limites et asymptotes

(1)

limites et asymptotes

0 0 0 ∙ ∞ ∞

∞

(2)

3.1 Introduction : approche intuitive des limites

Soit la fonction inverse, d’expression analytique 𝑓(𝑥) =¹

𝑥 et son graphe :

Détermine le domaine de 𝑓.

Que se passe-t-il lorsqu’on veut calculer 𝑓(0) ?

Le réel 0 n’a pas d’image par la fonction 𝑓 mais les réels proches de 0 ont une image par 𝑓. Calcule l’image par 𝑓 de réels de plus en plus proches de 0.

𝑥 𝑓(𝑥) 𝑥 𝑓(𝑥)

-5 5

-1 1

-0.5 0.5

-0.25 0.25

-0.1 0.1

-0.01 0.01

… … … …

0 0

On remarque que 𝑓 n’est pas définie en 1 mais qu’elle est définie pour des valeurs aussi proches que l’on veut de 1. On dira ici que 𝑓 tend vers l’infini lorsque 𝑥 tend vers 1.

(3)

Soit la fonction rationnelle 𝑔, d’expression analytique 𝑔(𝑥) =^2𝑥+1_𝑥 et son graphe : Détermine le domaine de 𝑔 :

Calcule l’image par 𝑔 de réels de plus en plus grands d’une part, et de plus en plus petits d’autre part :

𝑥 𝑔(𝑥) 𝑥 𝑔(𝑥)

1 -1

3 -3

10 -10

50 -50

100 -100

… … … …

+∞ −∞

On remarque que 𝑔 devient aussi proche que l’on veut de 2 lorsqu’on choisit 𝑥 suffisamment

(4)

Soit 𝑓 une fonction ayant le graphe suivant :

Sachant que : i. 𝑙𝑖𝑚

𝑥→𝑎⁺𝑓(𝑥) est définie comme la limite à droite. Intuitivement, c’est la limite pour 𝑥 tendant vers 𝑎 par la droite, c’est-à-dire par les nombres positifs,

ii. lim

𝑥→𝑎⁻𝑓(𝑥) est définie comme la limite à gauche. Intuitivement, c’est la limite pour 𝑥 tendant vers 𝑎 par la gauche, c’est-à-dire par les nombres négatifs,

iii. Si 𝑙𝑖𝑚

𝑥→𝑎⁺𝑓(𝑥)=lim

𝑥→𝑎⁻𝑓(𝑥) et existent toutes deux, alors lim

𝑥→𝑎𝑓(𝑥) existe, et est égale à ces limites. Sinon, lim

𝑥→𝑎𝑓(𝑥) n’existe pas

Détermine les limites suivantes par observation du graphe : a. lim

𝑥→2⁺𝑓(𝑥) = b. lim

𝑥→2⁻𝑓(𝑥) = c. lim

𝑥→2𝑓(𝑥) =

d. lim

𝑥→−2⁺𝑓(𝑥) = e. lim

𝑥→−2𝑓(𝑥) = f. lim

𝑥→−4⁻𝑓(𝑥) =

g. lim

𝑥→−3𝑓(𝑥) = h. lim

𝑥→5𝑓(𝑥) = i. lim

𝑥→−5𝑓(𝑥) =

j. lim

𝑥→0⁺𝑓(𝑥) = k. lim

𝑥→0⁻𝑓(𝑥) = l. lim

𝑥→0𝑓(𝑥) =

m. lim

𝑥→−6𝑓(𝑥) = n. lim

𝑥→4⁻𝑓(𝑥) = o. lim

𝑥→4𝑓(𝑥) =

p. lim

𝑥→−7𝑓(𝑥) = q. lim

𝑥→∞𝑓(𝑥) = r. lim

𝑥→−∞𝑓(𝑥) =

(5)

Des différentes observations faites sur les exemples précédents, on peut déduire : On considère une fonction 𝑓 et un réel 𝑎 :

• Dire qu’un réel 𝑏 est la limite de 𝑓 lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 (ou que 𝑓 tend vers 𝑏 lorsque 𝑥 tend vers 𝑎) signifie que 𝑓(𝑥) peut s’approcher aussi près que l’on veut de 𝑏 pour autant que 𝑥 soit suffisamment proche de 𝑎. On note :

𝑥→𝑎lim𝑓(𝑥) = 𝑏

• Dire que +∞ est la limite de 𝑓 lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 (ou que 𝑓 𝑡end vers +∞ lorsque 𝑥 tend vers 𝑎) signiﬁe que 𝑓(𝑥) peut atteindre une valeur aussi grande que l’on veut, pour autant que 𝑥 soit suﬃsamment proche de 𝑎. On note :

𝑥→𝑎lim𝑓(𝑥) = +∞

• Dire que -∞ est la limite de 𝑓 lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 (ou que 𝑓 𝑡end vers -∞ lorsque 𝑥 tend vers 𝑎) signiﬁe que 𝑓(𝑥) peut atteindre une valeur négative aussi petite que l’on veut, pour autant que 𝑥 soit suﬃsamment proche de 𝑎. On note :

𝑥→𝑎lim𝑓(𝑥) = −∞

• Et de façon similaire pour les limites de 𝑓 pour 𝑥 tendant vers ±∞ : o lim

𝑥→+∞𝑓(𝑥) = 𝑏 signifie que 𝑓(𝑥) peut être aussi proche que l’on veut de 𝑏, pour autant que l’on choisisse 𝑥 suffisamment grand

o lim

𝑥→−∞𝑓(𝑥) = 𝑏 signifie que 𝑓(𝑥) peut être aussi proche que l’on veut de 𝑏, pour autant que l’on choisisse 𝑥 suffisamment petit

o lim

𝑥→+∞𝑓(𝑥) = +∞ signifie que 𝑓(𝑥) peut prendre des valeurs supérieures à n’importe que réel, pour autant que l’on choisisse 𝑥 suffisamment grand

o lim

𝑥→+∞𝑓(𝑥) = −∞ signifie que 𝑓(𝑥) peut prendre des valeurs inférieures à n’importe que réel, pour autant que l’on choisisse 𝑥 suffisamment grand

o lim

𝑥→−∞𝑓(𝑥) = +∞ signifie que 𝑓(𝑥) peut prendre des valeurs supérieures à n’importe que réel, pour autant que l’on choisisse 𝑥 suffisamment petit

o lim

𝑥→−∞𝑓(𝑥) = −∞ signifie que 𝑓(𝑥) peut prendre des valeurs inférieures à n’importe que réel, pour autant que l’on choisisse 𝑥 suffisamment petit

• Définissons aussi les limites à droite et à gauche :

o La limite à gauche d’une fonction 𝑓 en un réel 𝑎 est la limite obtenue en ne considérant que des valeurs de 𝑥 strictement inférieures à 𝑎. Elle est notée :

𝑥→𝑎lim⁻𝑓(𝑥)

o La limite à droite d’une fonction 𝑓 en un réel 𝑎 est la limite obtenue en ne considérant que des valeurs de 𝑥 strictement supérieures à 𝑎. Elle est notée :

𝑥→𝑎lim⁺𝑓(𝑥)

o Si les limites à droite et à gauche d’une fonction 𝑓 en un réel 𝑎 existent et sont égales, alors elles valent lim

𝑥→𝑎𝑓(𝑥). Si elles sont différentes, alors lim

𝑥→𝑎𝑓(𝑥) n’existe pas.

(6)

3.2 Propriétés des limites

3.2.1 Sens d’une limite

Pour que la limite d’une fonction lorsque 𝑥 tend vers le réel 𝑎 ait un sens, il faut que le réel 𝑎 soit adhérent au domaine, c’est-à-dire qu’il doit soit faire partie du domaine, soit « coller » au domaine.

Par exemple sur la fonction représentée ci-contre, le point 𝐴 (𝑥 = 9) fait partie du domaine, le point 𝐵 (𝑥 = 1) ne fait pas partie du domaine, car sa valeur ne peut pas être calculée 𝑥 = 1, mais ce point « colle » au domaine, car les points infiniment proches de lui font partie du domaine.

Au contraire, le réel 𝑥 = −2 est situé complètement en dehors du domaine puisque la fonction contient une racine carrée qui n’est pas définie pour 𝑥 < 0.

La limite de la fonction a un sens si elle est calculée en 𝐵 ou en 𝐴, mais pas pour 𝑥 = −2.

3.2.2 Limite en un réel d’une fonction de référence Pour les fonctions de référence :

Fonction Expression analytique

identité 𝑓(𝑥) = 𝑥

carré 𝑓(𝑥) = 𝑥²

cube 𝑓(𝑥) = 𝑥³

racine carrée 𝑓(𝑥) = √𝑥

racine cubique 𝑓(𝑥) = √𝑥³

inverse 𝑓(𝑥) =¹

𝑥

valeur absolue 𝑓(𝑥) = |𝑥|

La limite en un réel 𝑎 de son domaine vaut la valeur de la fonction pour 𝑎, c’est-à-dire :

𝑥→𝑎lim𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎)

Exercice 1 (P2 : Appliquer) Calcule les limites suivantes : a. lim

𝑥→2𝑥³= b. lim

𝑥→5√𝑥 =

c. lim

𝑥→64 = d. lim

𝑥→^𝜋

2

√𝑥3 =

(7)

3.2.3 Opérations sur les limites En un réel 𝑎, si lim

𝑥→𝑎𝑓(𝑥) et lim

𝑥→𝑎𝑔(𝑥)existent, alors :

i. la limite d’une somme est égale à la somme des limites

𝑥→𝑎lim(𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)) = lim

𝑥→𝑎𝑓(𝑥) + lim

𝑥→𝑎𝑔(𝑥)

ii. la limite d’une différence est égale à la différence des limites

𝑥→𝑎lim(𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)) = lim

𝑥→𝑎𝑓(𝑥) − lim

𝑥→𝑎𝑔(𝑥) iii. la limite d’un produit est égale au produit des limites

𝑥→𝑎lim(𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥)) = lim

𝑥→𝑎𝑓(𝑥). lim

𝑥→𝑎𝑔(𝑥)

iv. la limite d’un quotient est égale au quotient des limites

𝑥→𝑎lim 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥)= lim

𝑥→𝑎𝑓(𝑥)

𝑥→𝑎lim𝑔(𝑥)

v. la limite du produit d’une fonction par une constante est égale à au produit de la constante et de la limite de la fonction

𝑥→𝑎lim𝑘. 𝑓(𝑥) = 𝑘. lim

𝑥→𝑎𝑓(𝑥) avec 𝑘 ∈ ℝ

vi. la limite d’une puissance de la fonction est égale à la puissance de la limite de la fonction

𝑥→𝑎lim𝑓(𝑥)^𝑛= (lim

𝑥→𝑎𝑓(𝑥))^𝑛 avec 𝑛 ∈ ℚ vii. les limites respectent la composition, c’est-à-dire :

si lim

𝑥→𝑎𝑓(𝑥) = 𝑏 et lim

𝑥→𝑏𝑔(𝑥) = 𝑐 , alors lim

𝑥→𝑎𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑐 Tout ceci n’est valable que si le second membre a un sens.

𝑥→2𝑥³+ 2𝑥 + 2 = b. lim

𝑥→−2|𝑥| . (𝑥³+ 1) =

c. lim

𝑥→−5

|𝑥|

𝑥³ = d. lim

𝑥→1(3𝑥³+ 1)³ =

e. lim

𝑥→2 2𝑥+1

3−𝑥 = f. lim

𝑥→2³√𝑥²− 6𝑥=

(8)

3.2.4 Règles de calcul avec l’infini et cas d’indétermination

Dans le calcul des limites en utilisant les propriétés peut apparaître des opérations faisant intervenir +∞ ou −∞. Ce ne sont pas des réels et il faut établir comment les utiliser dans les opérations d’addition, de soustraction, de multiplication ou de division.

Quand on ne sait pas faire le calcul, on appelle cela un cas d’indétermination. Les cas suivants sont des cas d’indétermination :

Pour les autres opérations, on utilisera les tableaux suivants. Quand un ? apparaît dans le tableau, cela signifie qu’on a un cas d’indétermination.

Exemple d’utilisation des tableaux :

Cherchons le résultat de l’opération : (+∞) + (−∞)

- on cherche le premier terme dans la première colonne, ici +∞,

- l’opération est l’élément en haut à gauche, nous avons choisi le tableau de gauche car l’opération est l’addition (+).

- on cherche le second terme dans la première ligne, ici −∞.

En prenant l’élément du tableau à l’intersection des lignes et des colonnes choisies on trouve ?, on peut conclure que le calcul (+∞) + (−∞) est une forme d’indétermination.

(9)

Pour la multiplication et la division par un réel 𝑟, on distingue les cas où le réel est strictement positif ou strictement négatif.

𝒓 > 𝟎

𝒓 < 𝟎

x→2 𝑥−2

𝑥²−4𝑥+4= b. lim

x→03.¹

𝑥=

c. lim

x→0−5.¹

𝑥= d. lim

x→0 1

|𝑥|− ¹

𝑥²=

e. lim

x→0 1

|𝑥|+ ¹

𝑥²= f. lim

x→∞7𝑥²+ lim

x→∞ 2𝑥 =

g. lim

x→−∞7𝑥²+ lim

x→∞2𝑥 = h. lim

x→∞

1 𝑥 . lim

x→∞ 𝑥 =

(10)

3.3 Calcul pratique des limites

3.3.1 Fonction polynôme

Une fonction polynôme de degré 𝑛 est une fonction dont l’expression analytique est de la forme : 𝑓(𝑥) = 𝑎₀+ 𝑎₁𝑥 + 𝑎₂𝑥²+ ⋯ + 𝑎_𝑛𝑥^𝑛

Elle existe pour tout valeur de 𝑥, son domaine de définition est donc ℝ. Ainsi, on peut calculer sa limite pour n’importe quel réel.

Nous avons étudié en détail la fonction polynôme de degré 1 (𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑝) et la fonction polynôme de degré 2 (𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥²+ 𝑏𝑥 + 𝑐)

3.3.1.1 Limite en un réel

Par application des propriétés des limites (voir 3.2.3), on peut déduire que :

𝑥→𝑎lim𝑓(𝑥) = 𝑎₀+ 𝑎₁. 𝑎 + 𝑎₂. 𝑎²+ ⋯ + 𝑎_𝑛. 𝑎^𝑛 = 𝑓(𝑎) Exemple :

𝑥→2lim−2𝑥³+ 2𝑥²+ 3𝑥 + 4 = −2.2³+ 2.2²+ 3.2 + 4 = 2

3.3.1.2 Limite en l’infini

La limite en l’infini d’une fonction polynôme est égale à la limite en l’infini du terme de plus haut degré, c’est-à-dire :

𝑥→±∞lim 𝑎₀+ 𝑎₁𝑥 + 𝑎₂𝑥²+ ⋯ + 𝑎_𝑛𝑥^𝑛 = lim

𝑥→±∞𝑎_𝑛𝑥^𝑛 Justifions cette formule à travers un exemple :

𝑥→+∞lim −2𝑥³+ 2𝑥²+ 3𝑥 + 4 =

En mettant en évidence le polynôme par −2𝑥³ on a :

𝑥→+∞lim −2𝑥³(1 −2𝑥² 2𝑥³− 3𝑥

2𝑥³− 4 2𝑥³) =

𝑥→+∞lim −2𝑥³(1 −1 𝑥− 3

2𝑥²− 4 2𝑥³) Or on sait que les termes¹

𝑥

,

³

2𝑥² et ⁴

2𝑥³ tendent vers 0 quand 𝑥 tend vers l’infini, on devine alors que la limite deviendra :

𝑥→+∞lim −2𝑥³(1 − 0 − 0 − 0)

𝑥→+∞lim −2𝑥³= −∞

Nous avons donc ramené le calcul de la limite du polynôme −2𝑥³+ 2𝑥²+ 3𝑥 + 4 au calcul de la limite de son terme de plus haut degré, c’est-à-dire −2𝑥³.

(11)

𝑥→3𝑥³+ 3𝑥 − 5 = b. lim

𝑥→+∞𝑥⁵− 3𝑥²+ 2 =

c. lim

𝑥→−∞𝑥(1 − 𝑥) = d. lim

𝑥→2(1 − 𝑥²)(3𝑥 + 2) =

e. lim

𝑥→−∞𝑥³− 𝑥 + 1 = f. lim

𝑥→+∞−5𝑥²− 6𝑥 + 2 =

(12)

3.3.2 Fonction rationnelle

Une fonction rationnelle est un quotient de polynômes : 𝑓(𝑥) =𝑁(𝑥)

𝐷(𝑥) où 𝑁(𝑥)et 𝐷(𝑥) sont des polynômes

Elle n’existe pas si 𝐷(𝑥) = 0, son domaine de définition est donc ℝ\{𝑥 tels que 𝐷(𝑥) = 0}.

3.3.2.1 Introduction : réduction des fonctions rationnelles

Une fonction rationnelle est un quotient de polynômes. Chacun de ces polynômes peut éventuellement être décomposé en facteurs afin d’éventuellement réduire le quotient en simplifiant les facteurs communs. Quelques méthodes de factorisation sont rappelées ci-dessous :

1. Factorisation d’une fonction du second degré

a. Mise en évidence : par exemple : 4𝑥²+ 2𝑥 = 2𝑥 ∙ (2𝑥 + 1) b. Produits remarquables

𝑎²+ 2𝑎𝑏 + 𝑏²= (𝑎 + 𝑏) ∙ (𝑎 + 𝑏) par exemple : 𝑥²+ 6𝑥 + 9 = (𝑥 + 3) ∙ (𝑥 + 3) 𝑎²− 2𝑎𝑏 + 𝑏²= (𝑎 − 𝑏) ∙ (𝑎 − 𝑏) par exemple : 𝑥²− 4𝑥 + 4 = (𝑥 − 2) ∙ (𝑥 − 2) 𝑎²− 𝑏²= (𝑎 − 𝑏) ∙ (𝑎 + 𝑏) par exemple : 𝑥²− 1 = (𝑥 − 1) ∙ (𝑥 + 1)

c. Méthode du discriminant

On peut factoriser l’expression analytique d’une fonction du second degré de la façon suivante : 𝑎𝑥²+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎(𝑥 − 𝑥₁)(𝑥 − 𝑥₂)

Par la règle du produit nul on peut déduire que le produit des trois facteurs 𝑎 ∙ (𝑥 − 𝑥₁) ∙ (𝑥 − 𝑥₂) est nul lorsque au moins 1 des 3 facteurs 𝑎, (𝑥 − 𝑥₁), ou (𝑥 − 𝑥₂) est nul. Le premier facteur 𝑎 est différent de 0, pour une fonction du second degré. Les deux facteurs suivants s’annulent lorsque 𝑥 = 𝑥₁ ou lorsque 𝑥 = 𝑥₂.

Or 𝑎𝑥²+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎(𝑥 − 𝑥₁)(𝑥 − 𝑥₂), donc 𝑎(𝑥 − 𝑥₁)(𝑥 − 𝑥₂) est nul si 𝑎𝑥²+ 𝑏𝑥 + 𝑐 s’annule. Puisqu’une fonction s’annule à ses

racines, les valeurs de 𝑥₁ et 𝑥₂correspondent aux racines de la fonction du second degré. Le nombre de racines diffère selon le signe du discriminant 𝜌, avec 𝜌 = 𝑏²− 4𝑎𝑐.

2. Factorisation d’une fonction de degré supérieur

Pour les fonctions de degré supérieur, on combinera la mise en évidence et les méthodes qui s’appliquent aux fonctions du second degré. Par exemple :

 𝑥⁴+ 2𝑥³+ 𝑥²= 𝑥²∙ (𝑥²+ 2𝑥 + 1) = 𝑥²∙ (𝑥 + 1)²= 𝑥²∙ (𝑥 + 1) ∙ (𝑥 + 1)

 𝑥³− 4𝑥² = 𝑥 ∙ (𝑥²− 4) = 𝑥 ∙ (𝑥 − 2) ∙ (𝑥 + 2)

 2𝑥⁴− 12𝑥³+ 10𝑥²

= 2𝑥²∙ (𝑥²− 6𝑥 + 5)

= 2𝑥²∙ (𝑥 − 1) ∙ (𝑥 − 5)

Ici il faut déterminer les racines de la fonction 𝑓 telle que 𝑓(𝑥) = 𝑥²− 6𝑥 + 5, puisqu’il ne s’agit pas d’un produit remarquable. On a 𝑥₁ =

6−√16

2 = 1 et 𝑥₂=^6+√16₂ = 5 𝜌 > 0 2 racines : 𝑥₁=^{−𝑏−√ρ}

2𝑎 et 𝑥₂=^{−𝑏+√ρ}

2𝑎

𝒂𝒙^𝟐+ 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝒂(𝒙 − 𝒙_𝟏)(𝒙 − 𝒙_𝟐) 𝜌 = 0

1 racine : 𝑥₁=^−𝑏

2𝑎

𝒂𝒙^𝟐+ 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝒂(𝒙 − 𝒙_𝟏)(𝒙 − 𝒙_𝟏) 𝜌 < 0 Aucune racine

Ne se factorise pas

(13)

3. Réduction d’une fonction rationnelle

Pour réduire une fonction rationnelle 𝑓(𝑥) =^𝑁(𝑥)

𝐷(𝑥) où 𝑁(𝑥)et 𝐷(𝑥) sont des polynômes, il convient de factoriser 𝑁(𝑥) et 𝐷(𝑥) pour établir s’il y a des facteurs communs, auquel cas ils pourront être simplifiés afin de réduire la fonction rationnelle.

Attention, les conditions d’existence établies avant simplification doivent être conservées après simplification. L’exclusion d’une valeur se traduira sur le graphe de la fonction pour la présence d’un point vide pour cette valeur.

Par exemple :

 ^𝑥⁴^+2𝑥³^+𝑥²

𝑥+1 =^𝑥²^∙(𝑥_𝑥+1²^+2𝑥+1)=^𝑥²^∙(𝑥+1)_𝑥+1 ²= 𝑥² ∙ (𝑥 + 1) - point vide pour 𝑥 = −1

 ^𝑥⁵^−4𝑥³

𝑥² =^𝑥³^∙(𝑥_𝑥²₂⁻⁴⁾= 𝑥 ∙ (𝑥²− 4) - point vide pour 𝑥 = 0

 ^2𝑥⁴^−12𝑥³^+10𝑥²

4𝑥⁴−20𝑥³ =^2𝑥²_4𝑥^∙(𝑥₃_.(𝑥−5)²^−6𝑥+5)=^2𝑥²∙(𝑥−1)∙(𝑥−5)

4𝑥³.(𝑥−5) =^𝑥−1_2𝑥 - point vide en 𝑥 = 0 et en 𝑥 = 5.

Exercice 5 (P2 : Appliquer) Réduis si possible les quotients suivants : a. ^3𝑥²⁻³

𝑥²+1

b. ^6𝑥²^−9𝑥+6

2𝑥²−2

c. ^𝑥+1

𝑥²+4𝑥+3

d. ^𝑥²^+2𝑥+1

𝑥²−1

e. ^16−𝑥²

2𝑥²+8𝑥

(14)

3.3.2.2 Limite en un réel

Calculons la limite pour 𝑥 = 𝑎 de la fonction, c’est-à-dire lim

𝑥→𝑎 𝑁(𝑥)

𝐷(𝑥), cela nous amène à trois possibilités suivant les valeurs du numérateur et du dénominateur en 𝑎.

𝑫(𝒂) ≠ 𝟎 𝑫(𝒂) = 𝟎 et 𝑵(𝒂) ≠ 𝟎 𝑫(𝒂) = 𝟎 et 𝑵(𝒂) = 𝟎

𝑥→𝑎lim 𝑁(𝑥)

𝐷(𝑥)= 𝑵(𝒂)

𝑫 (𝒂) lim

𝑥→𝑎

𝑁(𝑥)

𝐷(𝑥)≈𝑵(𝒂)

𝟎 = ±∞

𝑥→𝑎lim 𝑁(𝑥) 𝐷(𝑥)≈𝟎 Or, 𝟎

𝑥→𝑎lim 𝑁(𝑥) 𝐷(𝑥)

= lim

𝑥→𝑎

(𝑥 − 𝑎)𝑁₂(𝑥) (𝑥 − 𝑎)𝐷₂(𝑥)

= lim

𝑥→𝑎

𝑁₂(𝑥) 𝐷₂(𝑥)

Ce cas est le plus simple, on calcule directement la valeur de la limite en remplaçant x par la valeur de a dans la fonction ^𝑁(𝑥)

𝐷(𝑥)

Ici, la limite a deux résultats possibles : +∞ ou − ∞. Le signe de l’infini dépend du signe de 𝑁(𝑎) et du signe de 𝐷(𝑥) au voisinage du point 𝑥 = 𝑎 . Le signe de 𝑁(𝑎) est connu, mais il faut faire un tableau de signe pour connaître le signe de 𝐷(𝑥) (voir exercices)

Puisque 𝑁(𝑥) et 𝐷(𝑥) sont nuls pour 𝑥 = 𝑎, 𝑎 est une racine de ces deux

polynômes. On peut donc les factoriser par (𝑥 − 𝑎).

Après simplification par (𝑥 − 𝑎) au numérateur et au dénominateur, on se ramène à une nouvelle fonction rationnelle 𝑓(𝑥) =^𝑁²^(𝑥)

𝐷₂(𝑥). Pour cette nouvelle fonction, on cherche à nouveau dans quelle colonne du tableau on se trouve. Le point d’abscisse 𝑥 = 𝑎 est un point vide.

Exemple : lim𝑥→1

𝑥²− 4𝑥 + 4 𝑥²− 4

= 1

−3

Exemple :

𝑥→−2lim

𝑥²− 4𝑥 + 4 𝑥²− 4 =16 Tableau de signe : 0

𝑥 −2

𝑁(𝑥) + 16 + 𝐷(𝑥) − 0 + 𝑁(𝑥)

𝐷(𝑥) − +

On voit que la limite à gauche sera négative (-∞) et à droite, elle sera positive (+∞). La limite étant différente à gauche et à droite, on dira que la limite en 𝑥 = 2 n’existe pas

Exemple :

𝑥→2lim

𝑥²− 4𝑥 + 4 𝑥²− 4 ~0

0

𝑥→2lim

𝑥²− 4𝑥 + 4 𝑥²− 4

= lim

𝑥→2

(𝑥 − 2). (𝑥 − 2) (𝑥 − 2). (𝑥 + 2) On se ramène ici au premier cas : (𝐷(𝑎) ≠ 0), on a :

= lim

𝑥→2

(𝑥 − 2) (𝑥 + 2)=0

4= 0

(15)

𝑥→1 3𝑥²+2

𝑥³+1 =

b. lim

𝑥→−1 1−𝑥²

𝑥+1 =

c. lim

𝑥→1

𝑥²−2𝑥+1 𝑥−1 =

d. lim

𝑥→0 3𝑥−2 𝑥²−4𝑥−5=

e. lim

𝑥→1

2𝑥²−3𝑥+1 3𝑥³−3𝑥 =

f. lim

𝑥→−3 𝑥²+3𝑥 𝑥²+6𝑥+9=

g. lim

𝑥→2 𝑥²−4

−𝑥²+2𝑥=

h. lim

𝑥→−1

2𝑥²−5𝑥−7 3𝑥²+2𝑥−1=

(16)

3.3.2.3 Limite en l’infini

Calculons la limite pour 𝑥 tendant vers l’infini de la fonction, c’est-à-dire lim

𝑥→±∞

𝑁(𝑥) 𝐷(𝑥).

Pour rappel, on a conclu au point 3.3.1 que la limite en l’infini d’une fonction polynôme est égale à la limite en l’infini du terme de plus haut degré. Or on sait que 𝑁(𝑥) et 𝐷(𝑥) sont des polynômes, on peut donc deviner la proposition suivante :

𝑥→±∞lim 𝑁(𝑥)

𝐷(𝑥)= lim

𝑥→±∞

𝑡𝑒𝑟𝑚𝑒 𝑑𝑒 𝑝𝑙𝑢𝑠 ℎ𝑎𝑢𝑡 𝑑𝑒𝑔𝑟é 𝑑𝑒 𝑁(𝑥) 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑒 𝑑𝑒 𝑝𝑙𝑢𝑠 ℎ𝑎𝑢𝑡 𝑑𝑒𝑔𝑟é 𝑑𝑒 𝐷(𝑥)

Cela nous amène à trois possibilités suivant les degrés du numérateur et du dénominateur : 𝑑𝑒𝑔𝑟é 𝑁(𝑥) > 𝑑𝑒𝑔𝑟é 𝐷(𝑥) 𝑑𝑒𝑔𝑟é 𝑁(𝑥) = 𝑑𝑒𝑔𝑟é 𝐷(𝑥) 𝑑𝑒𝑔𝑟é 𝑁(𝑥) < 𝑑𝑒𝑔𝑟é 𝐷(𝑥)

𝐷(𝑥)= ±∞ lim

𝑥→±∞

𝑁(𝑥)

𝐷(𝑥)= 𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑟é𝑒𝑙

𝑥→±∞lim 𝑁(𝑥) 𝐷(𝑥)= 0 Le signe de l’infini dépend du

signe du quotient lorsqu’on s’approche de l’infini

La valeur de la limite est le quotient des coefficients des termes de plus haut degré de

𝑁(𝑥) et 𝐷(𝑥) Exemple :

𝑥→+∞lim

−𝑥²+ 1 2𝑥 − 1 = Avec la proposition encadrée ci- dessus : lim

𝑥→+∞

−𝑥² 2𝑥 = On simplifie les 𝑥 :

𝑥→+∞lim

−𝑥

2 = −∞

Exemple :

𝑥→+∞lim

−𝑥²+ 1 𝑥²− 1 = Avec la proposition encadrée ci- dessus :

𝑥→+∞lim

−𝑥² 𝑥² = −1

1= −1

Exemple :

𝑥→+∞lim

2𝑥 − 1

−𝑥²+ 1= Avec la proposition encadrée ci- dessus : lim

𝑥→+∞

2𝑥

−𝑥²= On simplifie les 𝑥 :

𝑥→+∞lim 2

−𝑥 = 2

−∞= 0

𝑥→−∞

𝑥(𝑥²+1)

(2𝑥+3)𝑥²= b. lim

𝑥→+∞

3𝑥−1 𝑥²+𝑥+2=

c. lim

𝑥→+∞

𝑥²−𝑥

1−3𝑥= d. lim

𝑥→−∞

5𝑥⁵+2𝑥⁴+3𝑥²−𝑥+2

−𝑥⁴−3𝑥³−2𝑥 =

e. lim

𝑥→−∞

3𝑥⁵−2𝑥²+4𝑥−2 3𝑥⁶+9𝑥+3 =

(17)

3.4 Asymptotes

3.4.1 Définition

Une asymptote à une courbe est une droite telle que, lorsque l'abscisse ou l'ordonnée tend vers l'infini, la distance de la courbe à la droite tend vers 0.

3.4.2 Asymptote verticale (AV)

La droite d’équation 𝑥 = 𝑎 est une asymptote verticale au graphe de la fonction 𝑓 si et seulement si :

𝑥→𝑎lim𝑓(𝑥) = ±∞

𝑎 doit être adhérent au domaine de 𝑓(𝑥), mais ne fait pas partie du domaine (voir 3.2.1) puisque la limite en a est infinie. On observe typiquement une asymptote verticale pour des fonctions rationnelles de la forme ^𝑁(𝑥)

𝐷(𝑥) avec 𝐷(𝑎) = 0 (et 𝑁(𝑎) ≠ 0). On constate que 𝑎 ne fait pas partie du domaine car le dénominateur est nul en 𝑎.

exemple : 𝑓(𝑥) =^𝑥+2

𝑥+3 on voit que 𝑥 = −3 n’appartient pas au domaine mais est adhérent au domaine, on a bien lim

𝑥→−3𝑓(𝑥) = −¹

0= ±∞.

En nommant 𝑁(𝑥) le numérateur, on a donc 𝑁(−3) = −1 et en nommant 𝐷(𝑥) le numérateur on a 𝐷(3) = 0.

𝑓 admet une asymptote verticale en 𝑥 = −3

Une courbe peut avoir plusieurs asymptotes verticales. Une fonction qui aurait deux AV en 𝑥 = 𝑏 et 𝑥 = 𝑐 est typiquement une fonction rationnelle de la forme ^𝑁(𝑥)

𝐷(𝑥) avec 𝐷(𝑏) = 0 et 𝐷(𝑐) = 0 (mais avec 𝑁(𝑥) ≠ 0 quand 𝑥 = 𝑎 𝑜𝑢 𝑏).

exemple : 𝑓(𝑥) = ^𝑥+5

𝑥²−4 on voit que 𝑥 = ±2 n’appartiennet pas au domaine mais sont adhérents au domaine, on a bien lim

𝑥→−2𝑓(𝑥) =³

0= ±∞ et lim

𝑥→2𝑓(𝑥) =⁷

0=

±∞.

En nommant 𝑁(𝑥) le numérateur, on voit que 𝑁(−2) ≠ 0 et 𝑁(2) ≠ 0 en nommant 𝐷(𝑥) le numérateur on a 𝐷(−2) = 0 et 𝐷(2) = 0.

𝑓admet donc deux asymptotes verticales en 𝑥 =

(18)

3.4.3 Asymptote horizontale (AH)

La droite d’équation 𝒚 = 𝑏 est une asymptote horizontale au graphe de la fonction 𝑓 si et seulement si :

𝑥→±∞lim 𝑓(𝑥) = 𝑏 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑏 ∈ ℝ

Pour que la fonction admette une 𝐴𝐻, il faut que son domaine s’étende jusque ±∞, puisqu’on s’intéresse au comportement à l’infini.

On a au maximum une 𝐴𝐻 d’un même côté (c’est-à-dire, maximum une quand 𝑥 tend vers −∞ (à gauche) et maximum une quand 𝑥 tend vers +∞ (à droite).

Les fonctions qui admettent des asymptotes horizontales sont typiquement les fonctions rationnelles 𝑓(𝑥) =^𝑁(𝑥)

𝐷(𝑥) décrites dans les colonnes 2 et 3 du tableau page 16, c’est-à-dire dont 𝑑𝑒𝑔𝑟é 𝑁(𝑥) ≤ 𝑑𝑒𝑔𝑟é 𝐷(𝑥)

Dans la colonne 2, on a :

𝐷(𝑥)= 𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑟é𝑒𝑙 voici un exemple :

𝑓(𝑥) =−𝑥²+ 5 𝑥²− 1 on a :

𝑥→±∞lim

−𝑥²+ 5

𝑥²− 1 = −1

Et donc on a une 𝐴𝐻 en 𝑦 = −1.

Dans la colonne 3, on a :

𝑥→±∞lim 𝑁(𝑥) 𝐷(𝑥)= 0, voici un exemple :

𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 1

−𝑥²+ 1 on a :

𝑥→±∞lim

2𝑥 − 1

−𝑥²+ 1= 0

Et donc on a une 𝐴𝐻 en 𝑦 = 0.

(19)

3.4.4 Asymptote oblique (AO)

L’équation d’une asymptote oblique au graphe de la fonction 𝑓(𝑥) est une équation de droite : 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 avec 𝑎 et 𝑏 ∈ ℝ et 𝑎 ≠ 0

Il faut que le domaine s’étende jusque ±∞ (puisqu’on s’intéresse au comportement à l’infini) On a au maximum une 𝐴𝐻 ou bien une 𝐴𝑂 d’un même côté (c’est-à-dire, maximum une quand x tend vers −∞ (à gauche) et maximum une quand 𝑥 tend vers +∞ (à droite).

Les fonctions qui admettent des asymptotes obliques sont typiquement les fonctions rationnelles, d’expression analytique :

𝑓(𝑥) =𝑁(𝑥) 𝐷(𝑥)

où le degré de 𝑁(𝑥) = (degré de 𝐷(𝑥)) + 1 .

C’est un cas particulier des fonctions rationnelles décrit dans la colonne 1 du tableau page 16.

Prenons par exemple la fonction 𝑓, d’expression analytique :

𝑓(𝑥) = 5𝑥² 𝑥 − 4

On peut trouver l’expression analytique de son asymptote oblique en divisant le numérateur 𝑁(𝑥) = 5𝑥² par le dénominateur 𝐷(𝑥) = 𝑥 − 4 par division euclidienne.

On a :

5𝑥² + 0𝑥 + 0 𝑥 − 4

− (5𝑥² − 20𝑥) 𝟓𝒙 + 𝟐𝟎 20𝑥 + 0

− (20𝑥 − 80) 80

L’asymptote oblique à la fonction 𝑓 a donc pour équation 𝑦 = 5𝑥 + 20.

(20)

Exercice 8 (P2 : Appliquer) Pour chaque fonction, détermine les éventuelles asymptotes verticales, horizontales ou obliques et déduis-en quel est le graphe associé (voir page suivante).

𝑥⁴ 𝑥³+ 1 AV :

AH :

AO :

Nom de la fonction (graphe) :

𝑥⁴− 1 𝑥⁴+ 1 AV :

AH :

AO :

𝑥² 2𝑥 + 4 AV :

AH :

AO :

2𝑥³+ 2 𝑥² AV :

AH :

AO :

𝑥² 𝑥²− 4 AV :

AH :

AO :

𝑥²+ 1 𝑥⁴+ 1 AV :

AH :

AO :

(21)

Exercice 9 (P2 : Appliquer) Calcule les limites suivantes. Indique s’il existe une asymptote ou un point vide à l’abscisse où la limite est calculée (AV, AH ou AO). Donne l’équation dans le cas d’une asymptote et les coordonnées dans le cas d’un point vide. Dans le cas d’une AV, établis si nécessaire un tableau de signe pour calculer les limites à gauche et à droite (voir tableau p14, colonne 2).

a. lim

𝑥→+∞

−𝑥² 𝑥³+𝑥+1=

b. lim

𝑥→−∞

3𝑥² 𝑥²+𝑥+1=

(22)

c. lim

𝑥→2

−𝑥²+4𝑥−4 𝑥−2 =

d. lim

𝑥→2

𝑥²−4𝑥+4 2𝑥²−8 =

e. lim

𝑥→−∞

4𝑥³+2𝑥²−3 2𝑥² =

f. lim

𝑥→2

𝑥³+3𝑥−2 𝑥²+5 =

g. lim

𝑥→2

𝑥²+4𝑥+4 𝑥²−4 =