Fonction avec ln, limites, asymptotes, variations, aire

NOM : ENONCE FEUILLE-REPONSE Respecter les consignes Soit la fonction f, définie sur 3

2;

 + ∞

 

 , telle que f(x) = x 5 2ln^{2x 1} 2x 3

− + − +

− . On appelle C sa représentation graphique.

1) Au dos de cette feuille, calculer

xlim f (x)

→∞ en citant avec précision les théorèmes utilisés.

2) Au dos de cette feuille, calculer

3 3

x ,x

2 2

lim f (x)

→ >

en citant avec précision les théorèmes utilisés.

3) C possède une droite asymptote d au voisinage de +∞. Préciser l’équation de cette droite et citer les définitions, propriétés ou théorèmes permettant de prouver l’exactitude de l’affirmation.

équation Définitions, théorèmes

4) C possède-t-elle une autre droite asymptote D ? Si oui, écrire l’équation de cette droite D.

5) Parmi les écritures ci-dessous, lesquelles sont des écritures admissibles de f ’(x) ? Entourer les bonnes réponses.

5 6x 2x 1

− +

2 2

4x 12x 1

(2x 3)

− + −

−

4x2 4x 19 (2x 1)(3 2x)

− −

+ − -1 + ¹⁶

(2x 1)(2x 3)+ −

4x2 4x 19 (2x 1)(2x 3)

− −

+ −

6) Quelle est l’écriture la plus favorable à l’étude du signe de f ’(x) sur 3; 2

 + ∞

 

  ?

7) Présenter un tableau de synthèse de l’étude des variations de f (limites comprises), rendant compte également de l’étude du signe de f ’(x).

8) a) Ecrire le problème à résoudre pour étudier l’intersection de C avec l’axe des abscisses.

b) Citer les définitions, propriétés, théorèmes clés utilisés pour résoudre ce problème.

9) a) Ecrire le problème à résoudre pour étudier la position de C relativement à la droite d1 d’équation y =-x + 5.

b) Présenter une résolution de ce problème.

10) Prouver que la fonction g, définie sur 3 2;

 + ∞

 

  et telle que g(x) = ^{2x 1}ln^{2x 1} 2 ln ¹

2 2x 3 2x 3

+ +

− − − est une primitive de la fonction qui à x associe ln^{2x 1}

2x 3 +

− sur 3 2;

 + ∞

 

 .

11) Présenter, au dos de cette feuille, un calcul justifié du nombre U d’unités d’aire de la partie E du plan délimitée par la courbe C, la droite d1 et les droites d’équations x = 2 et x = 5.

Eléments pour un corrigé Soit la fonction f, définie sur 3

2;

 + ∞

 

 , telle que f(x) = x 5 2ln^{2x 1} 2x 3

− + − +

− . On appelle C sa représentation graphique.

1) Calculer

xlim f (x)

→+∞ en citant avec précision les théorèmes utilisés.

2) Calculer

3 3

x ,x

2 2

lim f (x)

→ >

en citant avec précision les théorèmes utilisés.

Sur 3 2;

 + ∞

 

 , ln^{2x 1} 2x 3 +

− = x 2 1 ln x

x 2 3 x

 + 

 

 

 − 

 

 

= 2 1 ln x3

2 x +

−

D’où, avec quelques abus d’écritures, x

2 1

lim x 1

2 3 x

→+∞

+

=

− (th.1, th.2) (th.3)

x X 1

2 1

lim ln x lim ln X 0 2 3

x

→+∞ →

+ = =

−

(th.2)

xlim f (x)

→+∞ =

x

2 1 lim x 5 2ln x

2 3 x

→+∞

 + 

 

− + −

 

 − 

 

 

= -∞

Th.1 :

x

lim 1 0 x

→+∞ = (fonction de référence)

Th.2 : sauf en cas de forme indéterminée, la limite d’une somme est la somme des limites, la limite d’un produit est le produit des limites, la limite d’un quotient est le quotient des limites.

Th.3 : Si

xlim g(x)

→α = β et

Xlim f (X) L

→β = alors

[ ]

x X

lim f g(x) lim f (X) L

→α = →β = .

Th.4 :

xlim ln x

→+∞ = +∞ (fonction de référence)

Valeurs de x ³₂ +∞

Signe de 2x + 1 4 + Signe de 2x – 3 0 + (th.2)

3 3

x ,x

2 2

lim 2x 1 2x 3

→ >

+ = +∞

−

(th.3, th.4)

3 3

x ,x

2 2

lim f (x)

→ >

= -∞

3) C possède une droite asymptote d au voisinage de +∞. Préciser l’équation de cette droite et citer les définitions, propriétés ou théorèmes permettant de prouver l’exactitude de l’affirmation.

équation

y = -x + 5 Définitions, théorèmes : C étant la représentation graphique de f Th. 5 : si _xlim f (x) (ax b)

[ ]

→+∞ − + = 0 alors la droite d’équation y = ax + b est asymptote à C au voisinage de +∞.

Ou : Si f(x) = ax + b + ε(x) avec

xlim (x) 0

→+∞ε = , alors la droite d’équation y = ax + b est asymptote à C au voisinage de +∞.

4) C possède-t-elle une autre droite asymptote D ? Si oui, écrire l’équation de cette droite D.

Oui, x = 3/2

5) Parmi les écritures ci-dessous, lesquelles sont des écritures admissibles de f ’(x) ? Entourer les bonnes réponses.

5 6x 2x 1

− +

2 2

4x 12x 1

(2x 3)

− + −

−

4x2 4x 19 (2x 1)(3 2x)

− −

+ −

1 16

(2x 1)(2x 3)

− + + −

4x2 4x 19 (2x 1)(2x 3)

− −

+ −

6) Quelle est l’écriture la plus favorable à l’étude du signe de f ’(x) sur 3 2;

 + ∞

 

  ? 4x² 4x 19

(2x 1)(3 2x)

− −

+ − ou

4x2 4x 19 (2x 1)(2x 3)

− + +

+ −

7) Présenter un tableau de synthèse de l’étude des variations de f (limites comprises), rendant compte également de l’étude du signe de f ’(x).

Valeurs de x -∞ 1/2 – √5 -1/2 3/2 1/2 + √5 +∞

Signe de 4x² – 4x – 19 + 0 - | - | - 0 + Signe de (2x + 1)(3 – 2x) - 0 + 0 - | - Signe de f’(x) || + 0 - Variations de f || -∞ À f(1/2 + √5) Â -∞

8) a) Ecrire le problème à résoudre pour étudier l’intersection de

C avec l’axe des abscisses. Par exemple : sur 3

2;

 + ∞

 

 , f(x) = y et y = 0 b) Citer les définitions,

propriétés, théorèmes clés utilisés pour résoudre ce problème.

Deux théorèmes clés :

Th.6 : si f est dérivable et strictement monotone sur [a ; b] et si f(a)f(b) < 0, alors f(x) s’annule une et une seule fois sur ]a ; b[.

Th.7 et définition : f strictement croissante (resp. décroissante) sur un intervalle J signifie, pour tous a et b de J tels que a < b, alors f(a) < f(b) (resp. f(a) > f(b)).

9) a) Ecrire le problème à résoudre pour étudier la position de C

relativement à la droite d1 d’équation y =-x + 5. Par exemple : étude du signe de f(x) – (-x + 5) sur 3 2;

 + ∞

 

 

b) Présenter une résolution de ce problème.

Eléments pour un corrigé On a : sur 3

2;

 + ∞

 

 , f(x) – (-x + 5) = 2 ln^{2x 1} 2x 3

− +

− . Sur 3

2;

 + ∞

 

 , 2 ln^{2x 1} 2x 3

− +

− ≤ 0 (th.8) ln^{2x 1}

2x 3 +

− ≥ ln 1 (th.9) ^{2x 1}

2x 3 +

− ≥ 1

⁴ 2x 3− ≥ 0 x ≥ 3/2 Donc Sur 3

2;

 + ∞

 

 , f(x) – (-x + 5) ≤ 0 D’où C est au-dessous de d.

Th.8 : 0 = ln 1

Th.9 : 0 < a < b ' ln a < ln b

10) Prouver que la fonction g, définie sur 3 2;

 + ∞

 

  et telle que g(x) = ^{2x 1}ln^{2x 1} 2 ln ¹

2 2x 3 2x 3

+ +

− − − est une primitive de la fonction qui à x associe ln^{2x 1}

2x 3 +

− sur 3 2;

 + ∞

 

 . sur 3

2;

 + ∞

 

 , g(x) = ^{2x 1}ln^{2x 1} 2 ln ¹

2 2x 3 2x 3

+ +

− − − = ^{2x 1}ln^{2x 1} 2 ln (2x 3) 2 2x 3

+ +

+ −

− (th.10)

(th.11, th.12)

g’(x) =

2x 1

2x 1 2x 1 2x 3 2

ln 2

2x 3 2 2x 1 2x 3

2x 3 + ′

 

 

+ + +  −  +

− + −

−

= ln^{2x 1 4 4}

2x 3 2x 3 2x 3

+ −

+ +

− − − = ln^{2x 1} 2x 3 +

−

(th.13) g est une primitive de ln^{2x 1}

2x 3 +

− sur 3; 2

 + ∞

 

 .

Th.10 : ∀a > 0, alors ln (1/a) = - ln a

Th.11 : (uv)’ = u’v + uv’

Th.12 : (ln u)’ = u’/u (avec u > 0)

Th.13 : une fonction F est une primitive de f sur J si F’ = f sur J.

11) Présenter, au dos de cette feuille, un calcul justifié du nombre U d’unités d’aire de la partie E du plan délimitée par la courbe C, la droite d1 et les droites d’équations x = 2 et x = 5.

On sait (th.14) que U = ⁵

2 f (x) ( x 5) dx− − +

∫

^.

Or (question 9), sur 3 2;

 + ∞

 

 , f(x) – (-x + 5) ≤ 0 donc | f(x) – (-x + 5)| = -f(x) + (-x + 5) = 2 ln^{2x 1}

2x 3 +

− . De plus (question 10), « g(x) » est une primitive de ln^{2x 1}

2x 3 +

− sur 3 2;

 + ∞

 

 . Finalement, U = ⁵

2 f (x) ( x 5) dx− − +

∫

⁼ 2⁵

2 ln2x 1dx 2x 3

+

∫

− = 2[g(5) – g(2)] (th.15, th.16), D’où U = 2 ^{11 11}ln 2 ln 7 ⁵ln 5 2ln 1

2 7 2

 +   − + 

   

 = 11 ln 11 – 7 ln 7 – 5 ln 5 (th.8,

th.17).

Th.14 : Soit a et b deux réels d’un intervalle J tels que a ≤ b et deux fonctions dérivables f et g sur J. Le nombre U d’unités d’aire de la partie du plan délimitée par les courbes représentatives C et C’ de f et g et les droites d’équations x = a et x = b est donné par U = ^b

a f (x) g(x) dx−

∫

^.

Th.15 : ^{b b}

ak f (t)dt k f (t)dt= a

∫ ∫

^{avec k}

constante réelle.

Th.16 : Si F est une primitive de f sur [a ; b], alors ^b

af (t)dt F(b) F(a)= −

∫

^.

Th.17 : pour tous a et b strictement positifs, ln (a/b) = ln a – ln b.