Université Pierre et Marie Curie Paris VI LM368-Analyse Complexe II
EXAMEN DE 8 JUIN 2010 Durée 2 heures
Les calculatrices et les documents sont interdits. Les exercices sont indépendents et ne sont pas classés par ordre de di¢ culté. Aucun point ne sera
attribué pour les a¢ rmations non-justi…ées.
Exercice 1
a) Déterminer une transformation homographiqueT :S!Stelle que T(@D) =fz2C: Rez= 0g [ f1g
oùDdésigne le disque unité et Sla sphère de Riemann.
b) En déduire une transformation conforme f :D! fz2C: Rez >0g et une transformation conformeF :D! fz2C: Rez >0; Imz >0g.
Exercice 2 Soit
f(z) = z
z; f :C !C a) Calculer @f@z.
b) Montrer que pourz2C …xé la fonction
w7! 1
z w
@f
@z est intégrable sur tout compact deC.
c) En déduire que
z z = 1
2 i Z
@D ( z)d + 1 2 i
Z Z
D 2
1
z d ^d
pour toutz6= 0.
Indication. On pourra appliquer la formule de Cauchy-Pompeiu surDnD(0; "),
" >0.
Exercice 3
Soit un ouvert de Cet f 2 O( ) telle que jfj 61. On suppose quef n’est pas constante. Montrer que la suite(fn)converge uniformément sur tout compact de .
Tourner la page svp.
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Exercice 4
Soit un ouvert de C, A et B des sous ensembles localement …nis de tels que A \ B=?, A=fangn2N, B= fbngn2N. Soient (mn)n2N et (kn)n2N deux suites de nombres naturels non-nuls. Prouver qu’il existe une fonction méromorphe f sur telle que P(f) = A, Z(f) = B et pour tout n 2N, an est un pôle d’ordre mn de f et bn est un zéro d’ordre kn pour f, où P(f) (respectivementZ(f)) désignent les pôles def (respectivement les zéros def).
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