Université Claude Bernard Lyon 1 Mathématiques pour l’enseignement Licence de mathématiques3eannée UE Approfondissement en analyse
Cours#3 – le 8 février 2021 –
Première partie. Espaces normés Chapitre#2. Topologie
Le cadre est celui d’un espace normé(E,k k).
14. Continuité des fonctions lipschitziennes.
15. Caractérisation des applications linéaires continues.
16. Exercice de cours. Soitf :E →Gune application linéaire et continue.
(a) Montrer que, parmi toutes les constantesC ∈[0,∞[telles que
kf(x)kG ≤ kxkE, ∀x∈E,
il en existe une plus petite. Elle est notée|||f|||(la « norme triple » ou
« norme subordonnée » def).
(b) Montrer que
|||f|||= sup{kf(x)kG; x∈E, kxkE = 1}
= sup
kf(x)kG kxkE
; x∈E, x6= 0E
.
17. Compact.
18. Théorème des bornes atteintes.
19. Normes équivalentes.
20. Deux normes équivalentes donnent les mêmes objets fondamentaux (suites convergentes, ouverts, fermés, compacts, fonctions continues).
21. Petit exercice. Montrer que l’équivalence des normes est une relation d’équi- valence.
Chapitre#3. Topologie dansKn
1. Caractérisation des suites convergentes dans(Kn,k k1).
2. S(0,1)est compacte dans(Kn,k k1).
3. Équivalence de toutes les normes dansKn.
4. Équivalence des normes dans un espace normé de dimension finie.
5. Continuité des applications linéaires dans un espace normé de dimension finie.
6. Exercice de cours. Montrer que, dans un espace normé de dimension fi- nie, les applications affines sont continues. Rappel.g : E → Gest affine s’il existef :E →Glinéaire eta∈Gtels queg(x) = f(x) +a,∀x∈E.
7. Caractérisation des suites convergentes dans un espace normé de dimen- sion finie.
8. Continuité des fonctions polynômiales.
9. Caractérisation des compacts dans un espace normé de dimension finie.
