A 483. 3.2.1.. Partez.
Q1 : trouver tous les entiers naturels x, y et z tels que les trois restes de la division du produit de deux d’entre eux par le troisième sont tous égaux à 1.
Q2 : trouver tous les entiers naturels x, y et z tels que les trois restes de la division du produit de deux d’entre eux par le troisième sont égaux à 3, 2 et 1.
Solution proposée par Michel Lafond
Q1.
On veut : xy = a z + 1, yz = bx + 1 et xz = cy + 1.
On peut supposer 2 x < y < z.
En effet, si x par exemple était égal à 1, le reste de la division de yz par x serait 0 et non pas 1.
De plus les hypothèses impliquent que x, y, z sont premiers entre eux deux à deux.
Il ne peut donc pas y avoir égalité entre deux des inconnues.
On a : az = xy – 1 < xy < xz a < x < y (1)
a (xz – 1) = a cy xaz = acy + a x (xy – 1) = acy + a x + a = y (x2 – ac) x + a est multiple de y mais plus petit que 2y d’après (1). Donc x + a = y (2) Enfin, yz = bx + 1 (x + a) z = bx + 1 az – 1 = x (b – z) mais az – 1 = xy – 2 D’où x (b – z) = xy – 2 x divise 2 x = 2.
On a alors a z + 1 = 2 y < 2 z a < 2 a = 1 z = 2 y – 1 2 z = 4y – 2
Mais xz = 2 z = cy + 1 donc 4y – 2 = cy + 1 y (4 – c) = 3 d’où y = 3 et z = 2 y – 1 = 5.
La seule solution est x = 2 , y = 3 , z = 5.
Q2.
On peut supposer x, y, z strictement positifs.
On veut : xy = a z + 1, yz = bx + 2 et xz = cy + 3.
Comme dans Q1, x, y, z sont au moins égaux à 2.
Si x = y alors xz = yz = bx + 2 = cy + 3 = cx + 3 implique x (b – c) = 1 ce qui est impossible puisque x 1.
Si y = z alors xy = az + 1 = ay + 1 implique y (x – a) = 1 ce qui est impossible puisque y 1.
Si x = z alors xy = az + 1 = ax + 1 implique x (y – a) = 1 ce qui est impossible puisque x 1.
De plus x est impair car si x était pair, az = xy – 1 et cy = xz – 3 seraient impairs. Donc y et z seraient impairs mais yz = bx + 2 serait pair d’où une contradiction.
Finalement, x, y, z sont tous distincts, au moins égaux à 2, et x est impair au moins égal à 3. (3)
Distinguons 6 cas selon l’ordre entre x, y, z.
Premier cas : 3 x < y < z.
az = xy – 1 < xy < xz a < x (4)
xz – 3 = cy 0 mod y a(xz – 3) 0 mod y axz – 3a 0 mod y (5) On remplace dans (5) az par xy – 1 pour avoir :
x (xy – 1) – 3a 0 mod y x + 3a 0 mod y (6)
Mais x + 3a < 4 x d’après (4) donc x + 3a = dy < 4x < 4y d < 4. (7) yz = bx + 2 yz – 2 0 mod x d (yz – 2) 0 mod x dyz 2d mod x (8) On remplace dans (8) dy par x + 3a (d’après (7)) pour avoir (x + 3a) z 2d mod x Donc 3a z 2d mod x 3 (xy – 1) 2d mod x 2d – 3 mod x (9) On peut commencer la discussion selon les valeurs de d [1, 2 ou 3 d’après (7)].
Si d = 1 d’après (9) 2 – 3 mod x x = 5 a {1, 2, 3, 4} d’après (4).
Si a = 1 alors 5y = z + 1, yz = 5b + 2 et 5z = cy + 3.
5y = z + 1 25 y = 5z + 5 = cy + 8 y (25 – c) = 8 y = 8 [seul diviseur de 8 supérieur à x = 5]
Donc z = 5y – 1 = 39 soit la solution (x ; y ; z) = (5 ; 8 ; 39).
Si a = 2 alors 5y = 2z + 1, yz = 5b + 2 et 5z = cy + 3.
5y = 2z + 1 25 y = 10z + 5 = 2cy + 11 y (25 – 2c) = 11 y = 11.
Donc z = (5y – 1) / 2 = 27 soit la solution (x ; y ; z) = (5 ; 11 ; 27).
Si a = 3 alors 5y = 3z + 1, yz = 5b + 2 et 5z = cy + 3.
5y = 3z + 1 25 y = 15z + 5 = 3cy + 14 y (25 – 3c) = 14 y = 7 ou y = 14.
Si y = 7 alors z = (5y – 1) / 3 ce qui est impossible.
Si y = 14 alors z = (5y – 1) / 3 = 23 soit la solution (x ; y ; z) = (5 ; 14 ; 23).
Si a = 4 alors 5y = 4z + 1, yz = 5b + 2 et 5z = cy + 3.
5y = 4z + 1 25 y = 20z + 5 = 4cy + 17 y (25 – 4c) = 17 y = 17.
Donc z = (5y – 1) / 4 = 21 soit la solution (x ; y ; z) = (5 ; 17 ; 21).
Si d = 2 d’après (9) 4 – 3 mod x x = 7 a {1, 2, 3, 4, 5, 6} d’après (4).
Si a = 1 alors 7y = z + 1, yz = 7b + 2 et 7z = cy + 3.
7y = z + 1 49 y = 7z + 7 = cy + 10 y (49 – c) = 10 y = 10 [seul diviseur de 10 supérieur à 7]
Donc z = 7y – 1 = 69 soit la solution (7, 10, 69) mais yz mod x = 690 mod 7 = 4 ne convient pas.
On continue la discussion de la même manière, c’est long, mais parfaitement faisable à la main.
Les cas a = 2, a = 3, a = 4, a = 5, a = 6 ne donnent pas de solutions.
Si d = 3 On trouve x = 3 ou x = 9 mais pas de solution..
Deuxième cas : 3 x < z < y. On est plus chanceux avec 6 solutions : cy = xz – 3 < xz < xy c < x (4’)
xy – 1 = az 0 mod z c(xy – 1) 0 mod z cxy – c 0 mod z (5’) On remplace dans (5’) cy par xz – 3 pour avoir :
x (xz – 3) – c 0 mod z 3x + c 0 mod z (6’)
Mais 3x + c < 4 x d’après (4’) donc 3x + c = dz < 4x < 4z d < 4. (7’) yz = bx + 2 yz – 2 0 mod x d (yz – 2) 0 mod x dyz 2d mod x (8’) On remplace dans (8’) dz par 3x + c (d’après (7)) pour avoir (3x + c) y 2d mod x Donc cy 2d mod x xz – 3 2d mod x 2d – 3 mod x (9’)
On peut commencer la discussion selon les valeurs de d [1, 2 ou 3 d’après (7’)].
Si d = 1 d’après (9’) 2 – 3 mod x x = 5 c {1, 2, 3, 4} d’après (4’).
Si c = 1 alors 5y = az + 1, yz = 5b + 2 et 5z = y + 3.
5z = y + 3 25 z = 5y + 15 = az + 16 z (25 – a) = 16 z = 8 ou z = 16 [z > x].
Si z = 8 alors y = 5z – 3 = 37 mais (5 ; 37 ; 8) ne convient pas car 37 8 mod 5 = 1.
Si z = 16 alors y = 5z – 3 = 77 soit la solution (x ; y ; z) = (5 ; 77 ; 16).
Si c = 2 alors 5y = az + 1, yz = 5b + 2 et 5z = 2y + 3.
5z = 2y + 3 25 z = 10y + 15 = 2az + 17 z (25 – 2a) = 17 z = 17.
Donc y = (5z – 3) / 2 = 41 soit la solution (x ; y ; z) = (5 ; 41 ; 17).
On continue de la même manière :
Le cas c = 3 donne la solution (x ; y ; z) = (5 ; 29 ; 18).
Le cas c = 4 donne la solution (x ; y ; z) = (5 ; 23 ; 19).
Si d = 2 on trouve x = 7, et seul c = 1 donne la solution (x ; y ; z) = (7 ; 74 ; 11).
Si d = 3 d’après (9’) 6 – 3 mod x x = 3 ou x = 9.
x = 3 ne donne pas de solution dans la discussion.
x = 9 donne c {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.
Mais seul c = 3 donne la solution (x ; y ; z) = (9 ; 29 ; 10).
Troisième cas : 2 y < x < z.
On arrive à y + 2 a = dx avec d = 1 ou d = 2.
d = 1 donne 4 solutions : (x ; y ; z) = (7 ; 5 ; 34) ou (9 ; 5 ; 22) ou (11 ; 5 ; 18) ou (13 ; 5 ; 16).
d = 2 ne donne rien.
Quatrième cas : 2 y < z < x.
On arrive à 2y + b = dz avec d = 1 ou d = 2.
d = 1 donne 4 solutions : (x ; y ; z) = (53 ; 5 ; 11) ou (29 ; 5 ; 12) ou (21 ; 5 ; 13) ou (17 ; 5 ; 14).
d = 2 donne y = 2 ou y = 4 ou y = 8 qui donne la seule solution : (x ; y ; z) = (35 ; 8 ; 9).
Cinquième cas : 2 z < x < y.
On arrive à 3z + 2c = dx avec d = 1 ou d = 2 ou d = 3 ou d = 4.
d = 1 donne z = 7 et 5 solutions :
(x ; y ; z) = (23 ; 158 ; 7) ou (25 ; 86 ; 7) ou (27 ; 62 ; 7) ou (29 ; 50 ; 7) ou (33 ; 38 ; 7).
d = 2 donne la seule : (x ; y ; z) = (13 ; 101 ; 8).
d = 3 donne z = 3 ou z = 9 qui donne la seule : (x ; y ; z) = (11 ; 32 ; 9).
d = 4 ne donne rien.
Sixième cas : 2 z < y < x.
On arrive à 2z + 3b = dy avec d = 1 ou d = 2 ou d = 3 ou d = 4.
d = 1 donne z = 7 et 5 solutions :
(x ; y ; z) = (117 ; 17 ; 7) ou (69 ; 20 ; 7) ou (53 ; 23 ; 7) ou (45 ; 26 ; 7) ou (37 ; 32 ; 7).
d = 2 donne z = 2 ou z = 4 ou z = 8 qui donne la seule solution (x ; y ; z) = (43 ; 11 ; 8).
d = 3 ne donne rien.
d = 4 ne donne rien.
Finalement, on a 32 solutions :
(x ; y ; z)
5 8 39 7 5 34 17 5 14 35 8 9
5 11 27 7 74 11 21 5 13 37 32 7
5 14 23 9 5 22 23 158 7 43 11 8
5 17 21 9 29 10 25 86 7 45 26 7
5 23 19 11 5 18 27 62 7 53 5 11
5 29 18 11 32 9 29 5 12 53 23 7
5 41 17 13 5 16 29 50 7 69 20 7
5 77 16 13 101 8 33 38 7 117 17 7
