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Calcul littéral_Calcul formel Calcul formel : …divers
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« LaboMep_CalculFormel_Q1 » disponible sur https://enneagone.jimdofree.com/faq-2nde/
Pour chaque exercice,
𝒊𝒍 𝒔’𝒂𝒈𝒊𝒕 𝒅’𝒆𝒙𝒑𝒓𝒊𝒎𝒆𝒓 𝒙 𝒆𝒏 𝒇𝒐𝒏𝒄𝒕𝒊𝒐𝒏 𝒅𝒆 𝒂 𝒆𝒕 𝒃, 𝑑𝑒𝑢𝑥 𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑠 𝑟é𝑒𝑙𝑠 𝑞𝑢𝑒𝑙𝑐𝑜𝑛𝑞𝑢𝑒𝑠.
La méthode consiste à effectuer les mêmes opérations de part et d’autre de l’égalité initiale donnée. Afin d’isoler 𝑥 d’un côté ou de l’autre du signe « = » et obtenir une expression du type
𝑥 = "𝑢𝑛𝑒 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑛 𝑓𝑜𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑎 𝑒𝑡 𝑏"
Pour gérer convenablement le calcul littéral (avec les paramètres a et b), il faut déjà être capable de gérer un calcul numérique de la même forme.
Pour ce faire,
- On transforme l’égalité en remplaçant a et b par des nombres simples (ici, je choisirai a=2 et b=3)
- On effectue le calcul numérique ainsi créé en respectant les règles du calcul
- On reproduit le même calcul (les mêmes opérations dans le même ordre) en remettant les lettres a et b à la place des nombres substitués
Exemple 1 : traité en intégralité
Égalité de départ ∶ 𝑥 𝑏2− 𝑥
𝑎2 = 𝑎 + 𝑏 𝑎𝑏
É𝐭𝐚𝐩𝐞 𝟏, on substitue (remplace) a par 2 et b par 3 pour se familiariser au calcul
𝑙′é𝑔𝑎𝑙𝑖𝑡é 𝑥 𝑏2− 𝑥
𝑎2 = 𝑎 + 𝑏 𝑎𝑏
𝑑𝑒𝑣𝑖𝑒𝑛𝑡 𝑥 32− 𝑥
22 =2 + 3
2 × 3 𝑝𝑢𝑖𝑠 𝑥 9−𝑥
4=5 6 É𝐭𝐚𝐩𝐞 𝟐, on procède au calcul numérique
𝑥 9−𝑥
4= 5 6 𝑥 (1
9−1 4) =5
6 𝑒𝑛 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑠𝑎𝑛𝑡 𝑝𝑎𝑟 𝑥
𝑥 (1 × 4
9 × 4−1 × 9 4 × 9) =5
6 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑒𝑓𝑓𝑒𝑐𝑡𝑢𝑒𝑟 𝑙𝑎 𝑠𝑜𝑢𝑠𝑡𝑟𝑎𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛1
9−1 4, 𝑜𝑛 𝑚𝑒𝑡 𝑎𝑢 𝑚ê𝑚𝑒 𝑑é𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑡𝑒𝑢𝑟 9 × 4 = 36
𝑥 (4 36− 9
36) =5 6
𝑥× − 5 36=5
𝑙𝑎 𝑠𝑜𝑢𝑠𝑡𝑟𝑎𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑠𝑡 𝑓𝑎𝑖𝑡𝑒, 6
𝑖𝑙 𝑓𝑎𝑢𝑡 à 𝑝𝑟é𝑠𝑒𝑛𝑡 𝑠𝑒 𝑑é𝑏𝑎𝑟𝑎𝑠𝑠𝑒𝑟 𝑑𝑢 "× − 5 36 "
𝑥 × − 5
36÷ − 5 36=5
6÷ − 5 36 𝑒𝑛 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑎𝑛𝑡 𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑡 𝑒𝑡 𝑑′𝑎𝑢𝑡𝑟𝑒 𝑝𝑎𝑟 − 5
36, 𝑖𝑙 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑒𝑟𝑎 𝑥 à 𝑔𝑎𝑢𝑐ℎ𝑒
𝑒𝑡 𝑢𝑛 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙 à 𝑒𝑓𝑓𝑒𝑐𝑡𝑢𝑒𝑟 à 𝑑𝑟𝑜𝑖𝑡𝑒
𝑥 =5
6÷ − 5 36= 5
6× −36 𝑐𝑎𝑟 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑒𝑟 𝑝𝑎𝑟 𝑢𝑛𝑒 𝑓𝑟𝑎𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 5 𝑟𝑒𝑣𝑖𝑒𝑛𝑡 à 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑝𝑙𝑖𝑒𝑟 𝑝𝑎𝑟 𝑙′𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑒
𝑥 =5
6× −36
5 = −5 × 36
6 × 5 = −36 6 𝒙 = −𝟔
On peut vérifier avec a = 2 et b = 3 , x = ab
a − b devient x =2 × 3 2 − 3= 6
−1= −6 Les résultats des deux calculs correspondent
É𝐭𝐚𝐩𝐞 𝟑, on reproduit le même calcul
(les mêmes opérations dans le même ordre) avec les lettres a et b 𝑥
𝑏2 − 𝑥
𝑎2 =𝑎 + 𝑏 𝑎𝑏 𝑥 (1
𝑏2− 1
𝑎2) = 𝑎 + 𝑏 𝑎𝑏 𝑒𝑛 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑠𝑎𝑛𝑡 𝑝𝑎𝑟 𝑥
𝑥 (1 × 𝑎²
𝑏2× 𝑎²− 1 × 𝑏²
𝑎2× 𝑏²) =𝑎 + 𝑏 𝑎𝑏 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑒𝑓𝑓𝑒𝑐𝑡𝑢𝑒𝑟 𝑙𝑎 𝑠𝑜𝑢𝑠𝑡𝑟𝑎𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 1
𝑏2− 1 𝑎2, 𝑚ê𝑚𝑒 𝑑é𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑡𝑒𝑢𝑟 𝑏2× 𝑎2 = 𝑎2𝑏2
𝑥 ( 𝑎²
𝑎²𝑏²− 𝑏²
𝑎2𝑏²) =𝑎 + 𝑏 𝑎𝑏
𝑥× (𝑎2− 𝑏²
𝑎²𝑏² )=𝑎 + 𝑏 𝑎𝑏 𝑙𝑎 𝑠𝑜𝑢𝑠𝑡𝑟𝑎𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑠𝑡 𝑓𝑎𝑖𝑡𝑒, 𝑖𝑙 𝑓𝑎𝑢𝑡 𝑠𝑒 𝑑é𝑏𝑎𝑟𝑎𝑠𝑠𝑒𝑟 𝑑𝑢 "×𝑎2− 𝑏²
𝑎²𝑏² "
𝑥 ×𝑎2− 𝑏2
𝑎2𝑏2 ÷𝑎2− 𝑏2
𝑎2𝑏2 = 𝑎 + 𝑏
𝑎𝑏 ÷𝑎2− 𝑏2 𝑎2𝑏2
𝑒𝑛 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑎𝑛𝑡 𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑡 𝑒𝑡 𝑑′𝑎𝑢𝑡𝑟𝑒 𝑝𝑎𝑟 𝑎2− 𝑏2 𝑎2𝑏2 , 𝑖𝑙 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑒𝑟𝑎 𝑥 à 𝑔𝑎𝑢𝑐ℎ𝑒
𝑒𝑡 𝑢𝑛 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙 à 𝑒𝑓𝑓𝑒𝑐𝑡𝑢𝑒𝑟 à 𝑑𝑟𝑜𝑖𝑡𝑒
𝑥 =𝑎 + 𝑏
𝑎𝑏 ÷𝑎2− 𝑏2
𝑎2𝑏2 = 𝑎 + 𝑏
𝑎𝑏 × 𝑎2𝑏2 𝑎2−𝑏2 𝑐𝑎𝑟 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑒𝑟 𝑝𝑎𝑟 𝑢𝑛𝑒 𝑓𝑟𝑎𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑟𝑒𝑣𝑖𝑒𝑛𝑡 à 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑝𝑙𝑖𝑒𝑟 𝑝𝑎𝑟 𝑙′𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑒
𝑥 =𝑎 + 𝑏
𝑎𝑏 × (𝑎𝑏)2 (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) 𝑒𝑛 𝑢𝑡𝑖𝑙𝑖𝑠𝑎𝑛𝑡 𝑙′é𝑔𝑎𝑙𝑖𝑡é 𝑟𝑒𝑚𝑎𝑟𝑞𝑢𝑎𝑏𝑙𝑒
𝑎2− 𝑏2 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏)
𝑥 = (𝑎 + 𝑏) × 𝑎𝑏 × 𝑎𝑏 𝑎𝑏 × (𝑎 + 𝑏) × (𝑎 − 𝑏)
𝑥 = (𝑎 + 𝑏) × 𝑎𝑏 × 𝑎𝑏 𝑎𝑏 × (𝑎 + 𝑏) × (𝑎 − 𝑏)
𝒙 = 𝒂𝒃 𝒂 − 𝒃
Exemple 2 : exercice d’apprentissage
Ici, je présente et justifie le calcul littéral (étape 3), l’exercice consistera ensuite à faire le calcul numérique correspondant avec 𝑎 = 2 et 𝑏 = 3
𝑎2+𝑎 + 𝑏 𝑥 = 𝑏2
𝑎2+𝑎 + 𝑏
𝑥 − 𝑎²= 𝑏²− 𝑎²
𝑎 + 𝑏
𝑥 = 𝑏2− 𝑎2
𝑥 𝑒𝑠𝑡 𝑎𝑢 𝑑é𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑡𝑒𝑢𝑟. 𝑃𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑠𝑜𝑢𝑐𝑖, 𝑜𝑛 𝑣𝑎 𝑢𝑡𝑖𝑙𝑖𝑠𝑒𝑟 𝑙𝑒 𝑓𝑎𝑖𝑡 𝑞𝑢𝑒 ∶ 𝑆𝑖𝐴 𝐵 = 𝐶
𝐷, 𝐴𝑙𝑜𝑟𝑠𝐵 𝐴 = 𝐷
𝐶
𝑎 + 𝑏
𝑥 = 𝑏2− 𝑎2
1 𝑑𝑒𝑣𝑖𝑒𝑛𝑡 𝑎𝑖𝑛𝑠𝑖 𝑥
𝑎 + 𝑏= 1 𝑏2− 𝑎² 𝑥
𝑎 + 𝑏× (𝑎 + 𝑏)= 1
𝑏2− 𝑎2 × (𝑎 + 𝑏)
𝑥 = 𝑎 + 𝑏 𝑏2− 𝑎²
𝑂𝑛 𝑢𝑡𝑖𝑙𝑖𝑠𝑒 𝑙′é𝑔𝑎𝑙𝑖𝑡é 𝑟𝑒𝑚𝑎𝑟𝑞𝑢𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑏2− 𝑎2 = (𝑏 − 𝑎)(𝑏 + 𝑎) = (𝑏 − 𝑎)(𝑎 + 𝑏)
𝑥 = 𝑎 + 𝑏 (𝑏 − 𝑎)(𝑎 + 𝑏)
𝑥 = (𝑎 + 𝑏) × 1 (𝑏 − 𝑎) × (𝑎 + 𝑏)
𝑥 = (𝑎 + 𝑏) × 1 (𝑏 − 𝑎) × (𝑎 + 𝑏)
𝒙 = 𝟏 𝒃 − 𝒂
Exercice : On substitue par 𝑎 = 2 et 𝑏 = 3 dans l’égalité
𝑎2+𝑎 + 𝑏
𝑥 = 𝑏2 et on obtient 22+2 + 3 𝑥 = 32
En s’inspirant du calcul littéral précédent, mener à bien le calcul numérique (étape 2)
22+2 + 3 𝑥 = 32 C’est-à-dire, isoler 𝑥 sur le principe du calcul précédent.
Remarque : Dans un calcul numérique, on ne laisse pas 2² mais on met 4, ni 2+3, on mettra 5 (on calcule ce que l’on peut numériquement ! Ce qui simplifie toujours l’expression)
Menez à bien ce calcul et vérifiez que vous trouvez la bonne réponse : 𝒙 = 𝟏
Exemple 3 : exercice en autonomie
𝐼𝑐𝑖 𝑙′é𝑔𝑎𝑙𝑖𝑡é 𝑑𝑒 𝑑é𝑝𝑎𝑟𝑡 𝑒𝑠𝑡 𝑎𝑏 𝑥 𝑎 + 𝑏
= 𝑎 + 𝑏
En appliquant la méthode écrite en vert au début de ce document, procéder aux 3 étapes d’apprentissage :
É𝐭𝐚𝐩𝐞 𝟏, Substituez (remplacez) a par 2 et b par 3 pour se familiariser au calcul 𝑎𝑏
𝑥 𝑎 + 𝑏
= 𝑎 + 𝑏 𝑑𝑒𝑣𝑖𝑒𝑛𝑡 …
É𝐭𝐚𝐩𝐞 𝟐, Effectuez ce calcul numérique pour se l′approprier, on obtient 𝑥 = … (un nombre)
É𝐭𝐚𝐩𝐞 𝟑, Reproduisez le même calcul (les mêmes opérations dans le même ordre) avec les lettres a et b 𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡, 𝑎𝑏
𝑥 𝑎 + 𝑏
= 𝑎 + 𝑏 𝑑𝑜𝑛𝑛𝑒 𝑥 = … (une expression en fonction de a et de b)
