A362. Les réversibles
Un entier n est appelé réversible s'il est un multiple k de l'entier m obtenu en lisant n de droite à gauche. Comme on écarte toute écriture non standard des entiers m et n commençant par un zéro, les entiers m et n ont le même nombre de chiffres.
Si k = 1, l'entier n est un palindrome. On s'intéresse ci-après aux seuls nombres réversibles qui ne sont pas des nombres palindromes.
Q1 Déterminer les valeurs possibles de k.
Q2 Pour chacune des valeurs de k précédemment déterminées, trouver tous les entiers réversibles de 10 chiffres.
Solution proposée par Claudio Baiocchi
Un petit programme montre qu’il n’existe pas de nombres réversibles à 1, 2, 3 chiffres ; tandis qu’il existe deux nombres réversibles à 4 chiffres avec k = 4 puis k = 9: 8712=4*2178 et 9801=9*1089.
Partant de là, on obtient sans peine deux nombres réversibles à 5, 6, 7, … chiffres : il suffit de rajouter aux nombres déjà obtenus un nombre quelconque de chiffres 9 :
87912=4*21978 et 98901=9*10989, 879912=4*219978 et 989901=9*109989, … La réponse plausible à Q1 semble donc être et .
Si on demande à l’ordinateur de compléter l’analyse en traitant les nombres à 5, 6, 7 chiffres, on ne trouve aucune solution. On pourrait s'en contenter, d’autant plus que les langages de programmation les plus répandus ne permettent pas d’arriver à traiter le cas de nombres à 10 chiffres. Toutefois il vaut la peine de poursuivre l’analyse jusqu’à 8 et 9 chiffres :
- pour 8 chiffres on trouve une première solution : 87128712=4*21782178 et 98019801= 9*10891089
- pour traiter le cas de 9 chiffres, l'insertion d'un chiffre 9 entre les deux blocs de quatre chiffres ; n'aboutit à rien et une deuxième solution est obtenue en insérant le chiffre 0.
D'où les deux solutions 871208721=4*217802178 et 980109801=9*108901089.
De ce qui précède,la réponse à Q2 est donnée par :
8799999912=4*2199999978 et 9899999901=9*1099999989, 8712008721=4*2178002178 et 9801009801=9*1089001089,
et, bien entendu, le « doublage » de ce qui se passe dans le cas de 5 chiffres : 8791287912=4*2197821978 et9890198901=9*1098910989.
