1.3Limitesdessuitesusuelles 1.2Limiteinfinied’unesuite 1.1Limitefinied’unesuite Chapitre1:Limitesdesuites1Limitefinieouinfinied’unesuite

Chapitre 1 : Limites de suites 1 Limite finie ou infinie d’une suite

1.1 Limite finie d’une suite

La suite(un)admet pour limite le réelℓsi tout intervalle ouvert contenantℓcontient . . . .. . . . . . . .

On écrit alors :

. . . . Définition

Interprétation graphique :

p u_p

ℓ b

a

n u_n

1.2 Limite infinie d’une suite

Soit A ∈ ^R. La suite (u_n) admet pour limite +∞ (resp. −∞) si tout intervalle de la forme ]A; +∞[ (resp.]− ∞;A[) contient

. . . .. . . . On écrit alors :

. . . . Définition

Interprétation graphique :

p u_p

A

n u_n

Algorithme déterminant un rang à partir duquel une suite croissante de limite infinie est supérieure à un réel A : On considère la suite(u_n)définie paru0 = 2et pour tout entier n,u_n+1 = 4u_n. Cette suite est croissante et admet pour limite+∞

Voici un algorithme écrit en langage naturel : Définir fonction seuil(A)

n←. . . u←. . . Tant queu < A

n←. . . u←. . . Fin Tant que Retourner n

En langage calculatrice et Python :

1.3 Limites des suites usuelles

n→+∞lim n=. . . lim

n→+∞n² =. . . lim

n→+∞

√n=. . .

n→+∞lim 1

n=. . . lim

n→+∞

1

n²=. . . lim

n→+∞

√1n=. . .

Pour tout entierk≥1: lim

n→+∞n^k=. . . lim

n→+∞

1 n^k=. . . Théorème

Preuve de lim

n→+∞n²= +∞:

Remarque

Il existe des suites qui n’ont aucune limite (finie ou infinie), par exemple, la suite(un)définie pourn∈Nparun = (−1)ⁿ n’admet pas de limite car elle prend alternativement les valeurs . . . et . . . .

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

−1 1 ^b

u0

bu1

bu2

bu3

bu4

bu5

bu6

bu7

bu8

bu9

bu10

b b b b b b b

bu0

bu1

bu2

bu3

bu4

bu5

bu6

bu7

bu8

bu9

bu10

b b b b b b b

2 Opérations sur les limites

2.1 Somme de deux suites

n→+∞lim u_n ℓ ℓ ℓ +∞ −∞ +∞

n→+∞lim v_n ℓ^′ +∞ −∞ +∞ −∞ −∞

n→+∞lim un+vn

2.2 Produit de deux suites

n→+∞lim u_n ℓ ℓ6= 0 0

ou±∞

n→+∞lim v_n ℓ^′ ±∞ ±∞

n→+∞lim un×vn

2.3 Quotient de deux suites

n→+∞lim u_n ℓ ℓ 0 ℓ6= 0 ±∞ ±∞

n→+∞lim v_n ℓ^′ 6= 0 ±∞ 0 0 ℓ^′ ±∞

n→+∞lim u_n v_n 2.4 Exemple

Étudier la limite de la suite(un)définie sur^Npar :u_n= 2 3n+ 5

2.5 Formes indéterminées

Les cas des formes indéterminées nécessitent une étude particulière chaque fois qu’ils se présentent. Pour les mémoriser, on les note . . . .. . . .. . . .. . . .. . . .

mais ces écritures ne doivent jamais être utilisées dans une rédaction.

Le principe est toujours le même pour "lever" une indétermination : il faut changer l’écriture de la suite.

Exemple 1 :u_n= 3n²−n−5

Exemple 2 :u_n= 3n+ 5

−2n+ 7

Exemple 3 :u_n=n−√ n

3 Limites et comparaison

Soient deux suites(un)et(vn)et un entier naturelN tels que pour tout entiern≥N,un≤vn.

— Minoration : si lim

n→+∞u_n = +∞, alors . . . .. . . .

— Majoration : si lim

n→+∞v_n=−∞, alors . . . .. . . . Théorème

Démonstration du théorème de minoration : (exigible)

On considère trois suites (un) , (vn) et(wn). Soit un entier N et un réelℓ. On suppose que pour tout entiern≥ N, on a u_n≤v_n≤w_n.

Si les suites (un) et(wn) convergent vers la même limite ℓ, alors la suite(vn). . . ..

Théorème(Théorème "des gendarmes")

Démonstration : (hors programme) SoitI un intervalle ouvert contenantl.

Comme la suite(wn)converge vers ll’intervalleI contient tous les termesv_nà partir d’un certain rangn0. De même pour la suite(un), à partir d’un certain rangn1tous les termesu_n∈I.

On poseN = max(n0, n1) d’où pourn >N tous les termesu_n et tous lesw_n sont dans l’intervalleI. Or pour tout n∈Non au_n6v_n6w_nd’où à partir du rangN tous les termesv_n∈I.

D’après la définition la suite(vn)converge et sa limite estl.