UNIVERSIT´E de SAVOIE Ann´ee 04-05 M405
Contrˆole continu 2 :
Exercice I :Question de cours :
Expliquez ce que d´esigne une ´equation diff´erentielle avec condition initiale (aussi appel´ee condi- tion de Cauchy) par rapport `a une ´equation diff´erentielle avec conditions aux limites.
On illustrera chacune de ces configurations par des exemples tir´es du cours (il n’est pas de- mand´e ici de donner les ´equations mais de pr´esenter le contexte dans lequel de telles conditions apparaissent).
Exercice II :On consid`ere l’´equation diff´erentielle y00(x) = −2y0(x) + 1
1 +x2.
1) Combien de conditions suppl´ementaires sont n´ecessaires afin d’assurer l’unicit´e de la solution de ce syst`eme.
2) Donnez un exemple de telles conditions.
3) R´e´ecrire cette ´equation diff´erentille d’ordre 2 sous la forme d’un syst`eme diff´erentiel d’ordre 1.
4) `A l’aide de la formulation pr´ec´edente, proposez une m´ethode pour r´esoudre num´eriquement cette ´equation `a l’aide de Matlab.
Exercice III :Ecrire une boucle Matlab permettant de calculer de mani`ere approch´ee la valeur de l’int´egrale
I = Z b
a
f(x)d x
par la m´ethode de Simpson.f est ici une fonction donn´ee (i.e. d´ej`a programm´ee dans un fichier f.m). On rappelle la formule de Simpson :
ISimpson = b−a
6n (f(x0) + 4f(x1) + 2f(x2) + 4f(x3) +· · ·+ 2f(x2n−2) + 4f(x2n−1) +f(x2n)).
