DEVOIR A LA MAISON N°4. 1

DEVOIR A LA MAISON N°4. 1

STMG2.

Pour le mardi 2 mai 2017.

I. L’entreprise MégaJeu produit des jeux, qu’elle vend 30 € pièce. On suppose qu’elle parvient à vendre la totalité des jeux produits (entre 0 et 100).

Pour x jeux produits, le coût de fabrication est donné par l’expression C (x ) 2x ² 40 x 300.

1. Déterminer les charges fixes, qui correspondent aux coûts à payer même en cas de production nulle.

2. Déterminer la quantité de jeux à produire pour que les coûts soient de 550€.

On note R (x ) la recette perçue pour x jeux vendus, et B( x) le bénéfice réalisé par la vente de x jeux.

3. Exprimer R(x ) en fonction de x et en déduire que B( x) 2x ² 70x 300.

4. Dresser le tableau de signe de B( x) et en déduire la quantité de jeu que doit produire l’entreprise pour être bénéficiaire.

5.

a.

Déterminer B ( x)

b.

Construire le tableau de signes de B (x ) sur [0 100].

c.

En déduire le tableau de variation de B sur [0 100].

d.

Quel est le bénéfice maximal que peut espérer l entreprise ? Pour combien de jeux vendus ?

II. Construire le tableau de variation des fonctions suivantes : 1. f définie sur par f (x ) 2x

5x ² 25x 1.

2. g définie sur par g (x ) x

27x .

3. h définie sur par h (x ) x

6 x² 12x 8.

CORRECTION DU DEVOIR A LA MAISON N°4 1STMG2.

I.

1. C(0) 2 0² 400 300 300. Les charges fixes sont de 300€.

2. C (x ) 550  2x² 40 x 300 550  2x² 40x 250 0.

On a une équati on du second degré.

b² 4ac ( 40)² 4 2 ( 250) 3600 donc le trinôme a deux racines qui sont : x

40 3600

2 2 5 et x

40 3600

2 2 25. Le nombre de jeu étant positif, l entreprise doit produire 25 jeux pour que les coûts soient de 550€.

3.

B(x ) R (x) C (x ) 30 x (2 x² 40 x 300) 30x 2 x² 40x 300 2

300.

4. B( x) est un trinôme du second degré.

70² 4 ( 2 ) ( 300) 2500 donc le trinôme a deux racines : x

70 2500

2 ( 2) 30 et x

70 2500

2 ( 2) 5.

a 2 0 donc la courbe de B est en forme de pont. On a alors le tableau de signes suivant : x 0 5 30 100

B (x )

L entreprise doit produire entre 5 et 30 jeux pour obtenir un bénéfice positif et donc être bénéficiaire.

5.

a.

B (x ) 2 2x 70 1 0 4x 70.

b.

On a le tableau de signes suivant :

x 0 17,5 100 4 x 70 0  4 x 70 x=17,5 si gne de B (x)

c.

On en déduit le tableau de variation :

x 0 17,5 100 B (0) 300 B (17,5) 312,5 B (100) 13300

variation de B 312,5

300 13 300

d.

B (17) 312 et B (18) 312. Le bénéfice maximal que peut espérer l entreprise est 312€, pour 17 ou 18 jeux vendus.

II.

1. f (x) 6 x² 10x 25

10² 4 ( 6 ) ( 25) 500 0 donc le trinôme n a pas de racine.

a 6 0 donc la courbe de f est en pont.

On a l e tableau :

x + si gne de f (x )

vari ations de f

2. g (x ) 3 x² 27 3x ² 0x 27.

0² 4 ( 3) 27 324 donc le trinôme a deux racines : x

0 324

2 3) 3 et

x

0 324

2 3) 3

a 3 0 donc la courbe de g est en pont.

On a l e tableau :

x 3 3 + si gne de g (x)

vari ations de g 54

54 3. h (x ) 3 x² 12x 12.

( 12)² 4 3 1 2 0 donc le trinôme a une racine : x

( 12)

2 3 2.

a 2 0 donc la courbe de h est en forme de U.

h définie sur par h( x) x

6 x² 12 x 8.

x 2 + si gne de h (x)

vari ations de

h