Feuilled ’ exercicesN 28

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MPSI 1 2002-2003

CPGE Agadir

Feuille d’exercices N

28

Lundi le:09-Juin-2003

Propriétés analytiques,géometriques et métriques des courbes

1. On considère les deux ellipses :ξ : ^x2

4a² + _4b^y22 = 1 etξ^′ : ^x2

a² + _b^y22 = 1

a. A quelle condition une droite d ’ équation :ux+vy+w = 0 est tangente aξ^′

b. Pour tout pointMdeξon mène les deux tangentes aξ^′qui recoupentξenPetQmontrer que la droitePQest tangente aξ^′( utiliser les coordonnées polaires )

2. soit P la parabole d’équation :y² = 2pxp > 0

a. Quel est l’ensembleξdes points du plan par lesquels passent trois normales a la parabole b. Quel est l’ensembleξ^′⊂ξdes points tel que deux parmi ces trois droites sont

perpendiculaires

3. SoitDla droite deIR³passanat parOet dirgiée par i + k,Sla surface obtenue par rotation deD autour deOz

a. Donner une équation cartesienne deS

b. Déterminer un vecteur unitaire n normal aSau pointMde coordonnéesx,y,z,en quel point ce vecteur n’est-il pas défini?

c. Soitγla courbe de représentation paramétrique :

xt = ftcost yt = ftsint

zt = ft

oùf : IR → IRde

classe℘².MontrerSque est tracée surγ

d. Déterminer une équation du plan osculateur aγai point de paramétretsous la forme :

x−ftcostAt+y−ftsintBt+z−ftCt = 0.ExpliciterA,B,Cen fonction t,f,f′,f”

e. On suppose que : 2ff”−4f^′2−f² = 0

i. Montrer alors ce plan contient la normale aS ii. Intégrer cette équation en utilisantg = ¹_f

iii. En déduire une équation polaire de la projectionγde surxOy

4. Soitγla courbe de représentation paramétrique : xt = a1+cost

yt = asint a > 0 a. Reconnaitre la nature géometrique deγ

b. SoitΓl’ensemble des projections orthogonales de O sur la tangentes aγ.Donner une repésentation paramétrique deΓ.

c. En déduire une équation polaire deΓ

d. SoitMun point deΓd’angle polaireθ,τ le vecteur unitaire tangent enMàΓorienté dans le sens desθcroissants,exprimer l’angle OM,τ ,en déduire les poins deΓoù la tangente est verticale ou horizontale

e. SoitD_αla droite passant parOd’angle polaireα ∈ −^π₂, ^π₂ i. Montrer queDαrecoupeΓen deux pointsMα,M_α^′ ii. Calculer la longueur du segmentMα,M_α^′

iii. Déterminer le lieuHdes milieux deM_α,M_α^′quandα ∈ −^π₂, ^π₂ iv. En déduire une construction géomterique des pointsM_α,M_α^′

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5. Soitγarc géométrique plan tel que :∀M ∈ γon a: l’angleMOCest droit oùCest le centre de courbure de (γ) au pointM

a. Siαdésigne l’ange entre l’axeOxet la tangente àγau pointMmontrer que : x²+y²− x_d^dy_α −y_d^dx_α .

b. Siθdésigne l’ange entre la droiteOMet l’axeOx,βcelui entre la droiteOMet la

tangente a (γ) au pointM, montrer que ^d_da^θ.et quetgβ = _r^r′ ( on pourra utiliser les coordonnes polaires avecr = OM).

c. En déduire queγest une spirale.

6. Soitγarc géométrique plan définie par l’équation polaire :rθ = sin^θnⁿoù n ∈ IN^∗, 0 < θ < nπ

a. calculer ||^dOM_dθ ||.

b. En déduire que siβest l’angle entre la droiteOMet la tangente aγau pointMalors : β = ^θn.

c. En déduire l’angleαentre l’axeOxet la tangente aγau pointM, puisRle rayon de courbure.

d. SoitM′la projection orthogonale deC,centre de courbure deγau pointM, sur la droite

OM, montrer queM′est l’image deMpar l’homothétie de centreOet de rapport _n¹₊₁ 7. Construire les courbes d’équation polaire :

a. ρθ = _cos^sin_θ−^θ₁ b. ρθ = 1+tan ^θ₂ c. ρθ = θsinθ

d. ρθ = 4 cosθcos2θ

e. ρθ = 2 cosθ−cos2θ

f. ρθ = 1−tan2θ

8. Soitγla courbe de représentation paramétrique : xt = cost

yt = sint t ∈ 0, ^π₂ , Quels sont les points pour lesquels le centre de courbure coincide vaec l’origine

9. Déterminer les courbes pour lesquellesMOC = ^π₂,Ccentre de courbure au pointMde la courbe 10. Soitγcourbe plane parametrée de classe ℘³,γ1l’ensemble des centre de courbure deγ,si

M ∈ γ,Ccentre de courbure deγau pointM,C1centre de courbure deγ1au pointC,Ile milieu deM,C,γ²l’ensemble de ces milieux ; montrer que la tangente aγ²au pointIest orthogonal aMC1

11. Soitγcourbe plane parametrée de classe ℘¹, a tout pointMdeγon associé la projection orthogonale H de O sur la tangente en M aγ, soitγ1 l’ensemble de ces projections , montrer que la normale aγ¹enHcontient le milieu deO,M

12. SoitMun point d’une ellipse de foyersFetF′, montrer que la bissectrice deMF,MF′est normale a l’ellipse au pointM

13. Soit deux cercles de centresΩa, 0etΩ^′−a, 0et de rayonsRetR′respectivement.Montrer que les droites D coupant ces deux cercles suivant des cordes de meme longueur sont tangente à une

parabole fixe dont on donnera l’équation

14. Soitγ,γ^′deux cercles de centresΩ1, 0etΩ^′−R, 0et de rayons 1 etRrespectivement a. Donner l’équation de la tangente àγau pointM1+cosθ, sinθ

b. Ecrire uneCNSsurRetθpour que cette droite reste tangente aγ^′aussi, donner les coordonnés du point de contactP ∈ γ^′

c. Déterminer le lieu géometrique des milieux deM,P