A Limite innie en un réel

Chapitre 1

Limites

Activité C,Dp103 (simplication d'expressions, variations)

Rappel limites nies en un réel, déterminables si la fonction est dénie.

A Limite innie en un réel

Rappel comportement de la fonction inverse pourxproche de0.

Soitf une fonction dénie sur un intervalle ouvert borné para(donc non dénie ena).

Dénition Dire que f(x) tend vers +∞ lorsque x tend vers a, c'est dire que f(x) peut prendre des valeurs aussi grandes que l'on veut dès quexest susamment proche deadansDf. On note :

x→alimf(x) = +∞

la limite est−∞si lim

x→a−f(x) = +∞. Exemple les fonctionx7→ 1

x² et x7→ 1

x. Distinguer limite normale et limite par valeurs supérieures et inférieures (on dit limite à gauche et limite à droite).

Dessin Proposition

les fonctionsx7→ 1

√x,x7→ 1

x² et x7→ 1

x²ⁿ (nentier positif) ont pour limite 0en0. les fonctionsx7→ 1

x etx7→ 1

x²ⁿ⁺¹ (nentier positif) ont pour limite−∞en0 à gauche et+∞en0 à droite.

Exemple La fonctionx7→ 1

x−2, non dénie en2 lim

x→0

1

0−2 =−1

2 Pour la limite en2, on se ramène à la fonction inverse par un changement de variable X =x−2 lorsque xtend vers 2, X tend vers 0. De plus, six >2,X >0. Ainsi,

x→2lim

x>2

1

x−2 = lim

X→0X>0

1

X = +∞

1

2 CHAPITRE 1. LIMITES et

x→2lim

x<2

1

x−2 = lim

X→0X<0

1

X =−∞

On ne fait pas toujours un changement de variable (qui peut être peut pratique). L'idée est avant tout de savoir que l'on a un comportement de type 1

x, oùxs'approche de0 sans changer de signe.

→Exercices 17,18,19,22p113

B Limite nie à l'inni

Rappel comportement de la fonction inverse quandxprend de grandes valeurs.

Soitlun nombre réel.

Dénition Dire que f(x) tend vers l lorsque x tend vers +∞, c'est dire que f(x) peut prendre des valeurs aussi proche del que l'on veut pourvu quexsoit susamment grand. On note :

x→+∞lim f(x) =l on a lim

x→−∞f(x) =lsif(x)est aussi proche de lque l'on veut si−xest susamment grand.

Dessin Proposition Les fonction x7→ 1

√x, x7→ 1

x, x7→ 1

xⁿ (n entier naturel) ont pour limite 0 en+∞ et, saufx7→ 1

√x,0en−∞.

C Limites innies à l'inni

Activité rapide surx²

Dénition Dire quef(x)tend vers+∞ lorsquextend vers +∞, c'est dire que f(x)peut prendre des valeurs aussi grandes que l'on veut dès quexest assez grand. On note

x→+∞lim = +∞

Pour une limite égale à−∞on applique la dénition à −f(x) Pour une limite lorsquextend vers−∞, on l'appplique à−x. Il existe une dernière combinaison...

Proposition

Les fonctionsx7→√

x,x7→x,x7→x²,x7→xⁿ (nentier naturel) ont pour limite+∞en+∞. Les fonctionsx7→x,x7→x³,x7→x²ⁿ⁺¹ (nentier naturel) ont pour limite−∞en−∞. Les fonctionsx7→x², x7→x²ⁿ (nentier naturel) ont pour limite+∞en−∞.

Dessin dex² etx³

→Exercices 3,4p112 (graphique)

→Exercices 6,7,8,9,10,11p112

D. OPÉRATIONS SUR LES LIMITES 3

D Opérations sur les limites

lire et apprendre le tableau de limites de somme, produit et inverse p108.

Exemples de quelques formes indéterminées.

0× ∞: 1 xxet 5

xxen+∞.

+∞ − ∞:x−x,(x+ 3)−xet2x−xen+∞. Lever une indéterminée dans une fonction polynomiale : Exemplef(x) =x³−2x²−xen±∞.

On peut retenir qu'en général, le terme le plus fort l'emporte .

→Exercices 42,43,44p116