Universit´e Pierre et Marie Curie LM256 : Analyse vectorielle, int´egrales multiples Ann´ee universitaire 2009–2010 1er semestre, 2`eme session
Examen du 28 janvier 2010
2 heures, aucun document autoris´e, pas de calculatrice.
Les 4 exercices sont ind´ependants. On peut faire les parties d’un exercice dans l’ordre (a), (b), (c), mais parfois ce n’est pas n´ecessaire.
Le corrig´e sera affich´e demain surhttp://people.math.jussieu.fr/~szarek/
Exercice 1 (24 pts) Soit F(x, y, z) = x2+4yz 2.
(a) Calculer −→u =gradF. Quel est l’ensemble de d´efinition de −→u =−→u(x, y, z) ?
(b) Soit S la surface de niveau de F donn´ee par F(x, y, z) = 1 et soit Γ une courbe pa- ram´etr´ee donn´ee par Γ(t) = (t+ 1, t,2(t+ 1)2), 0≤t≤4.
1. montrer que P = (2,1,8) apartient `a l’intersection de S et de Γ 2. trouver l’´equation du plan tangent `aS en P
3. trouver−→v, un vecteur tangent `a Γ enP, et l’´equation deD, la droite tangente `a Γ enP 4. posonsg(t) =F(Γ(t)) ; en utilisant un th´eor`eme appropri´e sur la d´eriv´ee d’une fonction
compos´ee, trouver g0(t0), o`u t0 v´erifie Γ(t0) = P.
(c) Calculer f = div−→u ou−→w =rot−→u (au choix). Trouver, en particulier, f(P) (ou −→w(P), selon le cas).
Exercice 2 (15 pts) Soit C une courbe param´etr´ee donn´ee par x= sint, y= cost, z =t2, −π≤t ≤π et soit ω =y dx+xy dy+z2dz.
(a) Est-ce que C est une courbe ferm´ee ? Justifier.
(b) Est-ce que ω est une 1-forme ferm´ee ? Une 1-forme exacte ? Existe-t-il une fonction h =h(x, y, z) sur R3 telle que dh=ω? Si oui, trouver une telleh.
(c) D´eterminer R
Cω par une m´ethode de votre choix.
Exercice 3 (18 pts) Soit Σ la partie du parabolo¨ıde hyperboliquez =x2−y2 qui se trouve dans l’interieur du cylindre x2+y2 = 2.
(a) Exprimer l’aire de Σ comme une int´egrale (multiple).
(b) Exprimer le flux du champs de vecteurs −→
V = (1+x−x2+y2,1+x2y2+y2,1+xz2+y2) `a travers la surface Σ, orient´ee vers le haut, comme une int´egrale multiple ordinaire (c.`a.d., comme une int´egrale d’une fonction explicite sur un domaine explicitement d´ecrit).
(c) Trouver la valeur de l’int´egrale de la partie (a) ou de l’int´egrale de la partie (b) (au choix).
Exercice 4 (18 pts) Soit T un domaine de R3 born´e par le plans x = 0, y = 2, z = 0 et z = 8−4x−y.
(a) Trouver le volume de T. (b) Trouver R R R
T x dx dy dz.
(c) Soit S le bord de T orient´e vers l’ext´erieur et soit Ω =−5x dy∧dz+ (2x−y)dz∧ dx+ 3xz dx∧dy. Calculer R R
SΩ.
