Chap 5 : Limites de fonctions
A. OLLIVIER
Lycée Jacques Prevert - Pont-Audemer
2021-2022
A. OLLIVIER Chap 5 : Limites de fonctions
Limite d’une fonction à l’infini Limite infinie d’une fonction en un réel a Détermination de limites Limites de la fonction exponentielle
Limite finie à l’infini Limite infinie à l’infini
Dire qu’une fonction f a pour limite le nombre réel ℓ en + ∞ signifie que tout intervalle ouvert contenant ℓ contient . . . .
Définition
Dire qu’une fonction f a pour limite le nombre réel ℓ en + ∞ signifie que tout intervalle ouvert contenant ℓ contient toutes les valeurs de f (x ) pour x assez grand.
Définition
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Limite d’une fonction à l’infini Limite infinie d’une fonction en un réel a Détermination de limites Limites de la fonction exponentielle
Limite finie à l’infini Limite infinie à l’infini
Dire qu’une fonction f a pour limite le nombre réel ℓ en + ∞ signifie que tout intervalle ouvert contenant ℓ contient toutes les valeurs de f (x ) pour x assez grand.
Définition
On note lim
x −→+∞ f (x ) = ℓ .
A. OLLIVIER Chap 5 : Limites de fonctions
Dire qu’une fonction f a pour limite le nombre réel ℓ en + ∞ signifie que tout intervalle ouvert contenant ℓ contient toutes les valeurs de f (x ) pour x assez grand.
Définition
On note lim
x −→+∞ f (x ) = ℓ . Remarque :
On définit de façon analogue lim
x −→−∞ f (x ) = ℓ .
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Limite d’une fonction à l’infini Limite infinie d’une fonction en un réel a Détermination de limites Limites de la fonction exponentielle
Limite finie à l’infini Limite infinie à l’infini
Graphiquement :
F IGURE – A gauche limite en + ∞ et à droite en −∞
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Graphiquement :
F IGURE – A gauche limite en + ∞ et à droite en −∞
Lorsque f a pour limite ℓ en + ∞ (resp. en −∞ ), on dit que, dans un repère, la droite d d’équation y = ℓ est . . . . . . . .
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Limite d’une fonction à l’infini Limite infinie d’une fonction en un réel a Détermination de limites Limites de la fonction exponentielle
Limite finie à l’infini Limite infinie à l’infini
Graphiquement :
F IGURE – A gauche limite en + ∞ et à droite en −∞
Lorsque f a pour limite ℓ en + ∞ (resp. en −∞ ), on dit que, dans un repère, la droite d d’équation y = ℓ est asymptote horizontale à la courbe C f en + ∞ (resp. en −∞ ).
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Exemples :
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Limite d’une fonction à l’infini Limite infinie d’une fonction en un réel a Détermination de limites Limites de la fonction exponentielle
Limite finie à l’infini Limite infinie à l’infini
Exemples :
x →+∞ lim 1 x =
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Exemples :
x →+∞ lim 1 x = 0
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Limite d’une fonction à l’infini Limite infinie d’une fonction en un réel a Détermination de limites Limites de la fonction exponentielle
Limite finie à l’infini Limite infinie à l’infini
Exemples :
x →+∞ lim 1
x = 0 lim
x →+∞
1 x 2 =
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Exemples :
x →+∞ lim 1
x = 0 lim
x →+∞
1 x 2 = 0
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Limite d’une fonction à l’infini Limite infinie d’une fonction en un réel a Détermination de limites Limites de la fonction exponentielle
Limite finie à l’infini Limite infinie à l’infini
Exemples :
x →+∞ lim 1
x = 0 lim
x →+∞
1
x 2 = 0 lim
x →+∞
√ 1 x =
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Exemples :
x →+∞ lim 1
x = 0 lim
x →+∞
1
x 2 = 0 lim
x →+∞
√ 1 x = 0
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Limite d’une fonction à l’infini Limite infinie d’une fonction en un réel a Détermination de limites Limites de la fonction exponentielle
Limite finie à l’infini Limite infinie à l’infini
Exemples :
x →+∞ lim 1
x = 0 lim
x →+∞
1
x 2 = 0 lim
x →+∞
√ 1 x = 0
x →−∞ lim 1 x =
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Exemples :
x →+∞ lim 1
x = 0 lim
x →+∞
1
x 2 = 0 lim
x →+∞
√ 1 x = 0
x →−∞ lim 1 x = 0
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Limite d’une fonction à l’infini Limite infinie d’une fonction en un réel a Détermination de limites Limites de la fonction exponentielle
Limite finie à l’infini Limite infinie à l’infini
Exemples :
x →+∞ lim 1
x = 0 lim
x →+∞
1
x 2 = 0 lim
x →+∞
√ 1 x = 0
x →−∞ lim 1
x = 0 lim
x→−∞
1 x 2 =
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Exemples :
x →+∞ lim 1
x = 0 lim
x →+∞
1
x 2 = 0 lim
x →+∞
√ 1 x = 0
x →−∞ lim 1
x = 0 lim
x→−∞
1 x 2 = 0
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Limite d’une fonction à l’infini Limite infinie d’une fonction en un réel a Détermination de limites Limites de la fonction exponentielle
Limite finie à l’infini Limite infinie à l’infini
Dire qu’une fonction f a pour limite + ∞ en + ∞ signi- fie que tout intervalle de la forme ]A; + ∞ [, avec A réel, contient . . . .
Définition
On note lim
x −→+∞ f (x ) = + ∞ .
Dire qu’une fonction f a pour limite + ∞ en + ∞ signi- fie que tout intervalle de la forme ]A; + ∞ [, avec A réel, contient toutes les valeurs de f(x) pour x assez grand.
Définition
On note lim
x −→+∞ f (x ) = + ∞ .
Limite d’une fonction à l’infini Limite infinie d’une fonction en un réel a Détermination de limites Limites de la fonction exponentielle
Limite finie à l’infini Limite infinie à l’infini
Dire qu’une fonction f a pour limite + ∞ en + ∞ signi- fie que tout intervalle de la forme ]A; + ∞ [, avec A réel, contient toutes les valeurs de f(x) pour x assez grand.
Définition
On note lim
x −→+∞ f (x ) = + ∞ .
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Dire qu’une fonction f a pour limite + ∞ en + ∞ signi- fie que tout intervalle de la forme ]A; + ∞ [, avec A réel, contient toutes les valeurs de f(x) pour x assez grand.
Définition
On note lim
x −→+∞ f (x ) = + ∞ . Remarque :
On définit de manière analogue lim
x −→+∞ f (x ) = −∞ ,
x −→−∞ lim f (x) = + ∞ , lim
x −→−∞ f (x ) = −∞ .
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Limite d’une fonction à l’infini Limite infinie d’une fonction en un réel a Détermination de limites Limites de la fonction exponentielle
Limite finie à l’infini Limite infinie à l’infini
Exemples :
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Exemples :
x →+∞ lim x =
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Limite d’une fonction à l’infini Limite infinie d’une fonction en un réel a Détermination de limites Limites de la fonction exponentielle
Limite finie à l’infini Limite infinie à l’infini
Exemples :
x →+∞ lim x = + ∞
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Exemples :
x →+∞ lim x = + ∞ lim
x →+∞ x 2 =
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Limite d’une fonction à l’infini Limite infinie d’une fonction en un réel a Détermination de limites Limites de la fonction exponentielle
Limite finie à l’infini Limite infinie à l’infini
Exemples :
x →+∞ lim x = + ∞ lim
x →+∞ x 2 = + ∞
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Exemples :
x →+∞ lim x = + ∞ lim
x →+∞ x 2 = + ∞ lim
x →+∞ x 3 =
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Limite d’une fonction à l’infini Limite infinie d’une fonction en un réel a Détermination de limites Limites de la fonction exponentielle
Limite finie à l’infini Limite infinie à l’infini
Exemples :
x →+∞ lim x = + ∞ lim
x →+∞ x 2 = + ∞ lim
x →+∞ x 3 = + ∞
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Exemples :
x →+∞ lim x = + ∞ lim
x →+∞ x 2 = + ∞ lim
x →+∞ x 3 = + ∞
x →+∞ lim
√ x =
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Limite d’une fonction à l’infini Limite infinie d’une fonction en un réel a Détermination de limites Limites de la fonction exponentielle
Limite finie à l’infini Limite infinie à l’infini
Exemples :
x →+∞ lim x = + ∞ lim
x →+∞ x 2 = + ∞ lim
x →+∞ x 3 = + ∞
x →+∞ lim
√ x = + ∞
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Exemples :
x →+∞ lim x = + ∞ lim
x →+∞ x 2 = + ∞ lim
x →+∞ x 3 = + ∞
x →+∞ lim
√ x = + ∞
x→−∞ lim x =
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Limite d’une fonction à l’infini Limite infinie d’une fonction en un réel a Détermination de limites Limites de la fonction exponentielle
Limite finie à l’infini Limite infinie à l’infini
Exemples :
x →+∞ lim x = + ∞ lim
x →+∞ x 2 = + ∞ lim
x →+∞ x 3 = + ∞
x →+∞ lim
√ x = + ∞
x→−∞ lim x = − ∞
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Exemples :
x →+∞ lim x = + ∞ lim
x →+∞ x 2 = + ∞ lim
x →+∞ x 3 = + ∞
x →+∞ lim
√ x = + ∞
x→−∞ lim x = − ∞ lim
x→−∞ x 2 =
A. OLLIVIER Chap 5 : Limites de fonctions
Limite d’une fonction à l’infini Limite infinie d’une fonction en un réel a Détermination de limites Limites de la fonction exponentielle
Limite finie à l’infini Limite infinie à l’infini
Exemples :
x →+∞ lim x = + ∞ lim
x →+∞ x 2 = + ∞ lim
x →+∞ x 3 = + ∞
x →+∞ lim
√ x = + ∞
x→−∞ lim x = − ∞ lim
x→−∞ x 2 = + ∞
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Exemples :
x →+∞ lim x = + ∞ lim
x →+∞ x 2 = + ∞ lim
x →+∞ x 3 = + ∞
x →+∞ lim
√ x = + ∞
x→−∞ lim x = − ∞ lim
x→−∞ x 2 = + ∞
x →−∞ lim x 3 =
A. OLLIVIER Chap 5 : Limites de fonctions
Limite d’une fonction à l’infini Limite infinie d’une fonction en un réel a Détermination de limites Limites de la fonction exponentielle
Limite finie à l’infini Limite infinie à l’infini
Exemples :
x →+∞ lim x = + ∞ lim
x →+∞ x 2 = + ∞ lim
x →+∞ x 3 = + ∞
x →+∞ lim
√ x = + ∞
x→−∞ lim x = − ∞ lim
x→−∞ x 2 = + ∞
x →−∞ lim x 3 = − ∞
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Dire qu’une fonction f a pour limite + ∞ en a signifie que tout intervalle de la forme ]A; + ∞ [, avec A réel, contient . . . .
Définition
Limite d’une fonction à l’infini Limite infinie d’une fonction en un réel a Détermination de limites Limites de la fonction exponentielle
Limite infinie
Limite à droite ou à gauche
Dire qu’une fonction f a pour limite + ∞ en a signifie que tout intervalle de la forme ]A; + ∞ [, avec A réel, contient toutes les valeurs de f (x ) dès que x est assez proche de a.
Définition
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Dire qu’une fonction f a pour limite + ∞ en a signifie que tout intervalle de la forme ]A; + ∞ [, avec A réel, contient toutes les valeurs de f (x ) dès que x est assez proche de a.
Définition
On note lim
x −→ a f (x ) = + ∞ .
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Limite d’une fonction à l’infini Limite infinie d’une fonction en un réel a Détermination de limites Limites de la fonction exponentielle
Limite infinie
Limite à droite ou à gauche
Dire qu’une fonction f a pour limite + ∞ en a signifie que tout intervalle de la forme ]A; + ∞ [, avec A réel, contient toutes les valeurs de f (x ) dès que x est assez proche de a.
Définition
On note lim
x −→ a f (x ) = + ∞ . Remarque :
On définit de façon analogue lim
x −→ a f (x ) = −∞ .
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Dire qu’une fonction f a pour limite + ∞ en a à droite (resp. à gauche) signifie que tout intervalle de la forme ]A; + ∞ [, avec A réel, contient . . . . . . . . . . . .
Définition
Limite d’une fonction à l’infini Limite infinie d’une fonction en un réel a Détermination de limites Limites de la fonction exponentielle
Limite infinie
Limite à droite ou à gauche
Dire qu’une fonction f a pour limite + ∞ en a à droite (resp. à gauche) signifie que tout intervalle de la forme ]A; + ∞ [, avec A réel, contient toutes les valeurs de f (x ) dès que x est assez proche de a, x restant strictement supérieur à a (resp. stricte- ment inférieur à a).
Définition
A. OLLIVIER Chap 5 : Limites de fonctions
Dire qu’une fonction f a pour limite + ∞ en a à droite (resp. à gauche) signifie que tout intervalle de la forme ]A; + ∞ [, avec A réel, contient toutes les valeurs de f (x ) dès que x est assez proche de a, x restant strictement supérieur à a (resp. stricte- ment inférieur à a).
Définition
On note lim
x−→a
x>a
f (x ) = + ∞ ou lim
x −→ a
+f (x ) = + ∞ .
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Limite d’une fonction à l’infini Limite infinie d’une fonction en un réel a Détermination de limites Limites de la fonction exponentielle
Limite infinie
Limite à droite ou à gauche
Dire qu’une fonction f a pour limite + ∞ en a à droite (resp. à gauche) signifie que tout intervalle de la forme ]A; + ∞ [, avec A réel, contient toutes les valeurs de f (x ) dès que x est assez proche de a, x restant strictement supérieur à a (resp. stricte- ment inférieur à a).
Définition
On note lim
x−→a
x>a
f (x ) = + ∞ ou lim
x −→ a
+f (x ) = + ∞ . (resp. lim
x−→a
x<a
f (x ) = + ∞ ou lim
x −→ a
−f(x) = + ∞ ).
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Dire qu’une fonction f a pour limite + ∞ en a à droite (resp. à gauche) signifie que tout intervalle de la forme ]A; + ∞ [, avec A réel, contient toutes les valeurs de f (x ) dès que x est assez proche de a, x restant strictement supérieur à a (resp. stricte- ment inférieur à a).
Définition
On note lim
x−→a
x>a
f (x ) = + ∞ ou lim
x −→ a
+f (x ) = + ∞ . (resp. lim
x−→a
x<a
f (x ) = + ∞ ou lim
x −→ a
−f(x) = + ∞ ).
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Limite d’une fonction à l’infini Limite infinie d’une fonction en un réel a Détermination de limites Limites de la fonction exponentielle
Limite infinie
Limite à droite ou à gauche
Remarque : on définit de façon analogue lim
x −→ a
+f (x) = −∞ et
x−→a lim
−f (x ) = −∞ .
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Graphiquement :
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Limite d’une fonction à l’infini Limite infinie d’une fonction en un réel a Détermination de limites Limites de la fonction exponentielle
Limite infinie
Limite à droite ou à gauche
Lorsque f a pour limite + ∞ (ou −∞ ) en a, (ou à droite en a ou à gauche en a), on dit que la droite d’équation x = a est . . . .
Définition
Lorsque f a pour limite + ∞ (ou −∞ ) en a, (ou à droite en a ou à gauche en a), on dit que la droite d’équation x = a est asymptote verticale à C f
Définition
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Limite d’une fonction à l’infini Limite infinie d’une fonction en un réel a Détermination de limites Limites de la fonction exponentielle
Limite infinie
Limite à droite ou à gauche
Exemples :
lim
x−→0
x>0
1 x =
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Exemples :
lim
x−→0
x>0
1
x = + ∞
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Limite d’une fonction à l’infini Limite infinie d’une fonction en un réel a Détermination de limites Limites de la fonction exponentielle
Limite infinie
Limite à droite ou à gauche
Exemples :
lim
x−→0
x>0
1
x = + ∞ lim
x−→0
x<0
1 x =
A. OLLIVIER Chap 5 : Limites de fonctions
Exemples :
lim
x−→0
x>0
1
x = + ∞ lim
x−→0
x<0
1
x = − ∞
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Limite d’une fonction à l’infini Limite infinie d’une fonction en un réel a Détermination de limites Limites de la fonction exponentielle
Limite infinie
Limite à droite ou à gauche
Exemples :
lim
x−→0
x>0
1
x = + ∞ lim
x−→0
x<0
1
x = − ∞
x lim → 0
1 x 2 =
A. OLLIVIER Chap 5 : Limites de fonctions
Exemples :
lim
x−→0
x>0
1
x = + ∞ lim
x−→0
x<0
1
x = − ∞
x lim → 0
1
x 2 = + ∞
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Limite d’une fonction à l’infini Limite infinie d’une fonction en un réel a Détermination de limites Limites de la fonction exponentielle
Limite infinie
Limite à droite ou à gauche
Exemples :
lim
x−→0
x>0
1
x = + ∞ lim
x−→0
x<0
1
x = − ∞
x lim → 0
1
x 2 = + ∞ lim
x−→0
x>0
√ 1 x =
A. OLLIVIER Chap 5 : Limites de fonctions
Exemples :
lim
x−→0
x>0
1
x = + ∞ lim
x−→0
x<0
1
x = − ∞
x lim → 0
1
x 2 = + ∞ lim
x−→0
x>0
√ 1
x = + ∞
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Limite d’une fonction à l’infini Limite infinie d’une fonction en un réel a Détermination de limites Limites de la fonction exponentielle
Limites et opérations Limite d’une composée Limite et comparaisons
Les principaux résultats sur les calculs de limites ont été vus avec les suites.
On retient qu’on ne peut pas conclure directement dans les cas des formes indéterminées, du type :
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Les principaux résultats sur les calculs de limites ont été vus avec les suites.
On retient qu’on ne peut pas conclure directement dans les cas des formes indéterminées, du type :
" ∞ − ∞ ",
A. OLLIVIER Chap 5 : Limites de fonctions
Limite d’une fonction à l’infini Limite infinie d’une fonction en un réel a Détermination de limites Limites de la fonction exponentielle
Limites et opérations Limite d’une composée Limite et comparaisons
Les principaux résultats sur les calculs de limites ont été vus avec les suites.
On retient qu’on ne peut pas conclure directement dans les cas des formes indéterminées, du type :
" ∞ − ∞ ", "0 × ∞ ",
A. OLLIVIER Chap 5 : Limites de fonctions
Les principaux résultats sur les calculs de limites ont été vus avec les suites.
On retient qu’on ne peut pas conclure directement dans les cas des formes indéterminées, du type :
" ∞ − ∞ ", "0 × ∞ ", " 0 0 ",
A. OLLIVIER Chap 5 : Limites de fonctions
Limite d’une fonction à l’infini Limite infinie d’une fonction en un réel a Détermination de limites Limites de la fonction exponentielle
Limites et opérations Limite d’une composée Limite et comparaisons
Les principaux résultats sur les calculs de limites ont été vus avec les suites.
On retient qu’on ne peut pas conclure directement dans les cas des formes indéterminées, du type :
" ∞ − ∞ ", "0 × ∞ ", " 0
0 ", " ∞
∞ "
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Exemple de recherche de limites :
On considère la fonction f définie sur R \{ 2 } par f (x) = 1 + 1
x − 2 Limite en + ∞ :
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Limite d’une fonction à l’infini Limite infinie d’une fonction en un réel a Détermination de limites Limites de la fonction exponentielle
Limites et opérations Limite d’une composée Limite et comparaisons
Exemple de recherche de limites :
On considère la fonction f définie sur R \{ 2 } par f (x) = 1 + 1
x − 2 Limite en + ∞ :
x −→+∞ lim (x − 2) =
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Exemple de recherche de limites :
On considère la fonction f définie sur R \{ 2 } par f (x) = 1 + 1
x − 2 Limite en + ∞ :
x −→+∞ lim (x − 2) = + ∞
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Limite d’une fonction à l’infini Limite infinie d’une fonction en un réel a Détermination de limites Limites de la fonction exponentielle
Limites et opérations Limite d’une composée Limite et comparaisons
Exemple de recherche de limites :
On considère la fonction f définie sur R \{ 2 } par f (x) = 1 + 1
x − 2 Limite en + ∞ :
x −→+∞ lim (x − 2) = + ∞ et par inverse : lim
x −→+∞
1 x − 2 =
A. OLLIVIER Chap 5 : Limites de fonctions
Exemple de recherche de limites :
On considère la fonction f définie sur R \{ 2 } par f (x) = 1 + 1
x − 2 Limite en + ∞ :
x −→+∞ lim (x − 2) = + ∞ et par inverse : lim
x −→+∞
1
x − 2 = 0.
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Limite d’une fonction à l’infini Limite infinie d’une fonction en un réel a Détermination de limites Limites de la fonction exponentielle
Limites et opérations Limite d’une composée Limite et comparaisons
Exemple de recherche de limites :
On considère la fonction f définie sur R \{ 2 } par f (x) = 1 + 1
x − 2 Limite en + ∞ :
x −→+∞ lim (x − 2) = + ∞ et par inverse : lim
x −→+∞
1
x − 2 = 0.
Donc, par somme, lim
x −→+∞ f (x ) =
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Exemple de recherche de limites :
On considère la fonction f définie sur R \{ 2 } par f (x) = 1 + 1
x − 2 Limite en + ∞ :
x −→+∞ lim (x − 2) = + ∞ et par inverse : lim
x −→+∞
1
x − 2 = 0.
Donc, par somme, lim
x −→+∞ f (x ) = 1
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Limite d’une fonction à l’infini Limite infinie d’une fonction en un réel a Détermination de limites Limites de la fonction exponentielle
Limites et opérations Limite d’une composée Limite et comparaisons
Exemple de recherche de limites :
On considère la fonction f définie sur R \{ 2 } par f (x) = 1 + 1
x − 2 Limite en + ∞ :
x −→+∞ lim (x − 2) = + ∞ et par inverse : lim
x −→+∞
1
x − 2 = 0.
Donc, par somme, lim
x −→+∞ f (x ) = 1
On a alors une asymptote horizontale d’équation
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Exemple de recherche de limites :
On considère la fonction f définie sur R \{ 2 } par f (x) = 1 + 1
x − 2 Limite en + ∞ :
x −→+∞ lim (x − 2) = + ∞ et par inverse : lim
x −→+∞
1
x − 2 = 0.
Donc, par somme, lim
x −→+∞ f (x ) = 1
On a alors une asymptote horizontale d’équation y = 1.
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Limite d’une fonction à l’infini Limite infinie d’une fonction en un réel a Détermination de limites Limites de la fonction exponentielle
Limites et opérations Limite d’une composée Limite et comparaisons
Limite en 2 + et en 2 − : lim
x−→2
x>2
(x − 2) =
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Limite en 2 + et en 2 − : lim
x−→2
x>2
(x − 2) = 0 +
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Limite d’une fonction à l’infini Limite infinie d’une fonction en un réel a Détermination de limites Limites de la fonction exponentielle
Limites et opérations Limite d’une composée Limite et comparaisons
Limite en 2 + et en 2 − : lim
x−→2
x>2
(x − 2) = 0 + et par inverse : lim
x−→2
x>2
1 x − 2 =
A. OLLIVIER Chap 5 : Limites de fonctions
Limite en 2 + et en 2 − : lim
x−→2
x>2
(x − 2) = 0 + et par inverse : lim
x−→2
x>2
1
x − 2 = + ∞ .
A. OLLIVIER Chap 5 : Limites de fonctions
Limite d’une fonction à l’infini Limite infinie d’une fonction en un réel a Détermination de limites Limites de la fonction exponentielle
Limites et opérations Limite d’une composée Limite et comparaisons
Limite en 2 + et en 2 − : lim
x−→2
x>2
(x − 2) = 0 + et par inverse : lim
x−→2
x>2
1
x − 2 = + ∞ . Donc, par somme, lim
x−→2
x>2
f (x ) =
A. OLLIVIER Chap 5 : Limites de fonctions
Limite en 2 + et en 2 − : lim
x−→2
x>2
(x − 2) = 0 + et par inverse : lim
x−→2
x>2
1
x − 2 = + ∞ . Donc, par somme, lim
x−→2
x>2
f (x ) = + ∞ .
A. OLLIVIER Chap 5 : Limites de fonctions
Limite d’une fonction à l’infini Limite infinie d’une fonction en un réel a Détermination de limites Limites de la fonction exponentielle
Limites et opérations Limite d’une composée Limite et comparaisons
Limite en 2 + et en 2 − : lim
x−→2
x>2
(x − 2) = 0 + et par inverse : lim
x−→2
x>2
1
x − 2 = + ∞ . Donc, par somme, lim
x−→2
x>2
f (x ) = + ∞ . De plus, lim
x−→2
x<2
(x − 2) =
A. OLLIVIER Chap 5 : Limites de fonctions
Limite en 2 + et en 2 − : lim
x−→2
x>2
(x − 2) = 0 + et par inverse : lim
x−→2
x>2
1
x − 2 = + ∞ . Donc, par somme, lim
x−→2
x>2
f (x ) = + ∞ . De plus, lim
x−→2
x<2
(x − 2) = 0 −
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Limite d’une fonction à l’infini Limite infinie d’une fonction en un réel a Détermination de limites Limites de la fonction exponentielle
Limites et opérations Limite d’une composée Limite et comparaisons
Limite en 2 + et en 2 − : lim
x−→2
x>2
(x − 2) = 0 + et par inverse : lim
x−→2
x>2
1
x − 2 = + ∞ . Donc, par somme, lim
x−→2
x>2
f (x ) = + ∞ . De plus, lim
x−→2
x<2
(x − 2) = 0 − et par inverse : lim
x−→2
x<2
1 x − 2 =
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Limite en 2 + et en 2 − : lim
x−→2
x>2
(x − 2) = 0 + et par inverse : lim
x−→2
x>2
1
x − 2 = + ∞ . Donc, par somme, lim
x−→2
x>2
f (x ) = + ∞ . De plus, lim
x−→2
x<2
(x − 2) = 0 − et par inverse : lim
x−→2
x<2
1
x − 2 = − ∞ .
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Limite d’une fonction à l’infini Limite infinie d’une fonction en un réel a Détermination de limites Limites de la fonction exponentielle
Limites et opérations Limite d’une composée Limite et comparaisons
Limite en 2 + et en 2 − : lim
x−→2
x>2
(x − 2) = 0 + et par inverse : lim
x−→2
x>2
1
x − 2 = + ∞ . Donc, par somme, lim
x−→2
x>2
f (x ) = + ∞ . De plus, lim
x−→2
x<2
(x − 2) = 0 − et par inverse : lim
x−→2
x<2
1
x − 2 = − ∞ . Donc, par somme, lim
x−→2
x<2
f (x ) =
A. OLLIVIER Chap 5 : Limites de fonctions
Limite en 2 + et en 2 − : lim
x−→2
x>2
(x − 2) = 0 + et par inverse : lim
x−→2
x>2
1
x − 2 = + ∞ . Donc, par somme, lim
x−→2
x>2
f (x ) = + ∞ . De plus, lim
x−→2
x<2
(x − 2) = 0 − et par inverse : lim
x−→2
x<2
1
x − 2 = − ∞ . Donc, par somme, lim
x−→2
x<2
f (x ) = − ∞ .
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Limite d’une fonction à l’infini Limite infinie d’une fonction en un réel a Détermination de limites Limites de la fonction exponentielle
Limites et opérations Limite d’une composée Limite et comparaisons
Limite en 2 + et en 2 − : lim
x−→2
x>2
(x − 2) = 0 + et par inverse : lim
x−→2
x>2
1
x − 2 = + ∞ . Donc, par somme, lim
x−→2
x>2
f (x ) = + ∞ . De plus, lim
x−→2
x<2
(x − 2) = 0 − et par inverse : lim
x−→2
x<2
1
x − 2 = − ∞ . Donc, par somme, lim
x−→2
x<2
f (x ) = − ∞ .
On a alors une asymptote verticale d’équation
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Limite en 2 + et en 2 − : lim
x−→2
x>2
(x − 2) = 0 + et par inverse : lim
x−→2
x>2
1
x − 2 = + ∞ . Donc, par somme, lim
x−→2
x>2
f (x ) = + ∞ . De plus, lim
x−→2
x<2
(x − 2) = 0 − et par inverse : lim
x−→2
x<2
1
x − 2 = − ∞ . Donc, par somme, lim
x−→2
x<2
f (x ) = − ∞ .
On a alors une asymptote verticale d’équation x = 2.
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Limite d’une fonction à l’infini Limite infinie d’une fonction en un réel a Détermination de limites Limites de la fonction exponentielle
Limites et opérations Limite d’une composée Limite et comparaisons
a, b et c désignent trois réels, ou + ∞ ou −∞ . Si on a lim
x−→a u(x ) = b et lim
x −→ b v (x ) = c alors lim
x −→ a v ◦ u(x ) =. . .
Théorème
a, b et c désignent trois réels, ou + ∞ ou −∞ . Si on a lim
x−→a u(x ) = b et lim
x −→ b v (x ) = c alors lim
x −→ a v ◦ u(x ) =c.
Théorème
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Limite d’une fonction à l’infini Limite infinie d’une fonction en un réel a Détermination de limites Limites de la fonction exponentielle
Limites et opérations Limite d’une composée Limite et comparaisons
a, b et c désignent trois réels, ou + ∞ ou −∞ . Si on a lim
x−→a u(x ) = b et lim
x −→ b v (x ) = c alors lim
x −→ a v ◦ u(x ) =c.
Théorème
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Exemple :
Soit f (x ) = ( − 2x + 1) 2 .
On peut décomposer f en enchaînement de fonctions :
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Limites et opérations Limite d’une composée Limite et comparaisons
Exemple :
Soit f (x ) = ( − 2x + 1) 2 .
On peut décomposer f en enchaînement de fonctions : x −→ − 2x + 1 −→ ( − 2x + 1) 2
A. OLLIVIER Chap 5 : Limites de fonctions
Exemple :
Soit f (x ) = ( − 2x + 1) 2 .
On peut décomposer f en enchaînement de fonctions : x −→ − 2x + 1 −→ ( − 2x + 1) 2
On a :
x −→+∞ lim ( − 2x + 1) = −∞
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Limites et opérations Limite d’une composée Limite et comparaisons
Exemple :
Soit f (x ) = ( − 2x + 1) 2 .
On peut décomposer f en enchaînement de fonctions : x −→ − 2x + 1 −→ ( − 2x + 1) 2
On a :
x −→+∞ lim ( − 2x + 1) = −∞ et lim
X −→−∞ X 2 = + ∞
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Exemple :
Soit f (x ) = ( − 2x + 1) 2 .
On peut décomposer f en enchaînement de fonctions : x −→ − 2x + 1 −→ ( − 2x + 1) 2
On a :
x −→+∞ lim ( − 2x + 1) = −∞ et lim
X −→−∞ X 2 = + ∞ et donc par composition :
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Limite d’une fonction à l’infini Limite infinie d’une fonction en un réel a Détermination de limites Limites de la fonction exponentielle
Limites et opérations Limite d’une composée Limite et comparaisons
Exemple :
Soit f (x ) = ( − 2x + 1) 2 .
On peut décomposer f en enchaînement de fonctions : x −→ − 2x + 1 −→ ( − 2x + 1) 2
On a :
x −→+∞ lim ( − 2x + 1) = −∞ et lim
X −→−∞ X 2 = + ∞ et donc par composition :
x−→+∞ lim f (x) = + ∞
A. OLLIVIER Chap 5 : Limites de fonctions
On dispose de théorèmes analogues à ceux déjà vus pour les suites.
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Limite d’une fonction à l’infini Limite infinie d’une fonction en un réel a Détermination de limites Limites de la fonction exponentielle
Limites et opérations Limite d’une composée Limite et comparaisons
On dispose de théorèmes analogues à ceux déjà vus pour les suites.
Soient deux fonctions f et g définies sur un intervalle de la forme ]a; + ∞ [ telles que pour tout réel x > a, on ait f (x ) ≤ g(x ).
Théorème
On dispose de théorèmes analogues à ceux déjà vus pour les suites.
Soient deux fonctions f et g définies sur un intervalle de la forme ]a; + ∞ [ telles que pour tout réel x > a, on ait f (x ) ≤ g(x ).
Minoration : si lim
x −→+∞ f (x ) = + ∞ , alors lim
x −→+∞ g(x ) = . . .
Théorème
Limite d’une fonction à l’infini Limite infinie d’une fonction en un réel a Détermination de limites Limites de la fonction exponentielle
Limites et opérations Limite d’une composée Limite et comparaisons
On dispose de théorèmes analogues à ceux déjà vus pour les suites.
Soient deux fonctions f et g définies sur un intervalle de la forme ]a; + ∞ [ telles que pour tout réel x > a, on ait f (x ) ≤ g(x ).
Minoration : si lim
x −→+∞ f (x ) = + ∞ , alors lim
x −→+∞ g(x ) = + ∞
Théorème
On dispose de théorèmes analogues à ceux déjà vus pour les suites.
Soient deux fonctions f et g définies sur un intervalle de la forme ]a; + ∞ [ telles que pour tout réel x > a, on ait f (x ) ≤ g(x ).
Minoration : si lim
x −→+∞ f (x ) = + ∞ , alors lim
x −→+∞ g(x ) = + ∞ Majoration : si lim
x −→+∞ g(x ) = −∞ , alors lim
x −→+∞ f (x ) =. . .
Théorème
Limite d’une fonction à l’infini Limite infinie d’une fonction en un réel a Détermination de limites Limites de la fonction exponentielle
Limites et opérations Limite d’une composée Limite et comparaisons
On dispose de théorèmes analogues à ceux déjà vus pour les suites.
Soient deux fonctions f et g définies sur un intervalle de la forme ]a; + ∞ [ telles que pour tout réel x > a, on ait f (x ) ≤ g(x ).
Minoration : si lim
x −→+∞ f (x ) = + ∞ , alors lim
x −→+∞ g(x ) = + ∞ Majoration : si lim
x −→+∞ g(x ) = −∞ , alors lim
x −→+∞ f (x ) = −∞
Théorème
A. OLLIVIER Chap 5 : Limites de fonctions
On dispose de théorèmes analogues à ceux déjà vus pour les suites.
Soient deux fonctions f et g définies sur un intervalle de la forme ]a; + ∞ [ telles que pour tout réel x > a, on ait f (x ) ≤ g(x ).
Minoration : si lim
x −→+∞ f (x ) = + ∞ , alors lim
x −→+∞ g(x ) = + ∞ Majoration : si lim
x −→+∞ g(x ) = −∞ , alors lim
x −→+∞ f (x ) = −∞
Théorème
A. OLLIVIER Chap 5 : Limites de fonctions
Limite d’une fonction à l’infini Limite infinie d’une fonction en un réel a Détermination de limites Limites de la fonction exponentielle
Limites et opérations Limite d’une composée Limite et comparaisons
Illustration du théorème de majoration en + ∞ :
A. OLLIVIER Chap 5 : Limites de fonctions
On considère trois fonctions f , g et h définies sur un inter- valle de la forme ]a; + ∞ [ telles que pour tout réel x > a, on ait g(x ) ≤ f (x ) ≤ h(x ).
On suppose que lim
x −→+∞ g(x) = lim
x −→+∞ h(x ) = ℓ , où ℓ est un nombre réel.
Théorème (Théorème des gendarmes)
Limite d’une fonction à l’infini Limite infinie d’une fonction en un réel a Détermination de limites Limites de la fonction exponentielle
Limites et opérations Limite d’une composée Limite et comparaisons
On considère trois fonctions f , g et h définies sur un inter- valle de la forme ]a; + ∞ [ telles que pour tout réel x > a, on ait g(x ) ≤ f (x ) ≤ h(x ).
On suppose que lim
x −→+∞ g(x) = lim
x −→+∞ h(x ) = ℓ , où ℓ est un nombre réel.
Alors . . . .
Théorème (Théorème des gendarmes)
On considère trois fonctions f , g et h définies sur un inter- valle de la forme ]a; + ∞ [ telles que pour tout réel x > a, on ait g(x ) ≤ f (x ) ≤ h(x ).
On suppose que lim
x −→+∞ g(x) = lim
x −→+∞ h(x ) = ℓ , où ℓ est un nombre réel.
Alors f admet pour limite ℓ en + ∞ : lim
x −→+∞ f (x ) = ℓ Théorème (Théorème des gendarmes)
A. OLLIVIER Chap 5 : Limites de fonctions
Limite d’une fonction à l’infini Limite infinie d’une fonction en un réel a Détermination de limites Limites de la fonction exponentielle
Limites et opérations Limite d’une composée Limite et comparaisons
On considère trois fonctions f , g et h définies sur un inter- valle de la forme ]a; + ∞ [ telles que pour tout réel x > a, on ait g(x ) ≤ f (x ) ≤ h(x ).
On suppose que lim
x −→+∞ g(x) = lim
x −→+∞ h(x ) = ℓ , où ℓ est un nombre réel.
Alors f admet pour limite ℓ en + ∞ : lim
x −→+∞ f (x ) = ℓ Théorème (Théorème des gendarmes)
Remarque : on obtient des théorèmes analogues en −∞ .
A. OLLIVIER Chap 5 : Limites de fonctions
A. OLLIVIER Chap 5 : Limites de fonctions
Limite d’une fonction à l’infini Limite infinie d’une fonction en un réel a Détermination de limites Limites de la fonction exponentielle
x −→+∞ lim e x = . . . .
Théorème
x −→+∞ lim e x = + ∞
Théorème
Limite d’une fonction à l’infini Limite infinie d’une fonction en un réel a Détermination de limites Limites de la fonction exponentielle
x −→+∞ lim e x = + ∞ et lim
x −→−∞ e x = . . .
Théorème
x −→+∞ lim e x = + ∞ et lim
x −→−∞ e x = 0 Théorème
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Limite d’une fonction à l’infini Limite infinie d’une fonction en un réel a Détermination de limites Limites de la fonction exponentielle
x −→+∞ lim e x = + ∞ et lim
x −→−∞ e x = 0 Théorème
1 2 3 4
− 1
− 2
− 3
− 1 1 2 3 4 5 6 7
0 x
y C
expA. OLLIVIER Chap 5 : Limites de fonctions
x −→+∞ lim e x = + ∞ et lim
x −→−∞ e x = 0 Théorème
1 2 3 4
− 1
− 2
− 3
− 1 1 2 3 4 5 6 7
0 x
y C
expy = x
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Limite d’une fonction à l’infini Limite infinie d’une fonction en un réel a Détermination de limites Limites de la fonction exponentielle
Démonstration exigible
On considère la fonction f définie sur [0; + ∞ [ par f (x) = e x − x .
A. OLLIVIER Chap 5 : Limites de fonctions
Démonstration exigible
On considère la fonction f définie sur [0; + ∞ [ par f (x) = e x − x . f ′ (x) = e x − 1
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Limite d’une fonction à l’infini Limite infinie d’une fonction en un réel a Détermination de limites Limites de la fonction exponentielle
Démonstration exigible
On considère la fonction f définie sur [0; + ∞ [ par f (x) = e x − x . f ′ (x) = e x − 1 et donc, f ′ (x ) ≥ 0 sur [0; + ∞ [.
A. OLLIVIER Chap 5 : Limites de fonctions
Démonstration exigible
On considère la fonction f définie sur [0; + ∞ [ par f (x) = e x − x . f ′ (x) = e x − 1 et donc, f ′ (x ) ≥ 0 sur [0; + ∞ [.
1 2 3 4
− 1
− 2
− 3
− 1 1 2 3 4 5 6 7
0 x
y C
expy = 1
A. OLLIVIER Chap 5 : Limites de fonctions
Limite d’une fonction à l’infini Limite infinie d’une fonction en un réel a Détermination de limites Limites de la fonction exponentielle
Démonstration exigible
On considère la fonction f définie sur [0; + ∞ [ par f (x) = e x − x . f ′ (x) = e x − 1 et donc, f ′ (x ) ≥ 0 sur [0; + ∞ [.
La fonction f est donc croissante et de plus f (0) = 1.
A. OLLIVIER Chap 5 : Limites de fonctions
Démonstration exigible
On considère la fonction f définie sur [0; + ∞ [ par f (x) = e x − x . f ′ (x) = e x − 1 et donc, f ′ (x ) ≥ 0 sur [0; + ∞ [.
La fonction f est donc croissante et de plus f (0) = 1.
x 0 + ∞
f ′ (x) 0
A. OLLIVIER Chap 5 : Limites de fonctions
Limite d’une fonction à l’infini Limite infinie d’une fonction en un réel a Détermination de limites Limites de la fonction exponentielle
Démonstration exigible
On considère la fonction f définie sur [0; + ∞ [ par f (x) = e x − x . f ′ (x) = e x − 1 et donc, f ′ (x ) ≥ 0 sur [0; + ∞ [.
La fonction f est donc croissante et de plus f (0) = 1.
x 0 + ∞
f ′ (x) 0 +
A. OLLIVIER Chap 5 : Limites de fonctions
Démonstration exigible
On considère la fonction f définie sur [0; + ∞ [ par f (x) = e x − x . f ′ (x) = e x − 1 et donc, f ′ (x ) ≥ 0 sur [0; + ∞ [.
La fonction f est donc croissante et de plus f (0) = 1.
x 0 + ∞
f ′ (x) 0 +
f (x)
A. OLLIVIER Chap 5 : Limites de fonctions
Limite d’une fonction à l’infini Limite infinie d’une fonction en un réel a Détermination de limites Limites de la fonction exponentielle
Démonstration exigible
On considère la fonction f définie sur [0; + ∞ [ par f (x) = e x − x . f ′ (x) = e x − 1 et donc, f ′ (x ) ≥ 0 sur [0; + ∞ [.
La fonction f est donc croissante et de plus f (0) = 1.
x 0 + ∞
f ′ (x) 0 +
f (x) 1
A. OLLIVIER Chap 5 : Limites de fonctions
Démonstration exigible
On considère la fonction f définie sur [0; + ∞ [ par f (x) = e x − x . f ′ (x) = e x − 1 et donc, f ′ (x ) ≥ 0 sur [0; + ∞ [.
La fonction f est donc croissante et de plus f (0) = 1.
x 0 + ∞
f ′ (x) 0 +
f (x) 1
Ainsi, pour tout x ∈ [0; + ∞ [, f (x ) > 0
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Limite d’une fonction à l’infini Limite infinie d’une fonction en un réel a Détermination de limites Limites de la fonction exponentielle
Démonstration exigible
On considère la fonction f définie sur [0; + ∞ [ par f (x) = e x − x . f ′ (x) = e x − 1 et donc, f ′ (x ) ≥ 0 sur [0; + ∞ [.
La fonction f est donc croissante et de plus f (0) = 1.
x 0 + ∞
f ′ (x) 0 +
f (x) 1
Ainsi, pour tout x ∈ [0; + ∞ [, f (x ) > 0 d’où : e x > x.
A. OLLIVIER Chap 5 : Limites de fonctions
Démonstration exigible
On considère la fonction f définie sur [0; + ∞ [ par f (x) = e x − x . f ′ (x) = e x − 1 et donc, f ′ (x ) ≥ 0 sur [0; + ∞ [.
La fonction f est donc croissante et de plus f (0) = 1.
x 0 + ∞
f ′ (x) 0 +
f (x) 1
Ainsi, pour tout x ∈ [0; + ∞ [, f (x ) > 0 d’où : e x > x.
Or lim
x−→+∞ x = + ∞
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Limite d’une fonction à l’infini Limite infinie d’une fonction en un réel a Détermination de limites Limites de la fonction exponentielle
Démonstration exigible
On considère la fonction f définie sur [0; + ∞ [ par f (x) = e x − x . f ′ (x) = e x − 1 et donc, f ′ (x ) ≥ 0 sur [0; + ∞ [.
La fonction f est donc croissante et de plus f (0) = 1.
x 0 + ∞
f ′ (x) 0 +
f (x) 1
Ainsi, pour tout x ∈ [0; + ∞ [, f (x ) > 0 d’où : e x > x.
Or lim
x−→+∞ x = + ∞ donc, par comparaison, lim
x−→+∞ e x = + ∞ .
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Démonstration exigible
x −→−∞ lim e x =
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Démonstration exigible
x −→−∞ lim e x = lim
x −→−∞
1 e − x =
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Démonstration exigible
x −→−∞ lim e x = lim
x −→−∞
1
e − x = lim
X −→+∞
1 e X =
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Limite d’une fonction à l’infini Limite infinie d’une fonction en un réel a Détermination de limites Limites de la fonction exponentielle
Démonstration exigible
x −→−∞ lim e x = lim
x −→−∞
1
e − x = lim
X −→+∞
1 e X = 0
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Démonstration exigible
x −→−∞ lim e x = lim
x −→−∞
1
e − x = lim
X −→+∞
1
e X = 0 (par inverse en utilisant le résultat précédent).
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Limite d’une fonction à l’infini Limite infinie d’une fonction en un réel a Détermination de limites Limites de la fonction exponentielle
Pour tout entier n ∈ N :
x −→+∞ lim e x
x = . . . .
Théorème
Pour tout entier n ∈ N :
x −→+∞ lim e x
x = + ∞
Théorème
Limite d’une fonction à l’infini Limite infinie d’une fonction en un réel a Détermination de limites Limites de la fonction exponentielle
Pour tout entier n ∈ N :
x −→+∞ lim e x
x = + ∞ lim
x −→+∞
e x
x n = . . . .
Théorème
Pour tout entier n ∈ N :
x −→+∞ lim e x
x = + ∞ lim
x −→+∞
e x
x n = + ∞
Théorème
Limite d’une fonction à l’infini Limite infinie d’une fonction en un réel a Détermination de limites Limites de la fonction exponentielle
Pour tout entier n ∈ N :
x −→+∞ lim e x
x = + ∞ lim
x −→+∞
e x
x n = + ∞ Théorème
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Démonstration exigible
On considère la fonction g définie sur [0; + ∞ [ par g (x ) = e x − x 2
2 .
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Démonstration exigible
On considère la fonction g définie sur [0; + ∞ [ par g (x ) = e x − x 2
2 . g ′ (x ) = e x − x
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Démonstration exigible
On considère la fonction g définie sur [0; + ∞ [ par g (x ) = e x − x 2
2 .
g ′ (x ) = e x − x Pour déterminer le signe de g ′ on va dériver g ′ :
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Limite d’une fonction à l’infini Limite infinie d’une fonction en un réel a Détermination de limites Limites de la fonction exponentielle
Démonstration exigible
On considère la fonction g définie sur [0; + ∞ [ par g (x ) = e x − x 2
2 .
g ′ (x ) = e x − x Pour déterminer le signe de g ′ on va dériver g ′ : g ′′ (x ) =
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Démonstration exigible
On considère la fonction g définie sur [0; + ∞ [ par g (x ) = e x − x 2
2 .
g ′ (x ) = e x − x Pour déterminer le signe de g ′ on va dériver g ′ : g ′′ (x ) = (g ′ (x )) ′ = e x − 1
A. OLLIVIER Chap 5 : Limites de fonctions
Limite d’une fonction à l’infini Limite infinie d’une fonction en un réel a Détermination de limites Limites de la fonction exponentielle
Démonstration exigible
On considère la fonction g définie sur [0; + ∞ [ par g (x ) = e x − x 2
2 .
g ′ (x ) = e x − x Pour déterminer le signe de g ′ on va dériver g ′ : g ′′ (x ) = (g ′ (x )) ′ = e x − 1 et donc, g ′′ (x ) ≥ 0 sur [0; + ∞ [.
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