Espaces vectoriels normés

Chapitre 5

Espaces vectoriels normés

5.0.1 Normes

Exercice 5.0.1 ⋆⋆ Une norme intégrale exo:2005:Oct:Mon:18:27:40

SurE=R², montrer que l’application définie par N¡

(x,y)¢

= Z₁

0 |x+t y|dt est une norme.

Exercice 5.0.2 ⋆ Norme sup sur l’espace des suites bornées d’unK-espace vectoriel normé

Soit(E,k.k)unK-espace vectoriel normé et soit^B=©

(un)∈E^N|(un)est bornée^ª. Pour tout (un)∈B, on posek(un)k_∞=sup_n∈Nkunk. Montrer que(B,k.k_∞)est uneK-espace vectoriel normé.

Exercice 5.0.3 ^⋆ Normes sur^Mn,p(K) PourA=(ai,j)∈M_n,p(K). On pose

kAk1= Xn i=1

Xp

j=1

¯¯ai,j

¯¯,kAk2= vu ut

Xn i=1

Xp

j=1

¯¯ai,j

¯¯²etkAk_∞= max

1ÉiÉn,1ÉjÉp

¯¯ai,j

¯¯

Montrer que_k.k1,_k.k2et_k.k∞définissent des normes sur^Mn,p(K). Exercice 5.0.4 ⋆

Soit(E,k.k)unK-espace vectoriel normé et soitf ∈L_(E)un endomorphisme deE. Déterminer une condition nécessaire et suffisante surf pour que l’application

N¡ .¢

:

½ E −→ R x 7−→ °

°f(x)°

° définisse une norme surE.

Exercice 5.0.5 ⋆

Soit(E,k.k)unK-espace vectoriel normé et soitdla distance associée à cette norme. Montrer que :

1. _∀(x,y,z)∈E³, d(x,y)=d(x+z,y+z); 2. ∀(λ,x,y)∈K×E², d(λx,λy)= |λ|d(x,y).

Exercice 5.0.6 ⋆ Norme euclidienne

Si (E, (.|.)) est un espace préhilbertien et k.k la norme euclidienne, montrer que pour tout vecteurx∈E,kxk = sup

kykÉ1

¯¯¡ x|y¢¯

¯

Exercice 5.0.7 ⋆ Critère d’égalité de deux normes SoientN1, N2deux normes sur unR-espace vectorielE.

1. On noteB1={x∈E|N1(x)É1}etB2={x∈E|N2(x)É1}. Montrer

B1=B2⇒N1=N2

2. Même question avec les boules unitées ouvertes.

Exercice 5.0.8 ⋆ Boules ouvertes disjointes Montrer que sir+r^′Éd(a,a^′), alorsB(a,r)∩B(a^′,r^′)=∅.

Exercice 5.0.9 ⋆ Boule unitée pour différentes normes exo:2005:Oct:Mon:18:40:19

Dessiner les boules ouvertesB(0, 1)dansR²pour les trois normes_k.k1,_k.k2et_k.k∞. Exercice 5.0.10 ⋆

exo:2005:Oct:Thu:18:22:36

Sur l’espaceE=C([0, 1]), on considère les deux normes_k.k∞et_k.k1. 1. Que représente la boule ouverteB_∞=B(0E, 1)pour la norme_k.k∞? 2. Montrer que La boule ouverteB1=B(0E, 1)pour la norme_k.k1contientB_∞. 3. B1est-elle bornée dans(E,k.k∞)?

Exercice 5.0.11 ^⋆

Montrer que dans leK-espace vectoriel normé_(E,k.k):

∀(x,y)∈E², ∀r∈R^∗₊, x+B(y,r)=B(x+y,r).

Exercice 5.0.12 ⋆ Identité du parallélogramme

1. Soit(E,〈.|.〉)un espace préhilbertien et soit_k.ksa norme associée. Prouver l’identité du parallélogramme :

∀(x,y)∈E², °

°x+y°

°²+°

°x−y°

°²=2³ kxk²+°

°y°

°²

´ . 2. Montrer que l’application^N¡.¢

: (x,y)7→ |x| +2¯

¯y¯

¯est une norme surR². Cette norme dérive-t-elle d’un produit scalaire ?

Exercice 5.0.13 ⋆ exo:2005:Oct:Thu:18:47:19

Sur l’espace des polynômes à coefficients réels,E=R[X], on note_kPk = Z1

0 |P(t)|dt. 1. Vérifier que_k.kdéfinit une norme surE.

2. On considère la partieA={Q∈E|Q(1)=0}. Montrer queAest un hyperplan deE. 3. Calculerd(P, A)pourP=1R[X].

Exercice 5.0.14 ⋆⋆⋆

SoitEune algèbre de dimension finie. On veut montrer qu’on peut construire surEune norme d’algèbre.

Soit_k.kune norme surE. Pour toutx∈E, on pose N(x)= sup

a∈E,kak=1kaxk.

1. Justifier queNest bien définie.

2. Prouver queNest une norme d’algèbre.

Exercice 5.0.15 ⋆ SurE=K[X], on définit les normes :

∀P=X

n∈N

akX^k∈E, kPk∞=sup

k∈N|ak|, kPk1=

+∞X

k=0

|ak|, kPk2= Ã+∞X

k=0

|ak|²

!1/2

. 1. Montrer que :

∀P∈E, kPk∞É kPk2É kPk1.

2. Trouver une suite qui est bornée pour la normek.k_∞mais pas pour la normek.k1ou la normek.k2.

Exercice 5.0.16 ^⋆

SurE=C⁰([0, 1] ,K), on définit les normes :

∀f ∈E, kfk∞= sup

x∈[0,1]

¯¯f(x)¯

¯, kfk1= Z1

0

¯¯f(t)¯

¯dt, kfk2= µZ1

0

¯¯f¯

¯²dt

¶1/2

. 1. Montrer que :

∀f ∈E, kfk1É kfk2É kfk_∞.

2. Trouver une suite qui converge vers0E pour la norme_k.k1ou la norme_k.k2mais pas pour la norme_k.k∞.

Exercice 5.0.17 ⋆⋆⋆

SurE=C¹([0, 1] ,K), on pose :

∀f ∈E, °

°f°

°= s

¯¯f(0)¯

¯²+ Z1

0

¯¯f^′(t))¯

¯²dt et _kfk∞= sup

t∈[0,1]

¯¯f(t)¯

¯.

1. Montrer que l’on définit ainsi deux normes surE. 2. Montrer que :

∀f ∈E, kfk_∞Ép 2°

°f°

°. 3. On considère la suite(fn)n∈N^∗ définie par :

∀n∈N^∗, ∀x∈[0, 1] , fn(x)=sin(nπx)

n .

(a) Calculer^°°fn

°°.

(b) Montrer que(fn)n∈N^∗ converge vers la fonction nulle pour la norme_k.k∞

(c) Et que ce n’est pas le cas pour la norme_k.k.

5.0.2 Norme uniforme

Exercice 5.0.18 ⋆⋆⋆ Centrale MP Soitn∈N^∗etkkla norme uniforme sur[−1, 1].

1. Montrer qu’il existe un unique polynômeTn de degréntel que :

∀θ∈R, Tn(cosθ)=cos(nθ). 2. SoitPunitaire de degrén. Montrer

kPk Ê ¹

2ⁿ⁻¹.

On pourra s’intéresser aux valeurs dePetTnen lescos(kπ/n), pourk∈Z.

3. Cas d’égalité. Montrer

kPk = ¹

2ⁿ⁻¹ ⇐⇒ P= ¹

2ⁿ⁻¹Tn. Exercice 5.0.19 ⋆⋆⋆ ENTPE

Montrer que si(fn)n∈Nest une suite de fonctions polynomiales toutes de degrés inférieurs àN convergeant simplement vers une fonctionf surRalors f est une fonction polynomiale et la convergence est uniforme sur tout segment deR.

Exercice 5.0.20 ⋆⋆⋆ Théorème de Weierstrass Pourn∈Netk∈{0, . . . ,n}, on pose

Bn,k(x)= Ãn

k

!

x^k(1−x)^n−k. 1. Calculer

Xn k=0

Bn,k(x), Xn k=0

kBn,k(x) et ^Xn

k=0

k²Bn,k(x). 2. Soientα>0etx∈[0, 1]. On forme

A={k∈ ‚0,nƒ:|k/n−x| Êα} et B={k∈ ‚0,nƒ:|k/n−x| <α}. Montrer que

X

k∈A

Bn,k(x)É ¹

4nα². 3. Soitf: [0, 1]→Rcontinue. On pose

fn(x)= Xn k=0

f³_k

n

´ Bn,k(x).

Montrer que(fn)converge uniformément versf sur[0, 1].

5.0.3 Ouverts et fermés

Exercice 5.0.21 ⋆ Les boules ouvertes sont ouvertes, les boules fermées sont fermées...

exo_boules_ouvertes_ouvertes

Soit(E,k.k)un espace vectoriel normé.

1. Montrer qu’une boule ouverte deEest un ouvert deE. 2. Montrer qu’une boule fermée deEest un fermé deE. 3. Montrer qu’une sphère deEest un fermé deE.

Exercice 5.0.22 ⋆ Une partie d’un evn est ouverte si et seulement si c’est un voisinage de chacun de ses points

exo_ouvert_voisinage_chaque_point

SoitAune partie d’un evn(E,k.k). Montrer queAest ouverte si et seulement si c’est un voisi- nage de chacun de ses points.

Exercice 5.0.23 ^⋆ Réunion et intersections d’ouverts, de fermés exo_union_intersection_ouverts_fermes

On considère un evn(E,k.k).

1. (a) Montrer qu’une réunion quelconque d’ouverts est ouverte ; (b) Montrer qu’une intersection finie d’ouverts est ouverte ; (c) En considérant la famille^¡B(0,ⁿ_n⁺¹)¢

n∈N^∗montrer qu’une intersection infinie d’en- sembles ouverts n’est pas forcément ouverte ;

2. (a) Montrer qu’une intersection quelconque de fermés est fermée ; (b) Montrer qu’une union finie de fermée est fermée ;

(c) En considérant la famille^³B(0,_nⁿ₊₁)´

n∈N, montrer qu’une union infinie d’ensembles fermés n’est pas forcément fermée.

Exercice 5.0.24 ^⋆

SoitAune partie ouverte d’un evn(E,k.k)etB⊂E. 1. Montrer queA+Best ouverte.

2. Qu’en est-il siAest fermé ? SiAetBsont fermés ?

Exercice 5.0.25 ^⋆ Tout fermé est une intersection décroissante d’ouverts Montrer que tout fermé peut s’écrire comme une intersection décroissante d’ouverts.

Exercice 5.0.26 ^⋆

Chacune des parties suivantes est-elle fermée ? ouverte ?

1. A=N^∗; 2. B=T

n∈N^∗

¤−_n¹,¹_n£

; 3. C=©₁

n:n∈N^∗ª . Exercice 5.0.27 ⋆⋆

Montrer que l’ensemble^Ddes polynômes deR_n[X]dont le coefficient dominant est égal à1 est une partie fermée deR_n[X].

Exercice 5.0.28 ⋆

Chacune des parties suivantes de^Mn(R)est-elle fermée ? bornée ? 1. L’ensembleAdes matrices de trace2.

2. L’ensembleBdes matrices symétriques.

3. L’ensembleCdes matrices orthogonales (c’est-à-dire des matricesMtelles queM^TM= MM^T=In).

4. L’ensembleDdes matrices diagonalisables.

Exercice 5.0.29 ^⋆⋆⋆ Centrale MP

On munit leR-espace vectoriel des suites réelles bornées de la norme kuk_∞=sup

n∈N|un|. Déterminer si les sous-ensembles suivants sont fermés ou non : A={suites croissantes},B=©

suites convergeant vers 0^ª,C=©

suites convergentes^ª, D=©

suites admettant0pour valeur d^′adhérence^ªetE=©

suites périodiques^ª.

Exercice 5.0.30 ^⋆⋆⋆ Mines MP

SoitEl’ensemble des suites(an)nÊ0deCtelles que la série^P|an|converge. Si a=(an)nÊ0

appartient àE, on pose

kak =

+∞X

n=0

|an|. 1. Montrer que_kkest une norme surE.

2. Soit

F=

½ a∈E :

+∞X

n=0

an=1

¾ . L’ensembleFest-il ouvert ? fermé ? borné ?

Exercice 5.0.31 ⋆⋆

SoitEun espace préhilbertien muni de la norme associée au produit scalaire. Démontrer que l’orthogonal de toute partieAdeEest un fermé deE.

Exercice 5.0.32 ^⋆⋆

Soitn>0et0ÉpÉn deux entiers. Montrer que l’ensembleFp des éléments de^Mn(R)de rang inférieur ou égal àpest un fermé de^Mn(R).

5.0.4 Intérieur, adhérence

exo:2005:Nov:Mon:15:20:27

Montrer queA=E \(E \ A)^◦ (ou autrement dit queA= µ _◦

A^c

¶c

).

Exercice 5.0.34 ⋆ Propriétés de l’intérieur Soient deux partiesAetBd’un evn(E,k.k). Montrer que :

1. A^◦⊂A.

2. A^◦est une partie ouverte.

3. A^◦ est le plus grand ouvert contenu dansA.

4. A^◦= [

O⊂A;Oouvert^O. 5. Aouvert _⇐⇒A=A^◦

6.

◦◦

A=A^◦.

7. A⊂B =⇒ A^◦⊂B^◦. 8.

◦

z }| {

A∩B=A^◦∩B^◦. 9. A^◦∪B^◦ ⊂

z }| {◦

A∪B (l’autre inclusion est fausse en général).

10. A^◦c=A^c. Exercice 5.0.35 ⋆ Propriétés de l’adhérence Soient deux partiesAetBd’un evn(E,k.k)et un pointa∈E.

1. A⊂A.

2. Aest un fermé.

3. Aest le plus petit fermé contenantA.

4. A= \

A⊂F;Ffermé^F. 5. Aest fermé_⇐⇒A=A.

6. A=A.

7. A⊂B =⇒ A⊂B. 8. A∪B=A∪B.

9. A∩B ⊂ A∩B (l’autre inclusion est fausse en général).

10. A^c=A^◦

c. Exercice 5.0.36 ⋆ Adhérence d’unVect Soit(E,k.k)un evn.

1. Montrer que pour toute partieAdeE:

Vect(A)⊂Vect(A)⊂Vect(A).

2. En déduire que pour tout sevFdeE,Fest un sev deE. Exercice 5.0.37 ^⋆ Diamètre d’une partie bornée exo:2005:Nov:Mon:15:55:16

SiA⊂Eest une partie non-vide et bornée d’un evn, on définit sondiamètrepar : δ(A)=sup{kx−yk; (x,y)∈A²}

On considère deux parties bornées non-videsAetBdeE. 1. Vérifier queδ(A)est bien défini.

2. SiA⊂B, montrer queδ(A)Éδ(B).

3. SiA∩B6=∅, montrer queδ(A∪B)Éδ(A)+δ(B).

4. Montrer qu’il existe deux suites(an)∈A^Net(bn)∈A^Ntelles que kan−bnk −−−−−→_n

→+∞ δ(A) 5. Montrer queδ(A)=δ(A).

Exercice 5.0.38 ^⋆

Représenter graphiquement et déterminer si les ensembles suivants sont des ouverts.

1. A={(x,y)∈R²|0< |x−1| <1}; 2. B={(x,y)∈R²|0<xÉ1}; 3. C={(x,y)∈R²| |x| <1,|y| É1};

4. D={(x,y)∈R²|x∈Q,y∈Q}; 5. E={(x,y)∈R²|x6∈Q,y6∈Q}; 6. F={(x,y)∈R²|x²+y²<4}. Exercice 5.0.39 ^⋆

On définit un sous-ensembleAdeR²en posant

A={(x,y)∈R²|x²+y²É2} \ {(x,y)∈R²|(x−1)²+y²<1}.

Déterminer l’intérieur, l’adhérence et la frontière deA. L’ensembleAest-il connexe ?

Exercice 5.0.40 ^⋆ Montrer queA=©

(x,y)∈R²|x²+y²<x³+y³ª

est un ouvert deR².

Exercice 5.0.41 ⋆ Le graphe sur R d’une fonction continue est fermé exo:2005:Nov:Mon:15:37:31

Soitf :R7→Rune fonction continue. Montrer que l’ensembleG={¡ x,f(x)¢

; x∈R}est fermé dansR²(muni d’une norme usuelle).

Exercice 5.0.42 ⋆ exo:2005:Oct:Sat:16:15:41

On considère l’evnE=C([0, 1],R)des fonctions continues sur le segment[0, 1]et les deux normes

kfk1= Z1

0 |f(t)|dt kfk_∞= sup

t∈[0,1]|f(t)|

1. On noteA={f ∈E| Z1

0

f(t) dt=0}l’ensemble des fonctions de moyenne nulle. La partieAest-elle fermée pourk.k1? Pourk.k_∞?

2. La partieB={f ∈E|f(0)=0}est-elle fermée dans(E,k.k∞)? Dans(E,k.k1)? 3. On noteC={f ∈E| ∀n∈N,f(2⁻ⁿ)Ê0}. la partieCest-elle fermée pour_k.k∞?

Exercice 5.0.43 ⋆ Soit_(E,k.kun evn.

1. SoitFun sev deEd’intérieur non vide. Montrer queF=E.

2. On prendE=C⁰([0, 1] ,R)muni de la norme infinie_k.k_∞. On prend pourF=C¹([0, 1] ,R). Montrer queF^◦=∅.

3. Reprendre la question précédente avecFl’ensemble des application polynomiales sur [0, 1]à valeurs réelles, puis avecFl’ensemble des applications continues et monotones sur[0, 1]à valeurs réelles.

5.0.5 Limite et continuité en un point

exo:2005:Feb:Sat:16:27:02

Existence de limite en(0, 0)des fonctions 1. f(x,y)= x²y

x²+y². 2. f(x,y)= x y⁶

x⁶+y⁸. 3. f¡

x,y¢

=x³ y

4. f¡ x,y¢

= ch¡

x y¢

−cos¡ x y¢ x²y² 5. f¡

x,y¢

= x y x−y 6. f¡

x,y¢

=x ysin¹_x

7. f ¡ x,y¢

= x+2y x²−y² 8. f ¡

x,y¢

= x y x²+y².

Exercice 5.0.45 ⋆

Déterminer si elle existe la limite en(0, 0)des fonctionsf :R²→Rdonnées par :

1. f¡ x,y¢

= x²y x²+y² 2. f¡

x,y¢

=1−cos¡ x y¢ x y² 3. f¡

x,y¢

=shxshy x+y

4. f¡ x,y¢

=x³+y³ x y 5. f¡

x,y¢

= x y shx+shy 6. f¡

x,y¢

=sinx−y x−siny. Exercice 5.0.46 ⋆⋆

Soientf :R→Rune fonction de classe^C1et F :

( R²\ (0, 0) −→ R

¡x,y¢

7−→ ^f(^x2+y²)−f(0) x²+y²

Déterminer lim (^x,y)→(0,0)F¡

x,y¢ .

5.0.6 Continuité sur une partie

Soitf :R²→Rdéfinie par : f¡

x,y¢

= (₁

2x²+y²−1 six²+y²>1

−¹₂x² sinon Montrer que f est continue surR².

Exercice 5.0.48 ⋆ Montrer que l’application

f :











R² −→ R

(x,y) 7−→







(x²+y²) sin 1

x²+y² si (x,y)6=0_R2

0 si (x,y)=0_R²

est continue surR².

Exercice 5.0.49 ^⋆ Montrer que l’application

f : (x,y)7→





 ln¡

1+x y¢

x si x6=0

y si x=0

est continue sur son ensemble de définition.

Exercice 5.0.50 ^⋆ Montrer que l’application

f : (x,y)7→

Ãq

x²+y², 2 arctan y x+p

x²+y²

!

est continue surR²\ (R₋×{0}). Exercice 5.0.51 ⋆

Soit_(E,k.k)unK-espace vectoriel normé. Pour toutx∈E, on pose g(x)= x

1+ kxk.

1. Montrer quegdéfinit une bijection deEsur la boule ouverteB(0, 1)deE. 2. Prouver quegetg⁻¹sont continues.

Exercice 5.0.52 ⋆ Oral ENSAM PT Soientf ∈C⁰(R,R)et

g:

( R^∗×R −→ R (x,y) 7−→ 1 x

Rx y

x f(t)dt . Montrer quegest prolongeable par continuité surR².

Exercice 5.0.53 ⋆ exo:2005:Nov:Mon:17:19:59

Déterminer les fonctionsf :R7→Rcontinues vérifiant :

1. ∀x∈R, f(x²)=f(x). 2. ∀x∈R, f(2x+1)=f(x). Exercice 5.0.54 ^⋆ CCP 2007

exo:2004:Nov:Mon:14:09:07

Trouver les fonctionsf :R7→Rcontinuesvérifiant

∀(x,y)∈R², f(x+y)=f(x)+f(y) Exercice 5.0.55 ⋆

exo:2005:Nov:Mon:17:44:57

On noteE={f ∈C([0, 1],R)| ∀(x,y)∈[0, 1]², f¡x+y 2

¢=f(x)+f(y)

2 }

1. Vérifier queEest un sev de^C([0, 1],R)qui contient les fonctions affines.

2. Soit f ∈E. On définit la fonction affineg qui coïncide avec f en 0et 1et on pose h=f −g. Montrer queh=0.

3. Conclure.

Exercice 5.0.56 ⋆ exo:2005:Nov:Mon:17:13:59

Soitf :R7→Rune fonction continue.

1. Montrer queA={(x,y)∈R²|y>f(x)}est un ouvert deR². 2. Montrer queB={(x,y)∈R²|f(x)=f(y)}est un fermé deR².

Exercice 5.0.57 ^⋆ exo:2004:Nov:Mon:14:27:04

Soitf : E7→Fune application continue. On définit son graphe : G={(x,y)∈E×F|y=f(x)}

Montrer queGest un fermé deE×F. Exercice 5.0.58 ⋆ exo:2005:Nov:Thu:16:20:33

Dans l’evn E=C([0, 1],R)muni de la norme k.k_∞, montrer que les parties suivantes sont fermées.

1. A={f ∈E| Z1

0

f(t) dt=0}

2. B={f ∈E| ∀n∈N,f(2⁻ⁿ)Ê0}

Exercice 5.0.59 ⋆ Caractérisation topologique de la continuité exo:2005:Nov:Mon:17:37:13

Soitf : E7→E^′

1. Si l’image réciproque de tout ouvert deE^′est ouvert dansE, montrer quef est continue surE.

2. SoitA⊂E^′, vérifier queE \f⁻¹(A)=f⁻¹(E^′\ A).

3. Montrer que si l’image réciproque de tout fermé deE^′parf est un fermé deE, alorsf est continue surE.

Exercice 5.0.60 ^⋆ GLn(K)est un ouvert dense deM_n(K)

On considère l’espace des matricesE=M_n(K), (K=R ou C) muni de la norme_kAk∞=

1Émaxi,jÉn|ai j|.

1. Montrer queGLn(K)est un ouvert deE.

2. SoitA∈M_n(K). Montrer qu’il exister>0tel que :

∀λ∈K, 0< |λ| <r =⇒ A+λIn∈GLn(K).

3. En déduire queGLn(K)est dense dansE. Exercice 5.0.61 ^⋆

SoientEetFdeux evn. SoientE1,E2deux fermés deEtels queE1∪E2=Eet soitf : E→F une application telle quef_|E1 etf_|E2 sont continues. Montrer quef est continue.

Exercice 5.0.62 ^⋆

Soit(E,〈.|.〉)un espace euclidien. Montrer que l’ensembleA=©

(x,y)∈E²|(x,y)est libre^ªest un ouvert deE².

Exercice 5.0.63 ⋆

Soit(E,k.k)un evn et soitu∈L_(E)un endomorphisme deE.

1. Montrer queu est continue si et seulement siuest bornée sur la sphère unitéS(0, 1)= {x∈E| kxk =1}.

2. En déduire queuest continue si et seulement si la partie A={x∈E| ku(x)k =1}

est fermée.

Exercice 5.0.64 ^⋆⋆⋆ X 1994

Soient a,b∈R, a<b et f,g: [a,b]→[a,b]deux fonctions continues sur[a,b]telles que f ◦g=g◦f. On notefⁿ etgⁿ leursn-ième itérées.

1. Montrer que sif >galorsfⁿ>gⁿet même qu’il existeK>0tel que∀n∈N^∗, fⁿ(x)Ê nK+gⁿ(x).

2. Que dire de l’équationf(x)=g(x)?

5.0.7 Applications lipschitziennes

Soitf ∈C¹(R). Montrer quef est lipschitzienne surRsi et seulement si f^′est bornée surR. Exercice 5.0.66 ^⋆

Soient f,g deux applications définies surRet à valeurs dansR. Montrer que si f et g sont bornées et lipschitziennes surRalorsf g est lipschitzienne surR.

Exercice 5.0.67 ^⋆ Point fixe et application contractante

Soient(E,k.k)unK-espace vectoriel normé etf : E→Eune applicationk-lipschitzienne avec k∈R^∗₊. Soitl∈Etel que f(l)=l et soit(un)une suite de vecteurs deEdéfinie paru0∈Eet

∀n∈N, un+1=f(un).

1. Montrer que∀n∈N, kun−lk Ékⁿku0−lk. 2. Que dire sif est contractante, c’est-à-dire sik<1?

Exercice 5.0.68 ⋆⋆⋆ X PC 2012

On munitR³de sa norme euclidienne canonique et on pose K=[a,b]³. Soit f: K→Ktelle que :

∀(x,y)∈K², (x6=y) =⇒ kf(x)−f(y)k < kx−yk. Montrer quef possède un unique point fixe.

Exercice 5.0.69 ^⋆ exo:2005:Oct:Thu:18:01:40

1. Sif ∈C¹(I,R)est une fonction telle quef^′est bornée surI, montrer quef est lipschit- zienne surI.

2. La fonctionf :

½ R −→ R

x 7−→ x² est-elle lipschitzienne ? 3. La fonctionf :

½ [0,+∞[ −→ R

x 7−→ p

x est-elle lipschitzienne ? Exercice 5.0.70 ⋆

exo:2004:Sep:Mon:09:23:04

Soient deux evnEetFet une application lipschitzienne f : E7→F. Montrer qu’il existe deux constantesa,b>0telles que_∀x∈E,

kf(x)k Éakxk +b

Exercice 5.0.71 ^⋆ Soienta,b∈R,a<bet soit

E=©

f : [a,b]→R|f est lipschitzienne sur [a,b] et f(a)=0ª . On pose pour toutf ∈E,

°°f°

°=inf©

k∈R₊| ∀x,y∈[a,b] , ¯

¯f(y)−f(x)¯

¯Ék¯

¯y−x¯

¯ª . Montrer que_k.kdéfinie une norme surE.

Exercice 5.0.72 ⋆ Oral CCP MP EetFdésignent deux espaces vectoriels normés.

1. Soientf une application deEdansFetaun point deE. On considère les propositions suivantes :

P1. f est continue ena.

P2. Pour toute suite(xn)d’éléments deEtelle que lim

n→+∞xn=a, alors lim

n→+∞f(xn)= f(a).

Prouver que les propositions P1 et P2 sont équivalentes.

2. Soit A une partie dense d’un sous-espace vectoriel norméE, et soient f et g deux applications continues deEdansF,Fdésignant un espace vectoriel normé.

Démontrer que si, pour toutx∈A,f(x)=g(x), alorsf =g. Exercice 5.0.73 ⋆⋆ Distance d’un point à une partie exo_autre_carac_points_adherents

SoitAune partie non vide d’un espace vectoriel normé(E,k.k). Pour toutx∈E, on pose : d(x, A)=inf

a∈Ad(x,a).

1. Montrer que l’applicationx7→d(x, A)est bien définie et lipschitzienne surE. 2. Montrer qued(x, A)=0si et seulement six∈A.

Exercice 5.0.74 ⋆⋆⋆ Centrale PC 2010

SoitEl’ensemble des fonctionsf: [0, 1]→Rcontinues. On munitEde la norme donnée par

kfk2= µZ1

0 f(t)²dt

¶¹₂ .

On définit la fonctionϕsurEpar

∀f ∈E, ϕ(f)= Z1

0 |f(t)|dt.

Montrer que l’applicationϕest une application continue de(E,k.k2)dansR.