2 2 S = 10 ⋅( 10 − 1 ) - 10 ⋅( 10 − 1 )⋅ 10 = 99200 ⋅ 10 = 495 ⋅ 10 2 2 S = 10 ⋅( 10 − 1 ) - 10 ⋅( 10 − 1 )⋅ 10 = 992 ⋅ 10 = 495 ⋅ 10

(1)

A383. De belles collections de palindromes ***

Q1 Zig calcule la somme S de tous les entiers palindromes de n chiffres et constate que S se termine par 17 zéros. Déterminer l’entier n qu’il a choisi et la somme S qu’il a obtenue.

Q2 Démontrer que quelle que soit la valeur de n, la somme des chiffres de la somme de tous les entiers palindromes de n chiffres est une constante.

Q3 Existe-t-il un entier m tel que la somme de tous les entiers palindromes de m chiffres se termine par 2019 zéros ? par 2020 zéros ? par 2021 zéros ?

Pour n impair : n=2m+1

S = 10

^m+1

2 ⋅( 10

²^m+1

−1) - 10

^m

2 ⋅(10

²^m−1

−1)⋅ 10 = 99

2 ⋅ 10

³^m

= 495 ⋅ 10

⁽³^m−1)

Pour n pair : n=2m

S = 10

^m

2 ⋅(10

²^m

−1) - 10

^m−1

2 ⋅(10

²^m−2

−1)⋅ 10 = 99

200 ⋅ 10

³^m

= 495 ⋅ 10

⁽³^m−3⁾

Q1 : Pour n=13=2⋅6+1 S=495⋅10¹⁷

Q2 : Les formules ci-dessus montrent que S=495⋅10^k donc la somme des chiffres de S vaut 18

Q3 : Pour n=1348=2⋅674 S=495⋅10²⁰¹⁹ Pour n=1349=2⋅674+1 S=495⋅10²⁰²¹

Pas de S se terminant par 2020 zéros