1- Espacesm´etriquesetespacesvectorielsnorm´es Feuilled’exercicesn 1

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Master Maths Fonda. et Appliquées Orsay 2008–09 1ère année - 2 ème semestre - Analyse

Feuille d’exercices n

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Espaces m´etriques et espaces vectoriels norm´es

Les exercices 1 et 2 ci-dessous portent sur des espaces vectoriels normés importants. Les exercices 3, 4, 5 et 6 présentent des exemples d’espaces métriques qui ne sont pas des espaces vectoriels normés. Enfin les exercices 7, 8 et 9 sont là pour montrer que l’intuition que l’on a des espaces métriques (qui nous vient des espaces vectoriels normés de dimension finie) peut s’avérer complètement fausse dans certains cas.

1 -Normes sur L(Rⁿ)

On fixe un entier strictement positifn, et on noteM_n(R) l’algèbre des matricesn×nà coefficients réels. Le but de l’exercice est détudier certaines normes surM_n(R). Bien sûr, en temps qu’espace vectoriel, M_n(R) s’identifie à Rⁿ², et toute norme sur Rⁿ² définit donc une norme sur M_n(R).

Il serait cependant dommage d’oublier que M_n(R) n’est pas un espace seulement vectoriel de dimension n² : c’est une algèbre, et ses éléments peuvent être vus comme des endomorphismes linéaires de Rⁿ. Les normes étudiées ci-dessous tiennent compte de cette spécificité.

1. Soit k.kune norme sur Rⁿ. Pour toute matrice A∈ M_n(R), on note |||A|||le r´eel d´efini par

|||A|||:= sup

x6=0

kA.xk kxk .

Montrer que |||.|||d´efinit une norme sur M_n(R), et que cette norme estsous-multiplicative : pour tous A, B∈ M(Rⁿ), on a

|||AB||| ≤ |||A|||.|||B|||.

On dit que |||.||| est la norme matricielle associ´ee `a la norme k.k. Pour p ∈ [1,+∞], on notera

|||.|||_p la norme matricielle associ´ee `a la norme k.k_p surRⁿ.

2. Pour toute matriceA∈ M(R), exprimer|||A|||₁et|||A|||_∞en fonctions des coefficients (aij)1≤i,j≤n

de A. Relier |||A|||₁ et|||^tA|||_∞.

3. Pour toute matrice A ∈ M_n(R), exprimer |||A|||₂ en fonction du rayon spectral de la matrice A^tA(on rappelle que le rayon spectral d’une matrice est le module de sa plus grande valeur propre).

4. En comparant les normesk.k₁,k.k₂ etk.k_∞surRⁿ, montrer que, pour toute matriceA∈ M_nR), on a les in´egalit´es :

√1

n|||A|||_∞≤ |||A|||₂ ≤√

n|||A|||_∞

√1

n|||A|||₁ ≤ |||A|||₂ ≤√

n|||A|||₁

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5. En utilisant la question 3, montrer que, pour toute matrice A∈ M_n(R), on a l’in´egalit´e :

|||A|||₂ ≤p

|||A|||∞|||A|||₁.

6. Montrer que l’expression N(A) :=p

Tr(A^tA) définit une norme sous-multiplicative sur M_n(R), mais que cette norme n’est pas une norme matricielle associée à une norme surRⁿ. C’est lanorme de Schur ; un des avantages de cette norme est qu’elle dérive d’un produit scalaire surM_n(R) (le produit scalairehA, Bi:= Tr(A^tB)).

2 -Espaces `^p(N) et dualit´e topologique

Siu= (u_n)n∈Nest une suite de nombres r´eels index´es par les entiers naturels, on note habituellement

kuk_p := X

n∈N

|u_n|^p

!¹_p

pour tout r´eelp∈[1,+∞[, et

kuk_∞:= sup

n∈N

u_n.

Pour tout p∈[1,+∞], on note alors

`^p(N) :={u∈R^N telle que kuk_p <∞}.

Deux nombresp, q∈[1,+∞] sont dits conjugu´es s’ils v´erifient ¹_p+¹_q = 1 (avec la convention_∞¹ = 0).

1. En utilisant la concavit´e de la fonction logarithme, montrer que, sip, q∈]1,+∞[ sont conjugu´es, alors, pour tousx, y≥0, on a

xy ≤ x^p p +y^q

q .

2. En déduire l’inégalité de Hölder : si p, q ∈ [1,+∞] sont deux nombres conjugués, alors, pour toutes suites u, v∈R^N, on a

X

n∈N

u_nv_n≤ kuk_pkvk_q.

3. En déduire l’inégalité de Minkowski : pour toutp∈[1,+∞[, pour toutu, v∈R^N, on a ku+vk_p ≤ kuk_p+kvk_p.

Indication. On pourra ´ecrire |u_n+vn|^p ≤ |u_n||u_n+vn|^p−1+|v_n||u_n+vn|^p−1.

4. En d´eduire que`^p(N) est un espace vectoriel pour toutp∈[1,+∞], et quek.k_pd´efinit une norme cet espace vectoriel.

5. Montrer que, si p≤p⁰, alorskuk_q≤ kuk_p pour toutu∈R^N, et donc que`^p ⊂`^p⁰.

6. On note `c(N) le sous-espace vectoriel de R^N constitu´e des suites qui n’ont qu’un nombre fini de termes non-nuls. Bien sˆur `_c(N) est un sous-espace vectoriel de `^p(N) pour tout p ∈[1,+∞] ; pour quelles valeurs de p, ce sous-espace est-il dense ? (on sous-entend ici que `^p(N) est muni de la distance induite par la norme k.l_p)

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7. On rappelle que ledual topologique d’un espace vectoriel normé (E, l.k) est l’ensemble des forme linéaires continues sur E ; il est muni de la norme|||.||| définie par

|||f|||:= sup

x6=0

kf(x)k kxk .

Soient p∈[1,+∞[ etq ∈]1,+∞] deux nombres conjugués. Pour toutu∈R^N, on note Φ_u la forme linéaire sur R^N définie par

Φ_u(v) = (u₀v₀, u₁v₁, u₂v₂, . . .).

En utilisant l’inégalité de Hölder et la question précédente, montrer que u 7→ Φu définit une isométrie bijective de`^q(N) dans le dual topologique de `^p(N).

Remarque. Pour p ∈ [1,+∞[, le dual topologique de `^p(N) peut donc être identifié à `^q(N), où q ∈]1,+∞] est le conjugué dep. On remarquera que, pour toutp∈]1,+∞[, l’espace`^p(N) s’identifie ainsi à son bi-dual (le dual de son dual) ; on dit qu’il estréflexif.

8. Soit `₀(N) le sous-espace vectoriel deR^N constitué des suites qui convergent vers 0. En utilisant la démarche que dans les deux questions précédentes, montrer que le dual topologique de `0(N) s’identifie à`¹(N).

Remarque. Le dual topologique de `^∞(N) est strictement plus petit que le dual topologique de c₀(N) ; les espaces`¹(N) et`^∞(N) ne sont donc pas réflexifs. En fait, on peut montrer que le dual de `^∞(N) s’identifie à l’espace des mesures finiment additive sur l’algèbre des parties deN.

3 -Distance SNCF

Soit k.kla norme euclidienne surR². Pour toute paire de points x, y∈R², on note d(x, y) :=

kx−yk six,y et 0 sont align´es kxk+kyk sinon

1. Montrer quedd´efini une distance surR² ; on l’appelle parfois ladistance SNCF pour des raisons que je vous laisse deviner.

2. Dessiner quelques boules de (R², d).

3. Identifier la distance induite par dsur une droite vectorielle ? sur le cercle unit´e ?

4. Quelles transformations sont continues parmi les homoth´eties de centre 0, les rotations de centre 0, les translations ?

Remarque. En elle-même, la “distance SNCF” peut sembler un exemple anecdotique. L’espace R² muni de cette distance est cependant l’un des exemples les simples d’une classe importante d’objets : les arbres réels. On remarquera en effet queR² muni de la distance SNCF ressemble à un ”arbre”

avec une infinité non-dénombrable de branches (les demi-droites issues de 0) qui partent toutes du point 0 ; pour aller d’un point situé sur une branche à un point situé sur une autre branche, on doit repasser par le sommet (ou la “racine”) de l’arbre.

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4 -Distance de Hausdorff

Soit nun entier strictement positif fixé. On note dla distance euclidienne usuelle sur Rⁿ. On note K l’ensemble des partie compactes (non-vides) de Rⁿ. Étant donné un compact K ∈ K, on note φK :Rⁿ→[0,+∞[ la fonction “distance à K” définie par

φK(y) = inf

x∈Kd(x, y).

Etant donn´´ es deux ´el´ementsK₁, K₂ de K, on note alors

δ(K₁, K₂) :=kφ_K₁ −φ_K₂k_∞

1. Montrer que δ d´efini une distance sur K. C’est ladistance de Hausdorff.

Remarque.Il est bien pratique de disposer d’une distance sur les sous-ensembles (compacts) deRⁿ. Ceci permet en particulier de d´efinir la notion de “limite de parties de Rⁿ”.

2. Pour tout compact K ∈ Ket tout r´eel >0, on note V(K) := [

x∈K

B(x, )

où B(x, ) désigne la boule ouverte de centre x et de rayon dansRⁿ. Montrer que, étant donnés deux compacts K1, K2 ∈ K, on ad(K1, K2)≤si et seulement siK1 ⊂V(K2) et K2 ⊂V(K1).

3. Soit K₀ le sous-ensemble de K constitu´e des parties finies de Rⁿ. Montrer que K₀ est dense dans K, lorsqu’on munit K de la m´etrique de Hausdorff.

5 -Distance sur la sph`ere

On notek.kla norme euclidienne usuelle surR³, etS² la sphère de rayon 1 centrée à l’origine pour cette norme. Si petq sont deux points deS², on noteC(p, q) l’ensemble des cheminsγ : [0,1]→S² qui sontC¹par morceaux, et tels queγ(0) =petγ(0) =q. On noteL(γ) =R1

0 kc⁰(s)kdsla longueur d’un tel chemin, et on pose

d(p, q) := inf{L(γ)|γ ∈ C(p, q)}.

1. Montrer que dd´efinit une distance sur S².

2. On rappelle qu’un grand cercle de S² est un cercle obtenu comme intersection de S² avec un plan passant par l’origine de R³. Si p etq sont deux points deS² qui ne sont pas antipodaux, on note γ_p,q le plus court des deux arcs de grand cercles qui joignent p `a q. Si p et q sont des points antipodaux, on noteγp,q l’un quelconque des demi-grands cercles joignantsp `a q.

Montrer que, quels que soientp etq sur S², la distance d(p, q) est égale à la longueur de l’arcγp,q. Indication. En faisant agir une isométrie, on pourra commencer par se ramener au cas où p et q sont dans un même plan vertical, puis travailler en coordonnées sphériques.

Remarque. Le plus court chemin sur une sphère consiste donc à “prendre le grand cercle” ; c’est pour cela que, quand on va par exemple de Paris à New York, l’avion “monte vers le pôle nord” au lieu de suivre le parallèle. On dit que les grands cercles sont les géodésiques de la sphèreS².

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6 -Distance ultram´etrique sur l’espace des suites

1. Si u= (u_n)n∈N etv= (v_n)n∈N sont deux suites r´eelles, on pose

d(u, v) =

0 siu=v e⁻^min{n|uⁿ^6=vⁿ^} sinon

Montrer que ddéfinit une distance sur R^N, et que cette distance satisfait l’inégalité suivante, qui renforce l’inégalité triangulaire, et qu’on appelle inégalité ultramétrique :

pour tousu, v, w ∈R^N, on ad(u, v)≤max(d(u, w), d(w, v)).

2. Dans un espace munit d’une distance satisfaisant l’inégalité ultramétrique, montrer que : a. les boules ouvertes sont fermées, et les boules fermées ouvertes,

b. n’importe quel point d’une boule est le centre de cette boule, c. tout triangle est isoc`ele.

Remarque. Les distances ultramétriques ne sont en aucun cas des exemples pathologiques anecdo- tiques. Il existent en effet des distances ultramétrqiues surZet surQqui jouent un rôle absolument fondamental en arithmétique : ce sont lesdistances p-adiques.

7 -Adh´erence et int´erieur des boules

Le but de l’exercice ci-dessous, outre de vous faire mainpuler les notions de chapitres, est de montrer que les espaces m´etriques sont parfois bien moins jolis que les espaces

1. Montrer que, dans un espace vectoriel normé, l’adhérence d’une boule ouverte est toujours la boules fermée correspondante, et l’intérieur d’une boule fermée est toujours la boule ouverte correspondante.

2. Donner un exemple d’espace métrique où l’adhérence d’une boule ouverte n’est pas toujours la boule fermée correspondante.

3. Donner un exemple d’espace métrique où l’intérieur d’une boule fermée n’est pas toujours la boule ouverte correspondante.

8 -Parties `a la fois ouvertes et ferm´ees

1. Montrer que, si A est une partie d’un espace métrique qui est à la fois ouverte et fermée, alors la frontière deA est vide.

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2. Si E unR-espace vectoriel normé, montrer que les seules parties deE qui sont à la fois ouvertes et fermées sont l’ensemble vide etE lui-même.

3. Donner un exemple de partie de Q, différente de l’ensemble vide et deQtout entier, qui est à la fois ouverte et fermée pour la distance usuelle.

9 -Distance `a une partie ferm´ee

Soit (E, d) un espace métrique. Si A est une partie de E et u un point de E, on appelle distance de u à A la quantité

d(u, A) = inf

v∈Ad(x, y).

On dit qu’un point x0 ∈A r´ealise la distance deu `a Asi d(u, v0) =d(u, A).

1. Supposons que E est un espace vectoriel de dimension finie, que la distance d est induite par une norme. Montrer que, pour tout point u∈E et toute partie fermée A de E, il existe un point v0 ∈A qui réalise la distance de uà A.

2. Considérons maintenant le cas où E est l’espace vectoriel des fonctions continues sur [0,1] à valeurs réelles,dest la distance surE induite par la norme uniforme, etu est la fonction nulle sur [0,1], et A est l’ensemble des fonction v∈E telle quev(0) = 0 etR1

0 v(t)dt≥1. Vérifier que A est une partie fermée de E, mais que la distance deu à An’est réalisée par aucun point de v₀∈A.

Remarque. On rappelle par contre que, dans un espace de Hilbert, la distance d’un point à un convexe fermé est toujours réalisée par un unique point de convexe.