Calcul formel Partiel
Philippe Ryckelynck et Denis Vekemans ∗
Il est formellement interdit de quitter la salle avant la fin de l’épreuve (la durée de l’épreuve est de 1h30).
Aucun document n’est autorisé, la calculatrice n’est pas autorisée.
Sur l’ordinateur mis à service, seul le logiciel "maple" est utilisable : internet et intranet sont mis hors service, les moyens de communication sont coupés (mail, telnet, ...), la sauvegarde ainsi que l’accès aux documents personnel sont également exclus.
Le téléphone portable est évidemment interdit aussi.
Le compte-rendu est à rendre uniquement sur copie et manuscrit : pas de sortie imprimante.
Exercice 1 (3 points)
Soit une popuationP prise au hasard.
• Soit pn la proportion de fumeurs à l’étape n dans la population P; 1−pn est donc la proportion de non-fumeurs à l’étapen dans la populationP.
• On considère qu’un fumeur de cette population P à l’étape na une probabilité de 45 de rester fumeur à l’étape n+ 1(et donc une probabilité de 15 de devenir non-fumeur à l’étape n+ 1).
• Qui plus est, on considère qu’un non-fumeur de cette populationP à l’étapena une probabilité de 109 de rester non-fumeur à l’étapen+ 1(et donc une probabilité de 101 de devenir fumeur à l’étapen+ 1).
On a donc
pn+1 = 9pn
10 +1−pn 5
= 7pn 10 + 1
10
On suppose que p0 = 12.
1. Donnerpn en fonction den.
2. Donner la limitel de la suite (pn)lorsque ntend vers l’infini.
3. Si on modifie la valeur de p0, la valeur del est-elle modifiée ?
Exercice 2 (5 points)
∗Laboratoire de mathématiques pures et appliquées Joseph Liouville ; 50, rue Ferdinand Buisson BP 699 ; 62 228 Calais cedex ; France
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L1 Maths - Info Calcul formel 2007
Soitm un réel etp une fonction polynôme telle que
p:x∈R7−→p(x) =x2+m(x+ 1) + 1∈R.
1. On impose au polynôme p d’avoir deux racines réelles distinctes. Quelle condition cela impose-t-il à m?
2. Pour quelle(s) valeur(s) dem la somme des carrés des racines du polynômep vaut-elle6?
Exercice 3 (5 points)
Soit la suite(un)définie par récurrence
∀n≥0, un+1= −2(un+ 6 +√
5un−2√ 5)
−3un−2 +√
5un−2√ 5 etu0= 1. On définit alors une suite(vn) par
∀n≥0, vn= un−2 un+ 2. 1. Donnervn+1 en fonction devn.
2. En déduirevn en fonction den.
3. Puis, enfinunen fonction de n.
Exercice 4 (7 points)
Source : Les Reid - Problem Corner - South West Missouri University.
1. Chercherx∈N∗,y∈N∗ etz∈N∗ tels que
x+y2 =z3.
2. Chercherx∈N∗,y∈N∗ etz∈N∗ tels que
x2+y3=z4.
3. Chercherx∈N∗,y∈N∗ etz∈N∗ tels que
x3+y4=z5.
4. Donner une procédure maple qui donne, si c’est possible, tous les triplets (x, y, z) d’entiers naturels non nuls tels que
x2+y2=z2,
avec x < y < z etx,y etz tous trois inférieurs strictement à100.
5. Donner une procédure maple qui donne, si c’est possible, tous les triplets (x, y, z) d’entiers naturels non nuls tels que
x3+y3=z3,
avec x < y < z etx,y etz tous trois inférieurs strictement à100.
–2/2– Mathématiques
