I Comportement d’une suite numérique
I.1 Sens de variation
Voir paragraphe I.2 dans ce document :http://www.mimaths.net/IMG/pdf/suites1_ts_1213.pdf
I.2 Suite majorée, minorée et bornée
Voir paragraphe I.3 dans ce document :http://www.mimaths.net/IMG/pdf/suites1_ts_1213.pdf
EXERCICE 1 Écrire la définition d’une suite (un) majorée.
...
En déduire l’écriture de la définition d’une suite non majorée.
...
EXERCICE 2 Prouver que les suites (un) et (vn) sont bornées :un= 2−4 cosnet vn= 4−
1
3 n
I.3 Limite d’une suite
De quoi s’agit-il ? ....
I.3.1 Limite infinie
(un) est une suite de nombres réels.n∈N.
Définition 1 On dit que(un)tend vers+∞(lorsquentend vers+∞), quand tout intervalle du type[A; +∞[, avecA∈Rcontient tous les termes de la suite(un)pournassez grand.
Cela se note lim
n→+∞un= +∞
• Ce qui se traduit concrètement et rigoureusement par :
« pour toutA∈R, il existeun entier naturelnA (qui dépend deA) tel que :
Pour toutntel quen>nA, on aun>A( ou encoreun∈[A; +∞[ ) »
• ou encore plus simplement mais avec moins de rigueur :
« Il existe un rangn, à partir duquelun dépasse n’importe lequel des nombres que je choisis. »
Exemple 1 Limites de suites de référence :
• (√n),(n),(n2),(n3), . . . ,(np)avecp∈N∗tendent vers+∞. Preuve pour la suite(n2): ....
• Les suites(qn)avecq>1ont pour limite+∞.
EXERCICE 3 :
1. Donner la définition d’une suite (wn) qui tend vers−∞. ....
2. Donner des suites qui tendent vers−∞. ....
I.3.2 Limite finie
(un) est une suite de nombres réels.n∈N.
Définition 2 On dit que(un)tend versL(lorsque ntend vers+∞), quand tout intervalle ouvert contenantL contient tous les termes de(un)à partir d’un certain rang.
On dit alors que la suite (un)est convergente ou converge versL.
Cela se note lim
n→+∞un=L
• Traduction rigoureuse :
« pour toutǫ >0, ilexisteun entier naturelnǫ (qui dépend deǫ) tel que :
Pour toutn>nǫ, on a|un−L|6ǫ( ou encoreun ∈]L−ǫ;L+ǫ[ ) »
• ou encore plus simplement mais avec moins de rigueur :
« Il existe des rangsnà partir desquelsun se rapproche deLde manière aussi précise que je veux »
Remarque 1 Lorsqu’une suitene converge pas, on dit qu’ellediverge (C’est le cas des suites qui ont une limite infine ou de celles qui n’ont pas de limite). Par exemple la suite (−1)n diverge car ....
Théorème 1 Si une suite (un) converge alors sa limiteLestunique.
Exemple 2 Limites de suites de référence :
•
1
√n
,1 n
,1
n2
, 1
n3
, . . . , 1 np
avecp∈N∗tendent vers0. Preuve pour la suite1 n3
: ....
• Les suites(qn)avec−1<q<1ont pour limite0. (démonstration plus loin)
II Limites de suites et opérations
Les règles vues dans la leçon 2 (paragraphe II.3) :http://mimaths.net/IMG/pdf/limitesfonctions.pdf s’appliquent aux suites lorsuqentend vers +∞.
II.1 Limite d’une somme
Exemple 3 Calculer lim
n→+∞
√n+ 1 n2
II.2 Limite d’un produit
Exemple 4 Calculer lim
n→+∞
1
√n+ 1
(n2+ 3)
II.3 Limite d’un quotient
Exemple 5 Calculer lim 2
II.5 Rappels des formes indéterminées
Il existe 4 formes indéterminées qui nécessitent l’utilisation d’une technique ou d’une propriété pour lever l’indétermination.
«∞ − ∞» « 0× ∞» « ∞
∞» « 0 0 »
EXERCICE 4 : 1. Calculer lim
n→+∞
√n−n2puis lim
n→+∞5 + 2n2−7n3. 2. lim
n→+∞
√n+ 1−√
npuis lim
n→+∞6n−32n.
III Théorèmes pour établir la convergence d’une suite
III.1 Convergence monotone
Théorème 2 :
• Si une suite est croissante et majorée alors elle est convergente.
• Si une suite est décroissante et minorée alors elle est convergente.
Remarque 2 Ce théorème établit l’existence de la limite d’une suite mais ne permet d’en donner la valeur.
Exemple 7 :
1. un= 0.2424...24(nséquences 24) 2. un= n
n+ 1
EXERCICE 5 Soit (un) une suite décroissante et strictement positive. Montrer que la suite (wn) définie par wn = 1
1 +un
est convergente.
III.2 Suites monotones non bornées
Théorème 3 :
• Si une suite (un) est croissante et non majorée alors lim
n→+∞un= +∞
• Si une suite (un) est décroissante et non minorée alors lim
n→+∞un=−∞
Démonstration(ROC):
(un) est majorée⇔ Il existe M ∈Rtel que pour tout n∈N, un6M. . . . .
III.3 Théorèmes de comparaison
III.3.1 Théorème des gendarmes
Propriété 1 Théorème des gendarmes (Limite finie) Si, pournassez « grand » , on a l’encadrement :
vn6un6wn, etsi(vn) et (wn) ont la même limiteL, alors lim
n→+∞un=L
Exemple 8 Calculer lim
n→+∞
(−1)n+ 3n2 n2
III.3.2 Théorèmes de comparaison
Propriété 2 Théorèmes de comparaison (Limite infinie)
• Si, pournassez « grand » , on a l’inégalitéun>vnetsi lim
n→+∞vn= +∞, alors lim
n→+∞un= +∞
• Si, pournassez « grand » , on a l’inégalitéun6wnet si lim
n→+∞wn=−∞, alors lim
n→+∞un=−∞
Démonstration(ROC)du premier point : (utiliser la définition d’une limite infinie) ....
Exemple 9 Calculer lim
n→+∞
n+ 1 + (−1)n
III.4 Application : limite d’une suite géométrique
III.4.1 Inégalité de bernoulli
Propriété 3 Pour toutn∈Net toutaréel strictement positif, (1+a)n>1+na
Démonstration par récurrence : ...
III.4.2 Limite d’une suite géométrique
(un) est une suite géométrique de raisonqnon nulle. On sait que, pour tout n∈N,un =u0qn.
En utilisant les opérations sur les limites, pour connaître le comportement de (un), il suffit de connaître celui de la suite (qn) et le signe de u0.
Théorème 4 Soitq un nombre réel, on a :
• Si q >1, ...
• Si −1< q <1, ...
• Si q6−1, ...
• Si q= 1, ...
Démonstration(ROC)du premier point : (utiliser l’inégalité de Bernoulli et un théorème de comparaison) ....
Exemple 10 Calculer les limites suivantes :
• lim
n→+∞
2n+1+ 3n+1 32n−1
• lim
n→+∞1 +1 2+1
2 2
+. . .+1 2
n
