EXERCICES SUPPLEMENTAIRES : LES LIMITES ET LES ASYMPTOTES

Chers élèves,

J’espère que tout va bien pour vous et que vous prenez un maximum de précautions pour votre santé et celle de vos familles et amis.

Tout d’abord, je tiens à vous rappeler que je suis disponible par mail (lequeux.sa@gmail.com) si vous avez besoin de mon aide pour une correction ou plus d’explications. Vous ne devez surtout pas hésiter !

Ensuite, je tiens à vous préciser qu’une session d’examen de juin ne pourra pas être prévue comme les autres années mais il n’est pas impossible de maintenir des bilans cer- tificatifs sur les heures de cours lors d’une éventuelle reprise des cours. Vous devez donc vous préparer, tout de même, à être interrogés. De plus, il semble évident que la matière vue cette année doit être très bien maîtrisée pour l’année prochaine.

Pendant ces deux nouvelles semaines de confinement, je vous propose de réaliser les exercices se trouvant ci-dessous et qui concernent le chapitre, vu en classe, des limites et des asymptotes.

Je vous propose ce travail non obligatoire mais vivement conseillé. En effet, lors de la reprise des cours, une interrogation sur ce chapitre sera programmée (date à définir en- semble et lors de cette reprise).

Bon travail.

Madame Lequeux.

EXERCICES SUPPLEMENTAIRES : LES LIMITES ET LES ASYMPTOTES

1. A partir des graphiques suivants, détermine les limites en−∞, en 2, en 3et en+∞.

De plus, écris l’équation des éventuelles asymptotes.

2. A partir des graphiques suivants, détermine les limites en −3, en 2 et en +∞.

De plus, écris l’équation des éventuelles asymptotes.

3. A partir des graphiques suivants, détermine les limites en −∞, en −2, en 3, en 4 et en+∞. De plus, écris l’équation des éventuelles asymptotes.

4. Calcule les limites suivantes et justifie. Veille à simplifier et à factoriser au maximum.

a) lim

x→−∞

3x²−7x+ 1 4x−5x² b) lim

x→2

−6x+ 8 x² + 2x−8 c) lim

x→1

2x²−2 x² +x−2 d) lim

x→2

x³−x−2 x⁴ + 2x²−1 e) lim

x→+∞x³+ 5x+ 3 f) lim

x→−1

x²−4x+ 1 2x²−x−3

h) lim

x→1

x²+ 4x−5 x³ −x² −x+ 1 i) lim

x→1

3

x(x−1) − 2 x²−1 j) lim

x→+∞

4

3−2x + 2 k) lim

x→−∞

(2x²+ 1)²

(3x+ 4)·(x³−5x+ 2) l) lim

x→+∞

3x² (2x+ 5)³

5. Détermine les éventuelles asymptotes au graphique de chacune des fonctions f et esquisse ce graphique.

a) f(x) = 2x²−5x+ 3 2x

b) f(x) = 2x³−x²+ 4x−7 c) f(x) = 3x−1

4−x² d) f(x) = 3x²−5x+ 1

x−1 e) f(x) = 2x²−1

4x²+ 1

6. Complète le tableau suivant.

Données Inconnues f(x) = √

3x domf = g(x) =x²−4 domg =

(f+g)(x) = dom(f+g) = (f◦g)(x) = dom(f◦g) = f(x) = 1

x−2 (g◦f◦h)(x) = g(x) = sin(x) dom(g◦f◦h) = h(x) =x³−8 (f◦g◦h)(x) =

dom(f◦g◦h)(x) =

7. Détermine une fonction (sous la forme la plus simple possible) satisfaisant les deux critères suivants :

a)AV ≡x= 2 b)AH ≡y= 4

8. Détermine une fonction (sous la forme la plus simple possible) satisfaisant les deux critères suivants :

a) AV ≡x=−3 b)AO≡y= 2x+ 5 9. Trace le graphique d’une fonction f satisfaisant les critères suivants :

a) AV ≡x=−2 b) AV ≡x= 2

c) AO≡y=x d) lim

x→−∞f(x) = −∞

e) lim

x→+∞f(x) = +∞

f) lim

x→−2⁻f(x) = −∞

g) lim

x→2⁺f(x) = +∞

h) lim

x→0f(x) = 2

10. À partir des graphiques données, complète les limites de fonctions.

x→−∞lim f(x) = lim

x→0⁺f(x) = lim

x→−∞f(x) = lim

x→1⁺f(x) =

x→+∞lim f(x) = lim

x→0⁻f(x) = lim

x→+∞f(x) = lim

x→1⁻f(x) =

lim f(x) = lim f(x) =

11. Associe chaque graphique à un ensemble d’informations.

I) AV ≡x=−1; lim

x→−1⁺f(x) =−∞ et lim

x→−1⁻f(x) = +∞

II) AV ≡x=−1; lim

x→−1⁺f(x) = +∞et lim

x→−1⁻f(x) =−∞

CORRECTIF

1. lim

x→−∞f(x) =−4

x→2limf(x) = −2 lim

x→3⁻f(x) =−∞ et lim

x→3⁺f(x) = +∞ ⇒ lim

x→3f(x) = ∃/

x→+∞lim f(x) =−1 AV ≡x= 3

AH ≡y=−4et AH ≡y=−1 2. lim

x→−3f(x) = +∞

x→2limf(x) = 0,6

x→+∞lim f(x) = 2 AV ≡x=−3 AH ≡y= 2 3. lim

x→−∞f(x) =−∞

x→−2lim⁻f(x) =−1 et lim

x→−2⁺f(x) =−4 ⇒ lim

x→−2f(x) = ∃/

x→3lim⁻f(x) = 1 et lim

x→3⁺f(x) = ∃/ ⇒ lim

x→3f(x) =∃/

x→4limf(x) = ∃/

x→+∞lim f(x) = 1 AO≡y= ¹₃x−³₂ 4. a) ⁻³₅

b) lim

x→2⁻f(x) = +∞ et lim

x→2⁺f(x) = −∞ ⇒ lim

x→2f(x) =∃/ c) ⁴₃ (FI ⁰₀)

d) ₂₃⁴ e)+∞

f) lim

x→−1⁻f(x) = +∞ et lim

x→−1⁺f(x) =−∞ ⇒ lim

x→1f(x) =∃/ g)0

h)+∞ (FI ⁰₀) i) lim

x→1⁻f(x) = −∞ et lim

x→1⁺f(x) = +∞ ⇒ lim

x→2f(x) =∃/ j) 2

k) ⁴₃

5. a) domf =R0; AV ≡x= 0; pas d’AH en ±∞; AO≡y=x− ⁵₂ en±∞

b) domf =R; pas d’AV ; pas d’AH en ±∞; pas d’AO en ±∞ (car a n’est pas un réel).

c) domf=R\ {±2}; AV ≡x=−2 etAV ≡x= 2;AH ≡y = 0 en±∞; pas d’AO en±∞ (car AH en±∞)

d) domf=R\ {1}; AV ≡x= 1; pas d’AH en±∞; AO≡y= 3x−2en ±∞

e) domf =R; pas d’AV ;AH ≡y= ¹₂ en±∞; pas d’AO en±∞ (car AH en±∞)

6. a) domf = [0; +∞[

domg =R (f+g)(x) =√

3x+x²−4 dom(f+g) = [0; +∞[

(f◦g)(x) =p

3(x²−4)

dom(f◦g) =]− ∞;−2]∪[2; +∞[

b)(g◦f ◦h)(x) = sin( 1 x³−10) dom(g◦f◦h) = R\{√³

10}

(f◦g◦h)(x) = 1

sin(x³−8)−2 dom(f◦g◦h) = R

7. f(x) = 4x x−2

8. f(x) = 2x²+ 11x+ 16 x+ 3

9.

10. a) lim

x→−∞f(x) = 1

x→+∞lim f(x) = 1 lim

x→−1⁺f(x) = 1 lim

x→−1⁻f(x) = 1 lim

x→0⁺f(x) = +∞

lim

x→0⁻f(x) = +∞

b) lim

x→−∞f(x) = 0

x→+∞lim f(x) = 0 lim

x→−1⁺f(x) = +∞

lim

x→−1⁻f(x) =−∞

lim

x→1⁺f(x) = +∞

lim

x→1⁻f(x) =−∞

11. On associe le graphique a avec l’ensemble d’informations II et le graphique b avec l’ensemble d’informations I.