1 2 , le tableau de variations de fm

1 Soit m un réel. On considère la fonction fm, définie sur IR par : fm(x) = e^x + m

(e^x + 1)²

1° a) Préciser si la fonction fm est continue et dérivable sur IR.

b) Montrer que, pour m ≥ 1

2, la fonction fm est strictement monotone, Montrer que, pour m < 1

2, la fonction f_m présente un maximum dont vous donnerez la valeur en fonction de m.

c) Etudier les limites de fm aux bornes de IR et dressez, dans les deux cas m ≥ 1

2, puis m < 1

2 , le tableau de variations de fm.

2° a) Montrez que, si m_l est strictement inférieur à m₂, on a pour tout x réel fm1(x) < fm2(x)

b) On désigne par C m, la courbe représentative de fm, dans un repère orthonormal (O,^→u,^→v ).

Montrez que C 0 admet (y' y) pour axe de symétrie.

c) Tracer C −1, C 0, C 1 en précisant les points d'intersection avec les axes du repère et les tangentes en ces points.

2 Pour tout entier naturel n, on considère la fonction fn, définie sur IR

par : fn(x) = e^−nx

e^x + 1

On désigne par C n la courbe représentative de fn dans un repère orthonormal (O,^→u ,^→v) (unité graphique 10 cm).

1° On suppose n = 0.

a) Etudier les limites de f0. en + ∞ et en − ∞.

b) Etudier le sens de variation de f0 puis dresser son tableau de variations.

c) Montrer que le point I





0,1

2 est centre de symétrie de C0' d) Tracer la courbe C 0 en précisant sa tangente en I.

2° On suppose n ≥ 1 a) Etudier les limites de f_n en +∞ et en −∞

b) Montrer que fn est dérivable sur IR et vérifier que pour tout x, on a : fn '(x) = − e^−nx(n + (n + 1)e^x)

(e^x + 1)²

c) Etudier le sens de variation de fn tableau de variations.

Vérifier que le point I appartient à toutes les courbes C n.

d) Tracer C 1 dans le même repère que C 0 en précisant sa tangente en I.

3 On se propose d’étudier certaines fonctions fk de la variable réelle x définies sur [0; +∞[ par : fk (x) = x e^–x + k x.

où k est un réel donné quelconque, et de construire leurs courbes représentatives C k. 1° Etude de fk,.

a) Déterminer selon les valeurs du réel k, lim

x → +∞ fk(x).

Montrer que la droite D k d'équation y = k x est asymptote en + ∞ à la courbe C k. Préciser la position de C k par rapport à D_k.

b) Calculer f^k'(x) et fk"(x) Donner selon les valeurs du réel k, lim

x → +∞ fk'(x)..

Donner le sens de variations de fk'

2° Donner les tableaux de variations de f0 et f1

3° Le plan est rapporté à un repère orthonormal (O;^→u, ^→v),. Pour le dessin, on choisit pour unité 5 cm..

a) Donner les coefficients directeurs des tangentes à l'origine T0 et T1 respectivement C0 et C1

b) Construire les tangentes T0 et T1 les asymptotes D0, D1 et les courbes C0 et C1.

O 1

y

fm(x) = e^−nx e^x + 1 n= 0, n = 1, n = 2, n = 3 fm= e^x + m

(e^x + 1)²

m =− 1, m = 0, m = 1