Révisions Asymptotes, limites et continuité

(1)

Révisions Asymptotes, limites et continuité

1] Détermine le domaine des fonctions suivantes : a) ( ) ₂³

4 9

f x = x x

− h) ( ) ²

3 f x x

x

= − +

b) ^{f x}^{( )}⁼ ^{x x}

(

⁻^{3 5}³

)(

⁻^x

)

ⁱ⁾ ^{f x}^{( )}⁼ ^x^x⁺⁻³²

c) ^{f x}^{( )}⁼

(

^x⁺²

)(

^x⁻³

)

^j) ^{( )} ²

3 f x x

x

= +

−

d) 2

( ) 1

4 f x

x

= − k) ( ) ²

3 f x x

x

= − +

e) f x( )=³ x−1 l)

2

( ) 3 9 f x x

x

= −

− f) f x( )= −9x²+30x−25 m) ₂ 3

( ) 5 4

f x x

x x

= −

− +

g) 2

( ) 3

f x x x

= − +

2] Détermine l’expression analytique des fonctions obtenues par composition d’autres fonctions :

a) ( ) ¹ f x 1

= x

+ , g x( )=x²−3 et h x( )= x+4

→ f g, g h, h g f

b) f x( )= −9 x⁶, g x( )= ³ x et h x( )= +x 2

→ g f , f g, f g h c) f x( )=sinx, g x( )= x et h x( )=x²

→ f g h, h g f , f h f d) f x( )=x³, g x( )=tgx et h x( )= +x 1

→ f f , f g, g h

e) f x( )=x²−5x, g x( )= 1 2− x et ( ) ¹ h x 1

= x

−

→ h f , h g f , f g h

3] Détermine l’expression analytique des fonctions composées à partir des fonctions : f x( )=x²−1, g x( )= x, h x( )=3x+2 et i x( ) ¹

= x

a) g h c) f g h e) i h g f

b) h g d) h i g f) f h g

(2)

4] Décompose les fonctions suivantes en une composée de 2 ou 3 fonctions de référence :

a) )

3 6 sin(

)

( ₌ ₋

x x

f (en 2) g) ₃5

( ) 8

f x = x

− (en 3) b) ^{f x}^{( )}⁼

(

^{2 3}⁻ ^x

)

⁴^{(en 2)} ^h) ^{f x}^{( )}^{= −}¹ ^x²^{(en 2)}

c) ( ) ¹

4 f x

= x

− (en 3) i) ^{f x}^{( )}^{= −}

(

¹ ^x

)

²^{(en 2)}

d) f(x)=tan² x (en 3) j) f(x)=tan(x −5) (en 3)

e) 2

( ) 1

2 1

f x

x x

= + + (en 3) k) f x( )= +3 x+1 (en 3)

f) )

3 6 ( sin )

( ₌ ² ₋

x x

f (en 3) l) f x( )= cos²x+cosx (en 3) 5] Y a-t-il un sens à calculer la limite de 𝑓(𝑥) en 𝑎 ? Justifie.

a) 𝑓(𝑥) =^𝑥−1

𝑥+1 avec 𝑎 = 1; 0; −1; 2; +∞

b) 𝑓(𝑥) = √𝑥² − 4 avec 𝑎 = −3; −2; −1; 0; 5; +∞

c) 𝑓(𝑥) =^2𝑥+4

√𝑥−1 avec 𝑎 = −∞; 0; 1; 2; +∞

d) 𝑓(𝑥) = √2 − 𝑥 avec 𝑎 = 0; 2; 3; +∞

6] Observe les graphiques des fonctions suivantes et détermine les limites demandées. Déduis-en les équations éventuelles des asymptotes verticales et horizontales.

(3)

7] a) Trace une fonction 𝑓 vérifiant les conditions suivantes : 2

) x ( limf

x

− =

→ , =+

−−

→ f(x) lim

1 x

, lim f(x) 2

1 x

+ =

−

→ , limf(x) 3

0 x

→ = ,

−

+ =

→ f(x) lim

x

b) Trace une fonction 𝑓 vérifiant les conditions suivantes : +

− =

→ f(x) lim

x

, limf(x) 1

0 x

− =

→ , limf(x) 2

0 x

+ =

→ , =+

−

→ f(x) lim

2 x

,

−

→ f(x)= lim

4 x

, limf(x) 1

x

−

+ =

→

8] Calcule les limites des fonctions suivantes :

a) x² x 2

1

² ) x x (

f + −

= − quand 𝑥 tend vers 0 ; 1 et ±∞

b)

5 x 6

² x

) 1 x 2

² x )(

2 x ) ( x (

f − +

+

−

= + quand 𝑥 tend vers 0 ; 5 et ±∞

c) 3x x² 1

4

² x ) 3

x (

f ₃

+ +

+

= − quand 𝑥 tend vers ±∞

d) f(x)=2x²+3x−5 quand 𝑥 tend vers ±∞

e) x

x 8 ) 1

x ( f

3 − 3

= quand 𝑥 tend vers ±∞

f) x² 7x 10

3 ) x

x (

f − +

= − quand 𝑥 tend vers 5 et  

g) (x 4)(x² 1) x ) x

x ( f

3

− +

= − quand 𝑥 tend vers – 4 ; – 1 et 1

h) x² 4

) 2 x (

f −

= − quand 𝑥 tend vers 2 et ±∞

i) x 1

² x ) 1 x (

f +

= − quand 𝑥 tend vers – 1 et ±∞

x

= 3 quand 𝑥 tend vers – 3 et ±∞

(4)

k) x 4 16 ) x

x (

f ₂

4

−

= − quand 𝑥 tend vers 2 et ±∞

l) 𝑓(𝑥) =^{sin 𝑥}

2𝑥 quand 𝑥 tend vers 0 et ±∞

m) 𝑓(𝑥) =3 sin 𝑥 cos 𝑥

𝑥² quand 𝑥 tend vers 0 n) 𝑓(𝑥) = ^4𝑥

sin 2𝑥 quand 𝑥 tend vers 0 o) 𝑓(𝑥) =^{tan 𝑥}

5𝑥 quand 𝑥 tend vers 0

p) 𝑓(𝑥) = sin 4𝑥.sin 3𝑥

𝑥.sin 2𝑥 quand 𝑥 tend vers 0 et ^𝜋

2

q) 𝑓(𝑥) = ^{𝑥 sin 2𝑥}

1−cos 2𝑥 quand 𝑥 tend vers 0 et 2𝜋 r) 𝑓(𝑥) = ^{1−cos 2𝑥}

𝑥 tan 𝑥 quand 𝑥 tend vers 0 9]

10] Recherche les équations de toutes les asymptotes au graphique des fonctions suivantes, détermine la position de celui-ci par rapport aux asymptotes et esquisse- le :

a) 𝑓(𝑥) =^𝑥²+4

𝑥²−4 d) 𝑓(𝑥) =^6𝑥−10

3−3𝑥

b) 𝑓(𝑥) =^{𝑥²−2𝑥+2}

𝑥+1 e) 𝑓(𝑥) = ^𝑥³

𝑥²−2𝑥+1

c) 𝑓(𝑥) =^{1−3𝑥+4𝑥²}_2𝑥²+4 f) 𝑓(𝑥) =^{𝑥²−𝑥}_𝑥₂_−3𝑥³^+2𝑥

(5)

g) 𝑓(𝑥) = √^𝑥+1

𝑥−5 j) 𝑓(𝑥) =^{√𝑥+1−1}

𝑥

h) 𝑓(𝑥) =^√4𝑥²^−𝑥+3

𝑥−4 k) 𝑓(𝑥) = 𝑥 − √𝑥² − 𝑥 − 6

i) 𝑓(𝑥) = √𝑥² − 5𝑥 + 4

11] Associe à chacun des graphiques suivants les renseignements qui lui correspondent :

Renseignements : A) lim

𝑥→2⁻𝑓(𝑥) = −∞ et lim

𝑥→2⁺𝑓(𝑥) = −∞

B) lim

𝑥→2⁻𝑓(𝑥) = −∞ et lim

𝑥→2⁺𝑓(𝑥) = +∞

C) lim

𝑥→2𝑓(𝑥) = +∞

D) lim

𝑥→2⁻𝑓(𝑥) = +∞ et lim

𝑥→2⁺𝑓(𝑥) = −∞

E) lim

𝑥→2𝑓(𝑥) = −∞

12] Pour les fonctions dont les graphiques sont donnés dans l’exercice 6, détermine si elles sont partout continues et si ce n’est pas le cas, désigne leur(s)

discontinuité(s).

13] Détermine, graphiquement (uniquement pour les 2 premières) et algébriquement, si les fonctions suivantes sont continues ?

a) 𝑓(𝑥) = {2𝑥 + 3 si 𝑥 < 0

𝑥² si 𝑥 ≥ 0 b) 𝑓(𝑥) = { 4 si 𝑥 = 0 3(𝑥² + 4) si 𝑥 ≠ 0 c) 𝑓(𝑥) = { 1 si 𝑥 = 0

√1+sin 𝑥−√1−sin 𝑥

𝑥 si 𝑥 ≠ 0 d) 𝑓(𝑥) = { 4 si 𝑥 = 2

√4−𝑥−√𝑥

𝑥−2 si 𝑥 ≠ 2

Solutions :

1] a) dom𝑓 = ℝ\







 4 ,9 0

b) dom𝑓 = ℝ \



^;1

  

^{3; 4}

(6)

2] a) ₂1

( ) 2

f g x

= x

− ^,g h x( )= +x 1,

( )

²

( ) 1 1

1 h g f x

x

= +

+

b) g f x( )=³9−x⁶ , f g x( )= −9 x², ^f ^{g h x}^{( )}^{= − +}⁹

(

^x ²

)

²

c) ^f ^{g h x}^{( )}⁼^sin

( )

^x² ^,^{h g} ^{f x}^{( )}⁼^sin²^x^, ^{f h f x}^{( )}⁼^{sin sin}

(

²^x

)

d) f f x( )=x⁹, f g(x)=tan³x, gh(x)=tan(x+1)

e) ₂ 1

( ) 5 1

h f x

x x

= − − ^, ²

( ) 1

1 2 10 1

h g f x

x x

= − + − ^,

2 2

( ) 1 5 1

1 1

f g h x

x x

= − − −

− −

3] a) g h x( )= 3x+2 b) h g x( )=3 x+2

c) f g h x( )=3x+1 d) 3

( ) 2

h i g x

= x +

e) 2

( ) 1

3 1 2

i h g f x

x

= − + ^f) ^{f h g x}^{( )}⁼

(

³ ^x⁺²

)

²⁻¹

4] a) f x( )=g h x( ) avec g x( )=sinx et

3 6 )

( ₌ ₋ x x h

b) f x( )=g h x( ) avec g x( )=x⁴ et h x( )= −2 3x

c) f x( )=g h i x( ) avec 1 ( )

g x = x, h x( )= x et i x( )= −x 4

d) f x( )=g h i x( ) avec g x( )=x², h x( )=tgx et i x( )= x

e) f x( )=g h i x( ) avec 1 ( )

g x = x, h x( )= x et i x( )=x²+2x+1

f) f x( )=g h i x( ) avec g x( )=x², h x( )=sinx et

3 6 )

( ₌ ₋ x x i

g) f x( )=g h i x( ) avec g x( )= x , 5 ( )

h x = x et i x( )=x³−8

h) f x( )=g h x( ) avec g x( ) 1= −x et h x( )=x²

i) f x( )=h g x( ) avec g x( ) 1= −x et h x( )=x²

j) f x( )=g h i x( ) avec g(x)=tanx, h x( )= −x 5 et i x( )= x

k) f x( )=g h i x( ) avec g x( )= +3 x, h x( )= x et i x( )= +x 1

l) f x( )=g h i x( ) avec g x( )= x, h x( )=x²+x et i x( )=cosx

5]a) 𝑑𝑜𝑚 𝑓 = ℝ\{−1}

Toutes les limites ont un sens étant donné que -1 et +∞ sont au bord du domaine alors que les autres valeurs de 𝑎 sont dans le domaine.

b) 𝑑𝑜𝑚 𝑓 =] − ∞; −2] ∪ [2; +∞[

Toutes les limites ont un sens sauf en -1 et 0 qui ne sont ni dans le domaine ni au bord.

c) 𝑑𝑜𝑚 𝑓 =]1; +∞[

Toutes les limites ont un sens sauf en −∞ et 0 qui ne sont ni dans le domaine ni au bord.

d) 𝑑𝑜𝑚 𝑓 =] − ∞; 2]

Toutes les limites ont un sens sauf en 3 et +∞ qui ne sont ni dans le domaine ni au bord.

(7)

6] 1) lim

𝑥→0𝑓(𝑥) =2 lim

𝑥→1𝑓(𝑥) = 1 lim

𝑥→2𝑓(𝑥) = 0 2) lim

𝑥→−3⁻𝑓(𝑥) =/ lim

𝑥→−3⁺𝑓(𝑥) = 2 => lim

𝑥→−3𝑓(𝑥) =/

lim

𝑥→−1⁻𝑓(𝑥) = 1 lim

𝑥→−1⁺𝑓(𝑥) = −1 => lim

𝑥→−1𝑓(𝑥) =/

3) lim

𝑥→−2⁻𝑓(𝑥) =/ lim

𝑥→−2⁺𝑓(𝑥) = 2 => lim

𝑥→−2𝑓(𝑥) =/

lim

𝑥→1𝑓(𝑥) = −∞ => 𝐴𝑉 ≡ 𝑥 = 1 lim

𝑥→0𝑓(𝑥) = 0 4) lim

𝑥→0⁻𝑓(𝑥) = +∞ lim

𝑥→0⁺𝑓(𝑥) = −∞ => lim

𝑥→0 𝑓(𝑥) =/ et 𝐴𝑉 ≡ 𝑥 = 0 lim

𝑥→1⁻𝑓(𝑥) = 0 lim

𝑥→1⁺𝑓(𝑥) = 2 => lim

𝑥→1 𝑓(𝑥) =/

5) lim

𝑥→−∞𝑓(𝑥) = lim

𝑥→+∞𝑓(𝑥) = 2 => 𝐴𝐻 ≡ 𝑦 = 2 6) lim

𝑥→−∞𝑓(𝑥) = −2 => 𝐴𝐻 ≡ 𝑦 = −2 lim

𝑥→+∞𝑓(𝑥) = 1 => 𝐴𝐻 ≡ 𝑦 = 1 lim

𝑥→0⁻𝑓(𝑥) = −∞ lim

𝑥→0⁺𝑓(𝑥) = +∞ => lim

𝑥→0 𝑓(𝑥) =/ et 𝐴𝑉 ≡ 𝑥 = 0 7) lim

𝑥→−∞𝑓(𝑥) = 1 => 𝐴𝐻 ≡ 𝑦 = 1

𝑥→+∞lim 𝑓(𝑥) = +∞

8) lim

𝑥→−∞𝑓(𝑥) = +∞ lim

𝑥→+∞𝑓(𝑥) =/

8]

l) ¹

2 ; ∄ car sin 𝑥 n’a pas de limite en l’infini m) ∓∞

n) 2 o) ¹

5 p) 6; ⁴

𝜋 q) 1; ∄ car ±∞ r) 2

9]

(8)

0 1 1

x y

0 1 1

x y

0 1 1

x y

10] a) dom 𝑓 = ℝ\{−2; 2} b) dom 𝑓 = ℝ\{−1}

AV≡ 𝑥 = −2 AV≡ 𝑥 = 2 AV≡ 𝑥 = −1

AH≡ 𝑦 = 1 AO≡ 𝑦 = 𝑥 − 3

c) dom𝑓 = ℝ → pas d’AV AH≡ 𝑦 = 2

d) dom 𝑓 = ℝ\{1}

AV≡ 𝑥 = 1

AH≡ 𝑦 = −2

e) dom𝑓 = ℝ\{1}

AV≡ 𝑥 = 1 AO≡ 𝑦 = 𝑥 + 2

f) dom𝑓 = ℝ\{0; 3}

AV≡ 𝑥 = 3 et rond vide en (0, −²

3) AO ≡ 𝑦 = −𝑥 − 2

g) dom𝑓 = ]−∞; −1] ∪ ]5; +∞[

AVdroite≡ 𝑥 = 5 AH≡ 𝑦 = 1

(9)

h) dom𝑓 = ]−∞; −³

4] ∪ [1; 4[ ∪ ]4; +∞[ i) dom𝑓 = ]−∞; 1] ∪ [4; +∞[ → pas d’AV

AV≡ 𝑥 = 4 𝐴𝑂_−∞ ≡ 𝑦 = −𝑥 +⁵

2 et 𝐴𝑂_+∞ ≡ 𝑦 = 𝑥 −⁵

2

𝐴𝐻−∞ ≡ 𝑦 = −2 et 𝐴𝐻+∞ ≡ 𝑦 = 2

k) dom𝑓 = ]−∞; −2] ∪ [3; +∞[ → pas d’AV 𝐴𝐻_+∞ ≡ 𝑦 =¹

2 et 𝐴𝑂_−∞ ≡ 𝑦 = 2𝑥 −¹

2

j) dom𝑓 = [−1; 0[ ∪ ]0; +∞[

rond vide en (0,¹

2) 𝐴𝐻+∞ ≡ 𝑦 = 0

11] 1 B - 2 C - 3 A&E - 4 D

12] Elles sont toutes partout continues sauf : N°2 : discontinuité en -1

N°4 : discontinuité en 1

13] a) discontinue en 0 b) discontinue en 0 c) partout continue d) discontinue en 2