NOM : ENONCE FEUILLE-REPONSE Respecter les consignes Soit la fonction f telle que f(x) = x 5 2 ln2x 1
2x 3
− + − +
− . On appelle C sa représentation graphique.
On ne demande pas de justification mais une bonne utilisation de Derive.
1) Quel problème résoudre pour trouver l’ensemble F des valeurs pour lesquelles f est définie ?
Résoudre dans R, 2x 1 2x 3 +
− > 0 2) Ecrire F
F = ; 1 3;
2 2
−∞ − ∪ + ∞
3) Valeur des limites de f aux
bornes de l’ensemble F. xlim f (x)→−∞ = +∞
1 1
x ,x
2 2
lim f (x)
→− <−
= +∞
3 3
x ,x
2 2
lim f (x)
→ >
= -∞
xlim f (x)
→+∞ = -∞
4) Préciser les équations des droites
asymptotes à C. Au voisinage de -∞ et de +∞, y = -x + 5
et x = -1/2 ; x = 3/2 5) Ecrire f ’(x) sous la forme d’un
quotient de polynômes. Par exemple,
4x2 4x 19 (2x 1)(3 2x)
− − + −
6) Présenter un tableau de synthèse de l’étude des variations de f (limites comprises), rendant compte également de l’étude du signe de f ’(x).
Valeurs de x -∞ 1/2 – √5 -1/2 3/2 1/2 + √5 +∞
Signe de 4x2 – 4x – 19 + 0 - | - | - 0 + Signe de (2x + 1)(3 – 2x) - | - 0 + 0 - | - Signe de f’(x) - 0 + || || + 0 - Variations de f +∞ Â f(1/2 - √5) À -∞ || || -∞ À f(1/2 + √5) Â -∞
où f(1/2 - √5) = 9 5 2ln3 5
2 2
+ − − et f(1/2 + √5) = 9 5 2 ln3 5
2 2
− − +
7) a) Ecrire le problème à résoudre pour étudier
l’intersection de C avec l’axe des abscisses. Résoudre, pour x dans F, f(x) = y et y = 0 (ou équation aux abscisses : x dans F, f(x) = 0) b) Ecrire les solutions adaptées
à ce problème. Deux solutions a et b, encadrées au centième 2,12 < a < 2,13 et 3,71 < b < 3,72 8) a) Ecrire le problème à résoudre pour étudier la position de
C relativement à la droite d1 d’équation y =-x + 5.
Etudier le signe de f(x) – (-x + 5) sur F
b) Donner les solutions de ce problème. Si x < -1/2 alors f(x) > -x + 5 donc C est au-dessus de d1
Si x > 3/2 alors f(x) < -x + 5 donc C est en dessous de d1
9) Valeur du nombre U d’unités d’aire de la partie E du plan délimitée par
la courbe C, la droite d1 et les droites d’équations x = 2 et x = 5. U = 11 ln 11 – ln 2573571875
