’accélération en fonction du temps au cours d’un mouvement rectiligne. À la datet1=1 s, sa vitesse estv1=3 m·s⁻¹. Déterminer sa vitesse aux datest2=4 sett3=15 s.

0 2 5 9 12

0 6

t(s) a (m · s

)

Exercice 3 : Ascenseur

Un ascenseur est animé d’un mouvement rectiligne vertical ascendant :

• uniformément accéléré d’accélérationaa=2,0 m·s⁻²pendant une duréeta=3,0 s;

• uniforme pendant une duréetu=7 s;

• uniformément décéléré d’accélération de normea_d=1,0 m·s⁻²pendant une duréet_djusqu’à l’arrêt.

1. Tracer la courbe représentant la vitesse en fonction du temps et en déduire la duréet_d. Y lire graphiquement la distance totale parcourue.

2. Tracer la courbe représentant l’accélération en fonction du temps. Comment peut-on y vérifier que l’ascenseur s’est bien arrêté?

3. Tracer l’allure de la courbe représentant la position en fonction du temps.

Exercice 4 : Quand on a oublié ses clefs

1. Un·e conduct·eur·rice démarre avec accélération constanteaen ligne droite puis se rend compte au bout d’un tempst₁qu’il·elle a oublié ses clefs… Il·elle décélère alors avec une accélération de même norme.

(a) Quelle durée le véhicule met-il à s’arrêter? Tracer la courbe représentative de la vitesse.

(b) En déduire l’expression de la position en fonction du temps. Tracer également la courbe représentative.

(c) Déterminer la distance totale parcourue avant l’arrêt. Proposer une lecture graphique de cette distance.

2. L’évolution de la vitesse du même véhicule est maintenant don- née par l’ellipse ci-contre de forme générale :

µv v0

¶2 +

µt−t0 t0

¶2

=1

(a) Vérifier l’expression donnée en des points bien choisis de la courbe. Déterminer l’expression dev, en fonction du temps.

(b) Déterminer de même la distance totale parcourue avant l’arrêt.

t0 v0

0 t

v

Exercice 5 : Distance de sécurité

En arrivant sur une zone d’accident, chaque voiture diminue instantanément sa vitesse dev₁àv₂. Chaque voiture mesure la même longueurl. Quelle doit être la distance entre les voitures pour éviter une collision. Calculer pour v1=130 km·h⁻¹,v2=90 km·h⁻¹etl=4 m.

Exercice 6 : Accident ? I

On considère une voiture modélisée par un parallélépipède de largeurLen mouvement rectiligne uniforme le long d’un trottoir rectiligneOx.

Un·e piéton·ne, modélisé par un pointM, com- mence à traverser la route au moment où la voi- ture se trouve à une distanceD. Le mouvement du pointMest rectiligne uniforme à une vitesse de normev. On peut choisir l’angleϕque forme son vecteur vitesse#»_v avec l’axeO y, qui reste compris entre0etπ/2.

ϕ A2

A1

L

D

#»V

x y

M

1. On choisit l’origine des coordonnées cartésiennes au point de départ deM. Déterminer les coordonnéesxety des pointsA2etMen fonction du temps.

2. En déduire, pour un angleϕdonné :

• l’instanttxoù les abscisses deMetA2sont égales;

• l’instanttyoù les ordonnées deMetA2sont égales.

En déduire la vitesse minimalevmin(ϕ)permettant àMd’éviter la voiture quand il se déplace dans la direction donnée parϕ.

3. (a) En déduire la vitesse minimalev₀que doit posséder la personne pour éviter la voiture en choisissant le meilleur angle. On pourra dériver l’expression devmin(ϕ)en fonction deϕou mettre l’expression devmin(ϕ) sous la formevmin=_cos^{K V¡}_ϕ−δ^¢où les constantesKetδdépendent des distancesDetL.

(b) Déterminer les expressions dev₀pourDÀLetLÀD, ainsi que les valeurs de l’angleϕoptimal corres- pondant. Commenter.

Exercice 7 : Basket-ball

On précise les caractéristiques de la trajectoire d’un objet en mouvement uniformément accéléré. On prend un vecteur accélération#»_{a= −ge}#»_z, avecgune constante positive. Ces trajectoires sont caractéristiques des mouvements dans le champ de pesanteur, en l’absence de frottement.

1. Quel est le système de coordonnées approprié?

2. L’objet se trouve à l’instant initial à la positionx=0,z=het est animé à cet instant du vecteur vitesse#»_v0= v₀(cos(α)_e#»_x+sin(α)e#»_z), avecα∈[0°; 90°]. Établir l’équation de sa trajectoire.

3. (a) Déterminer l’abscissex_Cpour laquellez=0ainsi que l’altitude maximale atteintez_S. (b) Commentz_Svarie-t-elle avec l’angleαquandv₀reste fixé? Avech?

(c) Dans le cash=0, pour quelle valeur deαla distancex_Cest-elle maximale?

(d) Pour un lancer au basket-ball (vitessev₀de l’ordre de10 m·s⁻¹,g=9,8 m·s⁻²) la taille du joueur ou de la joueuse influe-t-elle beaucoup surx_C? On considérera que le lancer est effectué dans les conditions de la question précédente.

Exercice 8 : Cycloïde

Une roue de rayonRet de centreCroule sans glisser sur un axeOx. Le mouvement de la roue est paramétré par l’angleθ(t)dont on a tourné un rayon de la roue à partir de sa position initiale.

1. Montrer que si la roue ne glisse pas, l’abscisse du centre de la roue x_Cest liée àθpar :xc=xc₀+Rθ.

0 x

y x

+

C H

A

θ

2. Quelles sont en fonction deRetθles coordonnées (dans le repère cartésien d’origineO) du pointMde la péri- phérie de la roue qui coïncidait pourθ=0avecO? L’ensemble de ces points constitue par définition unecycloïde.

Tracer cette courbe.

3. Calculer en fonction deRet deθet ses dérivées, les composantes de la vitesse et de l’accélération deM. 4. Donner les valeurs des composantes de la vitesse et de l’accélération deMau moment où celui-ci touche l’axe.

Exercice 9 : Espace des phases

On considère un point animéMd’un mouvement unidimensionnel uniformément accéléré dans un référentielR. On note#»_al’accélération constante deM.

1. Choisir soigneusement le repère le plus adapté pour y décrire le mouvement deM.

2. On désigne parx0etv0respectivement la position et la vitesse initiales deM. Établir la trajectoire deMdans l’espace des phases. On distinguera différents cas selon les signes respectifs dex0etv0.

Exercice 10 : Le chien EI

On considère deux demi-droites perpendiculaires(Ox)et(O y). À l’instantt=0, une femme part deOet parcourt l’axe (O y)avec la vitesse constantev. Au même instant, son chien part d’un pointAde l’axe(Ox), situé à la distanceade O, et se dirige constamment vers sa maîtresse en courant à la vitesse2v.

1. Déterminer la direction du vecteur vitesse du chien en fonction des coordonnées (x,y) du chien et de sa maîtresse (xM,yM), puis en fonction des coordonnées(x,y)du chien et du temps.

2. Montrer que l’équation différentielle de la trajectoire du chien est :1+

µdy dx

¶₂

=4x² Ãd²y

dx²

!2 .

3. Vérifier que cette équation admet pour solution des fonctions de la formey=αx^3/2/3−p

x/α+βoùαetβsont des constantes qu’on déterminera.

4. À quel instant le chien rejoint-il son maître?

5. Déterminer, de deux façons différentes, la longueur de la trajectoire parcourue par le chien.

Coordonnées polaires Exercice 11 : Calcul

Déterminer les composantes, dans la base cylindrique, des vecteurs vitesse et accélération d’un mouvement dont les coordonnées sont :

r=a₀t²+r₀ θ(t)=θ0+ωt z(t)=v₀t.

Déterminer également les expressions de leurs normes.

Exercice 12 : Mouvement d’un point sur une spirale logarithmique

Un pointMdécrit la courbe d’équation polaire suivante :(r=be^−t/τ;θ=ωt)avecτ,ωdes constantes positives. Tracer l’allure de sa trajectoire.

1. Déterminer l’équation de la trajectoire. Comparer la distance à l’origineOdu pointMquand il est enθ0et à l’issue d’une révolution supplémentaire autour deO.

2. Déterminer les composantes radiale et orthoradiale de la vitesse et de l’accélération du pointM.

3. En déduire les normes de ces vecteurs ainsi que l’angle que fait le vecteur vitesse avec le vecteur position_OM# ».

Exercice 13 : Mouvement circulaire

Un point est contraint de se déplacer sur un cercle de rayonRet de centreO. On décrit son mouvement en coordonnées polaires de centreO. Il se trouve enθ=0à l’instant initial.

1. Rappeler l’expression des vecteurs vitesse et accélération en coordonnées polaires pour une trajectoire circulaire.

2. Donner l’expression deθ(t)si le mouvement s’effectue avec une vitesse de normev₀constante et s’il s’effectue avec une norme croissant linéairement en fonction du temps :v=ktaveckune constante positive.

3. En déduire dans ce dernier cas :

(a) l’expression du vecteur accélération et sa norme en fonction du temps, (b) l’expression de la distanceDparcourue en fonction du temps.

4. Le rayon du cercle estR=2,0 met la normevcroît de1,0 m·s⁻¹toutes les5 s. Combien de tours le point aura-t-il effectués quand le module de son accélération atteindraa=3g, avecg=9,8 m·s⁻²?

Exercice 14 : Conjonction de planètes

Deux planètes assimilées à des pointsMAetMBdécrivent des orbites circulaires de même centreOdans un même plan, en tournant dans le même sens. Leurs mouvements sont circulaires uniformes, de périodes respectivesT_AetT_B. 1. Déterminer la durée séparant deux conjonctions deM_AetM_B, définies par l’alignement des pointsO,M_AetM_B,

dans cet ordre.

2. Calculer cette durée pour Vénus et la Terre, de périodes respectivesT_V=225 joursetT_T=365 jours.

Exercice 15 : Carrousel

On considère un carrousel circulaire de rayonRen rotation autour de son centreOà la vitesse angulaireωconstante par rapport à un référentielR. Un homme assimilé à un point se déplace à sa surface à la vitessevconstante.

1. (a) L’homme se déplace en suivant un rayon du cercle (Figure 1a). Il se trouve à l’instant initial enOet se dirige dans la directionθ=0. Déterminer ses coordonnées polairesr(t)etθ(t)dans le référentielR.

(b) Même question si l’homme se déplace à la vitessevconstante le long d’un cercle de rayonr0de centreO, dans le même sens que la rotation du carrousel (Figure 1b), avecθ=0à l’instant initial.

2. Déterminer dans les deux cas précédents le vecteur vitesse et le vecteur accélération dansRde l’homme.

3. Déterminer, dans les deux cas précédents la valeur maximale du rayonRpour laquelle la norme de l’accélération reste inférieure àg=9,8 m·s⁻²siv=1,0 m·s⁻¹etω=(2π/5)rad·s⁻¹.

Autres thèmes

ω r(t1) r(t2)

θ(t1) θ(t2) 0

P(t1) P(t2)

(a)

ω r(t1)

r(t2)

θ(t1) θ(t2)

0

P(t1) P(t2)

(b)

Fig. 1 : Trajectoires de l’homme entre les instantst1ett2. Le pointPest un point fixe du carrousel.

Exercice 16 : Bretelle d’accès

On cherche à relier deux portions de trajectoire coplanaires :

• l’une rectiligne

• l’autre circulaire de rayonR

Un véhicule parcourt la trajectoire à vitesse constantev.

1. Déterminer le vecteur accélération du véhicule quand il est sur la portion rectiligne et quand il est sur l’arc de cercle. Représenter les vecteurs sur un schéma. Quel inconvénient présente cette solution pour le confort des passagers et pour l’état du véhicule?

2. On cherche, pour relier ces deux portions, une courbe sur laquelle la courbureγcroît proportionnellement avec le temps au cours du mouvement :γ=αtavecαune constante positive.

(a) Établir la relation entre la courbeγet l’abscisse curvilignesen fonction deαetv. Tracer une allure ap- proximative de la courbe.

(b) On propose une courbe paramétrée par le réelθdéfinie, en coordonnées cartésiennes par :

x=` Zθ θ=0

cos³ θ²´

dθ y=` Zθ θ=0

sin³ θ²´

dθ

On admet de plus que pour une courbe paramétrée, la courbure au point de paramètreθa pour expression :

γ(θ)= dx dθ

d²y dθ²−dy

dθ d²x dθ² Ãµdx

dθ

¶2 +

µdy dθ

¶2!3/2

Déterminer l’expression deθen fonction detquand la courbe est parcourue à la vitessev.

(c) Vérifier que la courbureγest bien proportionnelle à l’abscisse curvilignesle long de la courbe proposée.

(d) Le véhicule se déplace àv=130 km·h⁻¹et on souhaite rejoindre une portion circulaire sur laquelle l’accé- lération aura pour normea=g/2en un temps de∆t=10 s. Calculer la valeur du paramètre`.

Exercice 17 : Godille en ski

Un·e skieu·r·se parcourt une trajectoire sinusoïdale plane donnée par l’équation : y=acos(kx),

aveca=5 metkdeux constantes positives.

1. Pour des raisons esthétiques, on souhaite que la distance entre deux virages à gauche soitN=15fois l’amplitude selony. Calculer numériquement (utiliser python ou Wolfram alpha ) la longueur de l’arc d’une période de la courbe.

2. On peut montrer que la courbureγa pour expression : d²y dx² Ã

1+ µdy

dx

¶2!3/2.

La trajectoire est parcourue à la vitessev=50 km·h⁻¹constante. Déterminer les valeurs minimale et maximale des accélérations normale et tangentielle. Tracer l’allure des variations de ces accélérations en fonction du temps sur un même graphique en précisant les valeurs numériques pertinentes pour l’échelle de temps. Comment ces courbes sont-elles modifiées pourv=100 km·h⁻¹?

Exercice 18 : Coordonnées sphériques

On étudie le mouvement d’un avion se déplaçant à faible altitude autour de la Terre. On peut alors considérer qu’il évolue à la surface d’une sphère de rayonRT. Sa position y est repérée par les anglesθetϕdes coordonnées sphériques.

1. Son vecteur vitesse#»_vpar rapport à la Terre est de norme constante.

(a) Il se déplace du nord vers le sud. Déterminer l’évolution de ses coordonnées sphériquesθetϕ. (b) Même question s’il se déplace sur un cercle de latitudeθconstante, d’est en ouest.

2. Il se déplace maintenant du nord vers le sud et d’est en ouest en gardant toujours le même angleαpar rapport à l’axe nord-sud. Comment doit-il ajuster la normevde son vecteur vitesse en fonction de sa position pour toujours garder le Soleil au zénith?

Exercice 19 : Bon courageI

Déterminer les expressions de la vitesse et de l’accélération en coordonnées sphériques.

Exercice 20 : Dilatation du temps en mécanique relativiste E

On illustre dans cet exercice une conséquence de l’invariance de la vitesse de la lumière postulée par la relativité restreinte : la dilatation du temps dans un référentiel en mouvement.

On considère deux observateurs, un chef de gare immobile sur son quai et une contrôleuse, immobile dans un train se déplaçant en mouvement rectiligne uniforme à la vitesseVpar rapport au quai.

Dans tout l’exercice on distinguera la temps dans le référentiel du trainR⁰, notét⁰de celui dans le référentiel (R) du quai, notét. On supposera que les référentiels liés à la gare et au train sont bien galiléens.

00000000 00000000 00000000 00000000 11111111 11111111 11111111 11111111

00000000 00000000 00000000 00000000 11111111 11111111 11111111 11111111

M M^′

O^′ x^′ O x

R

R^′ L

α

H B

À l’instant initialt⁰=0, la contrôleuse envoie une impulsion lumineuse (faisceau laser par exemple) verticalement vers un miroir situé à une distanceD. Cet instant est également choisi comme l’instantt=0dansR. À cet instant, la contrôleuse est enO⁰, le chef de gare enOetO=O⁰.

1. On raisonne tout d’abord dans le référentielR⁰. En admettant que la lumière s’y propage àc, quel est le tempsT⁰ mis par la lumière pour atteindre le miroir et revenir à la contrôleuse.

2. On admet que conformément à la théorie de la relativité restreinte, la lumière se propage également àcdans le référentielR⁰. Compte-tenu du déplacement deMdansRdurant la propagation lumineuse, son trajet y est triangulaire.

(a) Établir la relation entre l’angleα(fait par la direction du faisceau lumineux avec l’horizontale dansR),c, Let le tempsTmis par la lumière pour revenir à la contrôleuse dansR.

(b) Établir une autre relation entreα,Vetc. En déduireT.

3. En conclure que l’invariance de la vitesse de la lumière dans les deux référentiels implique qu’on aT=γT⁰, avec γ=1/

r

1−^V_c2². Justifier alors le terme de «dilatation des durées» entreRetR⁰.

Correction de l’exercice 1

1. On a immédiatement :

˙

x=2a₀t y˙=v₀ z˙=0

¨

x=2a0 y¨=0 z¨=0

v= q

(4a²₀t²+v²₀) a=2|a0|

2. On calcule : t= y

v₀→x=x₀+a₀ µy

v₀

¶2 ,

équation d’une parabole de sommet(x=x₀;y=0)et d’axe de symétrie(y=0).

3. On calcule :

x=2x0 pour :t= ±sqr tx0

a₀ iey= ±v0 rx0

a₀. En ces points le vecteur vitesse a pour expression :

#»_{v= ±2}^p_x0a0e#»_x+v0e#»_y.

0 0

x0 2x0

v₀p x₀/a₀

-v0

px₀/a₀

#»v_t=0

#»v

#»v

x

y

Correction de l’exercice 2

Par définition, on aa=dv

dt. À chaque instant on a donc, par intégration :

v(t)−v(t=0)= t Z

t=0 a(t) dt.

On intègre ensuite les expressions dea(t), linéaires par morceaux. On peut également lire graphiquement la variation de la vitesse comme l’aire sous la courbe : il suffit ici de la découper en triangles et rectangles. On obtient :

v(t₂)=v(t₁)+2 s×2×6 m·s⁻²/3

2 =7 m·s⁻¹. v(t₃)=v(t₁)+7 s×6 m·s⁻²=45 m·s⁻¹.

Correction de l’exercice 3

Les courbes sont représentées sur la Figure 2.

1. La vitesse croît linéairement avec le temps pendant la duréeta, puis reste constante pendanttuet décroît li- néairement avec une pente deux fois plus faible pendantt_d. La duréet_d doit donc être deux fois plus grande queta. La longueur totale parcourue est l’aire sous la courbe puisqu’en notantxla position à l’instantt, on a x(t)−x(0)=x(t)=

t R τ=0vdτ.

2. La courbe de l’accélération se compose de trois portions constantes. De la même manière que précédemment, on av(t)−v(0)=v(t)=

t R

τ=0adτ. La vitesse est donc l’aire entre la courbe de l’accélération et l’axe des abscisses, comptée positivement si la courbe est au dessus de l’axe et négativement sinon. Elle est bien nulle à la fin du mouvement puisque les aires au dessus et en dessous de l’axe sont égales.

3. On a^dx

dt =cstesur la portion d’accélération nulle et ^d2x

dt² =cstesur les portions à accélération constante. La courbe de la position en fonction du temps se compose donc d’une portion de parabole tournée vers le haut, d’une portion rectiligne et d’une portion de parabole tournée vers le bas. Ces courbes doivent se raccorder continûment et être partout dérivables puisque la position et la vitesse sont continues.

3

−1 2

10 16

ta tu td

t(s) a(m·s⁻²)

(a) Accélération.

3 10 16

6

ta tu td

t(s) v(m·s⁻¹)

(b) Vitesse.

3 10 16

9 51 69

ta tu td t(s)

x(m)

(c) Position.

Fig. 2 : .

Correction de l’exercice 4

Notonsxl’axe du mouvement.

1. (a) La vitesse évolue selon :

(tÉt1: vx=at

tÊt1: vx−at1= −a(t−t1)→vx=2at1−at.

Elle s’annule donc pourt=2t1(représentée sur la figure 3a).

(b) On l’obtient par intégration :















tÉt1: x(t)−0 = t R t=0

v(t) dt= t R t=0

atdt=¹₂at² tÊt1: x(t)−x(t1) =

t R

t=t₁v(t) dt= t R

t=t₁2at1dt−atdt=2at1(t−t1)−¹₂a(t²−t₁²) x(t) = −at₁²+2at₁t−¹₂at²

représenté sur la figure 3b. On vérifie qu’elle est bien continue et dérivable puisquevxest continue.

(c) La distance totale parcourue estx(2t1)=at₁². On a de plus :

dx=vxd→x(2t1)=

x(2t₁) Z

x=0 dx=

2t₁ Z

t=0 vxdt.

C’est donc l’aire sous la courbe devx(t), ce qu’on vérifie puisque l’aire sous ce triangle de base2t₁et de hauteurat₁estat₁.

0 t

2t

0 at

t v

(a)Évolution de la vitesse.

t

2t

0

at₁² 2

at

t v

(b)Évolution de la position.

Fig. 3 2. (a) On vérifie que l’égalité :

µv v₀

¶2 +

µt−t0 t₀

¶2

=1

est vérifiée aux points :v=0,t=0,v=0,t=2t1,v=v0,t=t0. Les grandeursv0ett0représentent les demi-axes de l’ellipse, analogues du rayon d’un cercle quand ils sont égaux. Commevest toujours positif, on a :

v=v0 s

1− µt

t0−1

¶₂ .

(b) On en déduit, par intégration :

x(t)−0= t Z

t=0

v(t) dt=v₀ t Z

t=0 s

1−

µt t0−1

¶2 dt.

On effectue un changement de variable en posant,t/t0−1=sin(u). On adt=t0cos(u) duetu∈[−π/2;π/2]

pourt∈[0; 2t0]. On calcule^p1−sin(u)²= |cos(u)| =cos(u)puisquecos(u)Ê0sur cet intervalle, d’où :

x(t)=v₀ π/2Z u=−π/2

q

1−sin(u)²dt=v₀t₀ π/2Z u=−π/2

cos(u)²du=v₀t₀ π/2Z u=−π/2

1+cos(2u)

2 du

=v0t0 2

³π+[sin(2u)/2]^π/2_u=−π/2´

=πv0t0 2 .

Comme précédemment, cette grandeur représente l’aire sous la courbe dev(t). On aurait pu obtenir ce ré- sultat directement en utilisant l’aire de l’ellipse, de demi-axesv0ett0, égale àπv0t0comme on vient de l’établir. On peut facilement retenir ce résultat en le rapprochant de l’aire d’un disque de rayon, égale à πR²et en interprétant une ellipse comme un cercle de «rayons» différents selon les deux axes, égaux aux demi-axes.

Correction de l’exercice 5

Choisissons comme origine des temps, l’instant où la première voiture atteint la zone d’accident et comme origine des abscisses le début de cette zone. En notantx1(t)son abscisse, on a immédiatementx1(t)=v2t.

PosonsDla distance entre les deux voitures avant la zone d’accident. La première voiture se trouve quant à elle àt=0 enx2= −(D+l)et elle parvient à l’instant(D+l)/v1à la zone d’accident. L’accident sera évité si la première voiture est entièrement engagée dans la zone d’accident à cet instant, où elle a parcouruv₂(D+l)/v₁, soit sil<v₂(D+l)/v₁, ieD>(v₁/v₂−1)l=1,8 m.

Correction de l’exercice 6

1. On décompose la vitesse du pointMselon :

#»_v(M)=v^¡_cos^¡_ϕ^¢_e#»_y+sin^¡_ϕ^¢_e#»_x^¢_.

On obtient son vecteur position en intégrant entre l’instant initialt=0oùM=Oet un instant ultérieur, avec v=cste:

# » OM(t)−#»₀

= t Z

t=0

#»_{v(M) dτ=v}^¡_cos^¡_ϕ^¢_τe#»_y+sin^¡_ϕ^¢_τe#»_x^¢_, soit :

yM(t)=vcos¡ ϕ¢

t et : xM(t)=vsin¡ ϕ¢

t.

2. On obtient de la même manière :

#»_v(A2)=Ve#»_x soit : # »_A

2(0)A2(t)=V t_e#»_x et donc :

(x_A2(t) = −D+V t y_A2(t) =L . On en déduit :

• xM=xA₂pourtx=_V ^D

−vsin¡ ϕ¢;

• yM=yA₂pourty=_vcos^L¡_ϕ^¢.

On remarque quetxdiverge pourV=vsin¡

ϕ¢: la personne ne sera jamais rattrapée par la voiture s’ils ont la même vitesse selonOx. De mêmetydiverge pourϕ=π/2: le piéton reste alors sur l’axeOx.

L’individu peut éviter la voiture s’il atteinty=Lavant que la voiture ne l’ait rejoint, soit pourtx>ty, c’est-à-dire : D

V−vsin¡

ϕ¢> L vcos¡

ϕ¢. La vitesse limitevmin(ϕ)vérifie donc :

t_x=t_y soit : vmin(ϕ)= V L Dcos¡

ϕ¢ +Lsin¡

ϕ¢.

3. (a) On peut déterminer l’angleϕminimisantvmin(ϕ)en cherchant à annuler la dérivée devmin(ϕ). Il est ce- pendant plus léger d’utiliser la représentation de Fresnel pour transformer l’expressionDcos¡

ϕ¢ +Lsin¡

ϕ¢. On peut en effet l’écrire :

Dcos¡ ϕ¢

+Lsin¡ ϕ¢

=Dcos¡ ϕ¢

+Lcos³ ϕ−π

2

´ .

En représentation de Fresnel, on forme donc le vecteur comme somme de deux vecteurs orthogonaux. Sa norme est donc^pD²+L²et sa phase peut s’écrireϕ−δ, avectanδ=L/D. On a finalement :

Dcos¡ ϕ¢

+Lsin¡ ϕ¢

=p

D²+L²cos¡

ϕ−δ¢ soit :vmin(ϕ)= V L pD²+L²cos¡

ϕ−δ¢.

Cette expression est minimale pourϕ=δoù la valeur absolue du cosinus est maximale. Son minimum est : v₀=vmin(ϕ=δ)= V L

pD²+L² .

(b) PourDÀL(qui est le cas le plus fréquent lors de la traversée d’un passage piéton), on atan (δ)¿1, l’angleδ, et doncϕ, sont alors très petits devant1: le piéton doit traverser selonO y. Par ailleurs, on a alors v0'V L/D. Le rapport des vitesses deMet de la voiture doit être supérieur au rapport des distancesL/D. PourLÀD, on a au contrairetan(δ)À1et doncϕ=δtrès proche deπ/2: l’individu doit courir selonOx si la voiture est très proche. On a alorsv₀'V: il doit courir plus vite que la voiture ne roule pour l’éviter.

Correction de l’exercice 7

1. Le système possède une direction privilégiée, la direction du vecteur#»_a. On choisit donc les coordonnées carté- siennes.

2. On intègre deux fois par rapport au temps l’équation différentielle^d2_OM# »

dt² = −g_e#»_zpour obtenir :x=v0tcos (α) etz=h+v0tsin (α)−^{g t}₂².

Il reste à «faire disparaître» le paramètretpour obtenir la trajectoire : t= x

v₀cos (α) soit : z−h=xtan (α)− g 2v²₀cos²(α)x². 3. (a) On résout tout d’abord l’équationz=0. On a donc :

−h=xtan (α)− g

2v₀²cos²(α)x² soit :0=x²−2v₀²sin (α) cos (α)

g x−2hv²₀cos (α)²

g .

L’unique racine positive de cette équation du second degré, qu’on noterax_Cest :

x_C=v²₀ g



 sin (2α)

2 +

v u u t

µsin (2α) 2

¶2 +2g h

v²₀ cos²(α)





Pour établir l’altitude maximale, il est fructueux de transformer l’expression de la trajectoire pour y lire directement ses caractéristiques. En faisant apparaître le développement du carré d’une somme, on a en effet :

z−h=xtan (α)− g

2v²₀cos²(α)x²= − g 2v₀²cos²(α)

Ã

x²−2v₀²cos²(α) tan (α)

g x

!

= − g 2v₀²cos²(α)

"

x−v²₀sin (α) cos (α) g

#2

+v₀²sin²α 2g ,

soit : z− Ã

h+v²₀sin²(α) 2g

!

= − g 2v₀²cos²(α)

"

x−v²₀sin (α) cos (α) g

#2 .

Cette expression est de la forme : z_S−z= g

2v²₀cos²(α)

¡x−x_S¢2,

avecx_Setz_Sles coordonnées du sommet de la parabole. L’alti- tude maximale sera doncz_S=h+^v

20sin²(α)

2g , atteinte pourx_S= v₀²sin(α) cos(α)

g =^v

2 0sin(2α)

2g . ^{xS xC}

h zS

α

0 x

z

(b) L’altitudez_Sest évidemment maximale pour une trajectoire verticale, c’est-à-dire avecα=π/2. On a alors zS=h+^v

2

2g0. Quel que soit l’angleα, l’altitudezScroît linéairement avech. (c) Pourh=0, on ax_C=^v

20sin(2α)

g , maximale pour2α=π/2, soitα=π/4où elle vautx_C=^v 02 g. (d) Pourα=π/4on a, pourhnon nul :

x_C=v₀² 2g Ã

1+ s

1+4g h v₀²

! .

Prenons pourhla hauteur de la main au moment du lancer. Pourh'2 m, le terme sans dimension4g h/v²₀ n’est pas très grand devant1et on a^³1+

q

1+4g h/v²₀´

/2=1, 17. Un lancer deh=2 mpar rapport à un lancer du sol ne fait gagner que16%à la portée du tir.

De plus l’expression dex_C est bien croissante avechmais elle croît lentement puisqu’elle comporte une fonction racine. Pour un lancer avech=1,5 m, on aura encore^³1+

q

1+4g h/v²₀´

/2=1, 13: les0,5 md’un·e joueu·r·se àh=2 mne lui font gagner que3%.

Correction de l’exercice 8

1. Si la roue ne glisse pas, son centre avance à chaque tour d’une longueur égale à son périmètre, soit2πR. Comme la roue a alors tourné deθ=2π, on axc=xc₀+Rθ. Le choix d’origine du repère assure ici quexc₀=0.

2. On a_{O A}# »

=_OH# » +_HC# »

+_{C A}# »avecHle projeté orthogonal deCsur l’axeO y. Comme_{C A}# »

=R£

−sinθ_e#»_x−cosθe#»_y^¤,

# »

HC=x_C#»_ex=Rθet_OH# »

=R#»_ey, on obtient : O A# »=R£

(1−cosθ)_e#»_{y+(θ−sinθ)e}#»_x^¤_.

3. On en déduit les expressions de la vitesse et de l’accélération dans le référentielRdans lequel_e#»_xet_e#»_ysont fixes :

#»_v=Rθ˙sinθ_e#»_y+Rθ˙(1−cosθ)_e#»_x

et #»_a=R^³θ¨sinθ+θ˙²cosθ´_e#»_y+R^hθ(1¨ −cosθ)+θ˙²sinθi#»_ex

0 π 2π 3π 4π 5π

0 0,5 1 1,5 2

x/R

y/R

4. Quand le pointArepasse enθ=0[2π], c’est-à-dire au contact avec le sol, on a#»_v=#»₀ et#»_a=Rθ˙²_e#»_y. La vitesse coïncide alors avec la vitesse du point du sol coïncident à l’instant du contact : on dit qu’il y a «roulement sans glissement».

Correction de l’exercice 9

1. On choisit évidemment le repère cartésien d’origineO dont l’un des axes,Oxpar exemple, coïncide avec la direction de#»_a. On aura donc#»_a=a#»_ex.

2. L’équation du mouvement deM s’écrit immédiate- ment :v(t)=v₀+atetx(t)=x₀+v₀t+¹₂at², soit la trajectoire dans l’espace des phases :

x− Ã

x0−v₀² 2a

!

=v² 2a,

1 1,5 2 2,5 3

-0,5 0 0,5 1 1,5

x/x0

v/

√ 2ax0

, parabole de sommetx=(x₀−^v

20

2a,v=0). On représente sur la figure ci-contrev/p2ax₀en fonction dex/x₀pour v₀/p

2ax₀=¹₂(courbe en traits continus) etv₀/p

2ax₀= −¹₂ (courbe en traits interrompus). Bien évidemment, les deux trajectoires se confondent pourt→ ∞.

Correction de l’exercice 10

1. Le chien, situé à l’instanttenx(t),y(t)se dirige toujours vers son maître situé, au même instant en0,v t. Un vecteur directeur de la tangente à la trajectoire du chien est donc(1,d y/d x), avecd y/d x=(v t−y)(−x). 2. On calcule alors la norme de la vitesse du chien :2v=q

v²_x+v²_y= |x|˙ q

1+(d y/d x)². On dérive l’équation

−xd y/d x=v t−ypar rapport au temps pour obtenir :−xd y/d x˙ −xxd˙ ²y/d x²=v−xd y/d x˙ , soitxxd˙ ²y/d x²=

−v. En reportant cette expression dans l’expression du module au carré de la vitesse, on obtient : 1+

µdy dx

¶2

=4x² Ãd²y

dx²

!2 .

3. On vérifie que les solutions proposées sont solutions. Comme les conditions initiales du mouvement sontx(0)= a;y(0)=0etd y/d x(0)=0, on obtientα=1/p

aetβ=2a/3.

4. Quand le chien rejoint sa maîtresse, on ax=0et doncy=β=2a/3. Il faut vérifier à quel instantt_f le chien atteint la droitex=0. Pour cela, on introduit dans l’équation donnantx˙l’expression ded²y/d x². On obtient :

d x d t = −v/£

αpx/4+1/(4αp

x)¤. On intègre alors selon : Z_x=0

x=a αp x/4+ 1

4αp xdx= −

Z t_f

t=0vdt→α/6a^3/2+p

a/(2α)=v t_f→2a/3=v t_f.

Or àt=2a/3, la maîtresse se trouve en2a/3qui est bien la position du chien : ils se sont bien rejoints.

5. Le chien court à2v, il a donc parcouru2v t_f avant qu’ils se rejoignent. On peut le vérifier en calculant

l= Zx=0

x=a q

d x²+d y²= Zx=0

x=a −d x q

1+(d y/d x)²= Z x=a

x=0 2xd²y d x²=

Zx=a x=0

³p x/a+p

a/x´ /2=4a/3.

Correction de l’exercice 11

On a :

#»_v=r˙e#»_r+rθ˙_e#»_θ+z˙e#»_z #»_a=^³_r¨−rθ˙²´_e#»_r+^¡_{2 ˙r}θ˙+rθ¨¢_e#»_θ+z¨e#»_z

=2a0t_e#»_r+(a0t²_+r0)ωe#»

θ+v0_e#»_{z =}^³_2a0−(a0t²_+r0)ω^2´_e#»_r+4a0tωe#»

θ et :

k#»_{vk =}^q_(2a0t)2+ω²(a0t²+r0)²+v₀² k#»_{ak =}^q¡_2a0−(a0t2+r0)ω²¢2+16ω²a²₀t².

Correction de l’exercice 12

1. On élimine le paramètre t. On a t =θ/ω, soit r = be^−θ/(ωτ). Si le point est en^³r0=be^{−θ0/(ωτ)};θ0=ωt0

´ à l’instantt0, il a accompli une révolution pour le pre- mier instant tel queθ=θ0+2π, soitt=t0+2π/ω. On a alorsr=r0be^{−2π/(ωτ)}, constant. Cette courbe porte le nom de spirale logarithmique, elle est représentée sur la Figure 12.

r e#»_θ

M

θ

#»_v

2. On obtientvr =dr dt = −b

τe^−t/τ etv_θ=rdθ

dt =bωe^−t/τ. On détermine égalementar=r¨−rθ˙²=(1/τ²− ω²)be^−t/τeta_θ=2 ˙rθ˙+rθ¨= −^2bω_τ e^−t/τ.

3. On calculev= q

v_r²+v²_θ=bp

ω²+1/τ²e^−t/τeta= q

a²_r+a_θ²=b¡

ω²+1/τ²¢

e^−t/τ. En notantαl’angle (_e#»_r,#»_v), on acos(α)=¡#»_v·OM# »^¢_/(vr)

= −1/p

1+ω²τ², on remarque en particulier qu’il ne dépend pas du point M.

Correction de l’exercice 13

1. On a#»_v=Rθ˙_e#»

θet#»_{a= −R}θ˙²_e#»_r+Rθ¨_e#»

θ.

2. Si la norme de la vitesse est constante, on a :θ^˙=v₀/Ret donc :

θ(t)−θ(0)=θ(t)=

Zt

τ=0 dθ dτdτ=v

R Zt

τ=0 dτ=v t

R.

Siv=kt, on aθ^˙=kt/R, soit :

θ(t)−θ(0)=θ(t)= t Z τ=0

dθ dτdτ=k

R t Z τ=0

τdτ=kt² 2R.

3. (a) On a alorsθ^˙=kt/Retθ^¨=k/R, soit :

#»_a=R^Ã₋^k2t2 R²

e#»r+k R

e#»_θ

!

soit :a=k s

1+k²t⁴ R² .

(b) La distance parcourue estD(t)=Rθ=^kt₂².

4. On a dans ce cask=¹₅=2,0·10⁻¹m·s⁻². Comme on ne recherche pas explicitement le temps, on le fait disparaître en remplaçantkt²par2D. On aura donca=3gpourDtel que :

3g=k s

1+4D²

R² soit : D=R 2

s 9g²

k² −1.

Le nombre de tours estD/(2πR)=11,7.

Correction de l’exercice 14

1. La vitesse angulaire sur chaque mouvement estω=2π/T. La différence angulaire∆θentre les directions des deux planètes varie donc avec le tempstcomme∆θ=2π³₁

T_V −_T¹_T´

t. Les planètes sont en conjonction quand

∆θ=0 mod 2π. En choisissant une conjonction comme origine des temps, la suivante se produit pourt=Tctel que2π³

1 T_V −_T¹

T

´

Tc=2π soit : Tc=_T^TTTV T−TV. 2. On calculeTc=587 jour.

Correction de l’exercice 15

1. (a) On a immédiatementr=v t. L’homme met le même temps que le carrousel pour effectuer un tour complet autour deOsa vitesse angulaire est donc la même et on aθ=ωtcomme pour un point fixe du carrousel.

(b) On a cette fois-cir=r0. En un temps∆t, l’homme a tourné dev∆t/r0par rapport au rayon du carrousel sur lequel il se trouvait initialement, qui a lui-même tourné deωt. Sa vitesse angulaire est doncω+v/r0et on aθ=(ω+v/r₀)t.

2. On a toujours :#»_v=r˙e#»_r+rθ˙_e#»_θet#»_a=^¡_r¨−rθ˙²¢_e#»_r+^¡_rθ¨+2 ˙rθ˙¢_e#»_θ.

• Dans le premier cas, on obtient :

#»_v=v^¡_e#»_r+ωte#»

θ¢ #»_a=vω^¡_2e#»

θ−ωt_e#»_r^¢_.

• Dans le deuxième, on a :

#»_v=(v+r0ω)e#»_θ #»_{a= −r0}^µ_ω+^v r₀

¶2 e#»r. 3. • Dans le premier cas, on exprime la normeade#»_a en fonction der:a=vωp

4+(ωt)²=vωq 4+¡_rω

v

¢2. Cette expression est croissante et maximale pourr=R, on résout alorsa=g. On obtientR=6,0 m.

• Dans le deuxième cas, on a directementa=r0

³ω+_r^v₀´2

. On résouta=gpourr0=R=4,5 m.

Correction de l’exercice 16

1. Sur la portion rectiligne, le vecteur accélération est nul car on est en mouvement rectiligne uniforme. Sur la portion circulaire, on a#»_{a = −(v}²_/R)e#»_r car le mouvement est circulaire uniforme. L’accélération est donc discontinue quand on passe d’une portion à l’autre, ce qui se traduit par une secousse (voir le cours de deuxième année sur les référentiels non galiléens) inconfortable pour les passagers et qui peut endommager le véhicule lui-même.

2. (a) Pour un mouvement uniforme, on as=v t. Comme on sou- haite avoirγ=at, on auras=vγ/a. Au fur et à mesure de sa progression le rayon de courbure va diminuer et la courbe s’en- rouler de plus en plus vite. L’allure de la courbe est représentée ci-contre pour unθvariant de0à1,5π.

(b) On a : vx=dx

dt=`dθ

dtcos(θ²) vy=`dθ

dtsin(θ²)→v²= µ

`dθ dt

¶2 .

On en déduit,v=`dθ

dt soitθ=v t/`puisquev=cste.

0 0, 2 0, 4 0, 6 0, 8

0 0, 2 0, 4 0, 6

x/`

y/`

(c) On calcule la courbureθavec la formule proposée : dx

dθ=`cos³

θ²´ dy

dθ=`sin³ θ²´ d²x

dθ²= −2`θsin³

θ²´ dy

dθ=2`θcos³ θ²´ γ=

2θ³

cos(θ²)²+sin(θ²)²´

`³

cos(θ²)²+sin(θ²)²´3/2=2θ

` =2s

`².