D´eterminer le tableau de variations degsur [−2

TES 5 DS 5 18 d´ecembre 2017 Dur´ee 85 minutes. Le bar`eme est donn´e `a titre indicatif.

Le manque de soin et de clart´e dans la r´edaction sera p´enalis´e.

Exercice 1 : Classique (15 minutes) (4 points)

1. Donner sans justification la d´eriv´ee def(x) = e^−x22

2. Soitgd´efinie sur [−2; 2] parg(x) = (2x+ 1)e^2x−5. D´eterminer le tableau de variations degsur [−2; 2].

Solution:

1. f⁰(x) =−xe^−x22

2. g est d´erivable sur R,g⁰(x) = 2e^2x−5+ 2×(2x+ 1)e^2x−5= (4x+ 4)e^2x−5.

Etudions le signe de´ g⁰. e^2x−5>0 pour tout r´eel x, donc le signe deg⁰(x) d´epend du signe de (4x+ 4). On obtient alors le tableau de variations suivant :

x 4x+ 4

g

−2 −1 2

− 0 +

−3e⁻⁹

−3e⁻⁹

e⁻⁷ e⁻⁷

5e⁻¹ 5e⁻¹

Exercice 2 : Probl`eme de bac (40 minutes) (10 points)

Partie A

On consid`ere la fonction f d´efinie sur l’intervalle [0 ; 5] par

f(x) =x+ 1 + e^−x+0,5. On a repr´esent´e ci-dessous, dans un plan muni d’un rep`ere orthonorm´e :

— la courbeC repr´esentative de la fonctionf;

— la droite ∆ d’´equationy= 1,5x.

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5 6 7

0 C

∆

1. (a) V´erifier que pour tout xappartenant `a l’intervalle [0 ; 5], on a

f⁰(x) = 1−e^−x+0,5.

(b) R´esoudre dans l’intervalle [0 ; 5] l’´equationf⁰(x) = 0 . (c) ´Etudier le signe de f⁰(x) sur l’intervalle [0 ; 5].

(d) Dresser le tableau de variations de la fonctionf sur l’in- tervalle [0 ; 5].

2. On noteαl’ abscisse du point d’intersection deC et ∆.

(a) Donner, par lecture graphique, un encadrement deα`a 0,5 pr`es.

(b) R´esoudre graphiquement sur l’intervalle [0 ; 5] l’in´equation f(x)<1,5x.

Partie B Application

Une entreprise fabrique des cartes `a puces ´electroniques `a raide d’une machine.

La fonctionf, d´efinie dans la partie A, repr´esente le coˆut d’utilisation de la machine en fonction de la quantit´exde cartes produites, lorsquexest exprim´e en centaines de cartes etf(x) en centaines d’euros.

1. (a) D´eduire de la partie A, le nombre de cartes `a produire pour avoir un coˆut minimal d’utilisation de la machine.

(b) Chaque carte fabriqu´ee par la machine est vendue l,50e.

La recette per¸cue pour la vente dexcentaines de cartes vaut donc 1,5xcentaines d’euros. V´erifier que le b´en´efice obtenu, en centaines d’euros, par la vente de xcentaines de cartes est donn´e par B(x) = 0,5x− 1−e^−x+0,5.

TES 5 DS 5 Page 2 sur 4 2. (a) Montrer que la fonctionB est strictement croissante sur l’intervalle [0 ; 5].

(b) Montrer que, sur l’intervalle [0 ; 5], l’´equationB(x) = 0 admet une unique solution comprise entre 2,32 et 2,33.

3. On dira que l’entreprise r´ealise un b´en´efice lorsque B(x)>0.

Indiquer la quantit´e minimale qui doit figurer sur le carnet de commandes de l’entreprise pour que celle-ci puisse r´ealiser un b´en´efice.

Solution: Partie A

1. (a) u´etant une fonction d´erivable sur un intervalle, la d´eriv´ee de la fonctione^usur cet intervalle estu⁰e^u. On a doncf⁰(x) = 1−e^−x+0,5

(b)

f⁰(x) = 0⇐⇒1−e^−x+0,5= 0⇐⇒e^−x+0,5= 1⇐⇒ −x+ 0,5 = 0⇐⇒x= 0,5.

(c)

f⁰(x)>0⇐⇒1−e^−x+0,5>0⇐⇒e^−x+0,5<1⇐⇒ −x+ 0,5<0⇐⇒x >0,5.

f⁰ est donc n´egative sur [0 ; 0,5] et positive sur [0,5 ; 5].

(d)

x f⁰(x)

f

0 0,5 5

− 0 +

1 + e^0,5 1 + e^0,5

2,5 2,5

6 + e^−4,5 6 + e^−4,5

2. (a)

26α62,5.

(b) Les solutions sont les abscisses des points deC qui sont en dessous de la droite ∆.S= [α; 5].

Partie B Application

1. (a) On utilise la valeur pour laquelle le minimum de la fonction f est atteint. Il faut produire 50 cartes pour que le coˆut d’utilisation de la machine soit minimal.

(b)

B(x) = 1,5x−f(x) = 1,5x−(x+ 1 + e^−x+0,5= 0,5x−1−e^−x+0,5. 2. (a)

B⁰(x) = 0,5 + e^−x+0,5.

Une exponentielle est toujours positive, doncB⁰ est strictement positive sur [0 ; 5] donc B est stric- tement croissante sur [0 ; 5].

(b) B(0) =−1−e^0,5<0 etB(5) = 1,5−e^−4,5>0.

La fonction B est continue et strictement croissante sur [0 ; 5]. D’apr`es le th´eor`eme des valeurs interm´ediaires, le nombre 0 admet un et un seul ant´ec´edent parB sur [0 ; 5] et donc l’´equation donn´ee a une et une seule solutionβ.

D’apr`es la calculatriceB(2,32)<0 etB(2,33)>0. Donc 2,32< β <2,33.

3. L’entreprise r´ealise un b´en´efice pour une quantit´e de cartes produites sup´erieure ou ´egale `a 233.

Exercice 3 : Int´egrale (15 minutes) (3 points)

On consid`ere une fonctionf d´efinie et d´erivable sur l’intervalle [−2; 4].

La courbeCf, trac´ee ci-dessous, repr´esente la fonction f dans le plan muni d’un rep`ere orthonormal. La courbeCf

passe par le pointsA(0; 2). La tangenteT `a la courbeCf enApasse par le pointB(2; 0).

Dans cet exercice, on utilisera les donn´ees graphiques et on justifiera.

TES 5 DS 5 Page 3 sur 4

−2 −1 1 2 3

1 2

0

T Cf

A

B a

1. Que repr´esente Z 0

−1

f(x)dx? Hachurer sur la courbe le domaine associ´e `a l’int´egrale. En d´eduire un encadrement par deux entiers naturels cons´ecutifs de cette int´egrale.

2. (a) Donnerf⁰(0)

(b) D´eterminer l’´equation de la tangenteT.

3. D´eterminer l’aire du triangleBOD. `A quelle int´egrale correspond cette aire ? Solution:

1. R0

−1f(x)dxrepr´esente l’aire (en unit´e d’aire) du domaine d´elimit´ee par les droitesx=−1,x= 0, l’axe des abscisses et la courbe C_f.

On a : 2<R0

−1f(x)dx <3 (a) f⁰(0) =−1

(b) L’´equation de la tangenteT esty=−x+ 2.

2. L’aire du triangleBOD est ´egale `a Base×hauteur

2 =^2×2_2s . Cela correspond `aR2

0 −x+ 2dx.

Exercice 4 : Une prise d’initiative (15 minutes) (3 points)

Un publicitaire envisage la pose d’un panneau rectangulaire sous une partie de rampe de skateboard. Le profil de cette rampe est mod´elis´e par la courbe repr´esentative de la fonctionf d´efinie sur l’intervalle [0 ; 10] par : f(x) = 4e^−0,4x. Cette courbeCf est trac´ee ci-dessous dans un rep`ere d’origine O :

Baccalauréat ES A. P. M. E. P.

0 1 2 3 4 5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

y(en mètres)

x(en mètres) Cf

A

D C

B

Le rectangle ABCD représente le panneau publicitaire et répond aux contraintes suivantes : le point A est situé à l’origine du repère, le point B est sur l’axe des abscisses, le point D est sur l’axe des ordonnées et le point C est sur la courbeC_f.

1. On suppose dans cette question que le point B a pour abscissex=2.

Montrer qu’une valeur approchée de l’aire du panneau publicitaire est 3,6 m². 2. Parmi tous les panneaux publicitaires qui répondent aux contraintes de l’énoncé,

quelles sont les dimensions de celui dont l’aire est la plus grande possible ? On donnera les dimensions d’un tel panneau au centimètre près.

Polynésie 5 10 juin 2016

Le rectangle ABCD repr´esente le panneau publicitaire et r´epond aux contraintes suivantes : le point A est situ´e `a l’origine du rep`ere, le point B est sur l’axe des abscisses, le point D est sur l’axe des ordonn´ees et le point C est sur la courbeCf.

1. On suppose dans cette question que le point B a pour abscissex= 2.

Montrer qu’une valeur approch´ee de l’aire du panneau publicitaire est 3,6 m².

TES 5 DS 5 Page 4 sur 4 2. Parmi tous les panneaux publicitaires qui r´epondent aux contraintes de l’´enonc´e, quelles sont les dimensions de

celui dont l’aire est la plus grande possible ?

On donnera les dimensions d’un tel panneau au centim`etre pr`es.

Solution:

1. Dans ce cas,xC=xB= 2 etyC=yD=f(2) = 4e^−0,8.

L’aire du panneau publicitaire est donc, en unit´es d’aire (c’est-`a -dire en m²) : A = 2×4e^−0,8= 8e^−0,8.

On obtient bien une aire d’environ 3,6 m².

2. On cherche doncx∈[0 ; 10] tel queA(x) =x×f(x) soit maximal.

Pour tout r´eelx∈[0 ; 10],A(x) = 4xe^−0,4x.

Comme produit de fonctions d´erivables sur I= [0 ; 10], A est d´erivable sur I et pour tout r´eel x∈I, A⁰(x) = 4e^−0,4x+ 4x× −0,4e^−0,4x

A⁰(x) = (4−1,6x)e^−0,4x. Or, pour tout r´eel x, on a :

? 4−1,6x >0⇔4>1,6x ⇐⇒ 2,5> x

? e^−0,4x>0

On obtient donc le tableau suivant : x

4−1,6x e^−0,4x

f⁰(x) Variations

def

0 2,5 10

+ 0 −

+ +

+ 0 −

0 0

A(2,5) A(2,5)

A(10) A(10) avecA(2,5)≈3,68 etA(10)≈0,73.

L’aire du panneau est donc maximale lorsquex= 2,5. L’autre dimension est doncf(2,5)≈1,472.

Les dimensions correspondantes sont 2,50 m et 1,47 m (arrondies au cm).