f / 2 /z Yy flà -

(1)

MÉrsonps euANTrrATlvBs ¹

ExRupx

Durée : 2 heures

Les téléphones portables do'iuent être éteints.

Barême i,ndicatif :

Erercice

1:

_lpoi,nts

Ererc'ice2:10poi,nts Ererc'ice3:8poi,nts

Univ. Paris

VIII,

2015-2016

flà ^Exercice ¹ -

On étudie la répartition des notes sur 20 obtenues par 100 étudiants à un

Yy

^examen^:

Notes 0;5 5;8 8;10i 110;141 l4;201

Effectif ⁵ ⁷⁷ 23 31 24

/7

^1.Quel ^estle pourcentage d'étudiants reçus à l'examen?

/4 ^2.

Calculer la note moyenne.

/2

Z.Déterminer la classe médiane puis Ia note médiane.

Exercice 2

-

^Danscet exercice, les questions s«tnt ind.épendantes.

/)

^1.^Posons^E

: {r

^e^1R.

^tq T# ^a

0}. Déterminer, si ils existent, le maximum, le minimum,

' Ç

_laborne supérieure et la borne inférieure de

E

dans lR.

/Z ^2.

^Soitf

@): #+#

^Calculer^les^limites^de

/(r)

^quand

r

tend veïs

-co, -4,

¹^et^*oo.

/2, ^3.

Calculer la limite

6" t/P - _" ¹² - ^ÿæ -l

^quand

r

tend vers *oo.

4.

Notons g la fonction définie sur 1R par

S@): ^r2tn(r)

^si

r )

0, et

g(r):0

si

r (

0.

Etudier la continuité et Ia dérivabilité sur IR. de Ia fonction .q.

/ 2

^5.^Posons

^h(r) ^-- f

. OOterminer l'ensembte de définition de â et calculer sa dérivée.

Euercice 3 au uerso

/z

/1

(2)

( /fl)A*"rcice

³

-

^Le^but^de^cetexercice est I'étud,e de Ia fonction

/

définie par

1. Dans cette question) on étudie la fonction auxiliaire g déflnie par

g(r) : '+ ^{^T1}

^2ln2

/ t ^(a)

Déterminer l'ensemble de déflnition de g, et calculer les limites de

g(r)

aux bornes

/ t

/Jl _{de cet}_cnsemble.

/O 9 ^(b)

^calculer^1a^dérivée^{de s.}

/0 5 ^(c)

^Dresscr^Ie^tableau^de^variation^de^g.

1t.5 ^(d) Endéduirequeg(r) (0pour *<T,ets(r) )0pour n>|

2.

On revient maintenant à la fonction

/

^déflnie^{au début}de l'exercice.

/O.5

^{@) Quel}est I'ensemble de définition de

f

^?

,/0,5 ^(b)

Déterminer les limites de

/(r)

^auxbornes de son ensemble de définition.

/L (c)

Calculer la dérivée de

/

^sur]â,

+*[.

/ , ^(d)

^Dresser^le^tableau^de^variation^de

/

^et^préciser^leséventuelles asymptotes horizon-

/4

tales ou verticales.

..

^(e)Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de

/

^{au point}

/4 d'abscisser:r.

/*5$)

^Démontrer^queI'équation f

(r):2

admet une unique solution, et la déterminer à

- _IU-'

_pres.

T@): _ÿ "* ffi

f / 2 /z Yy flà -

ExRupx

1:

VIII,

flà Exercice 1 -

Yy

/7

/4 2.

/2

-

/)

: {r

tq T# a

' Ç

E

/Z 2.

@): #+#

/(r)

r

-co, -4,

/2, 3.

6" t/P - " 12 - ÿæ -l

r

4.

S@): r2tn(r)

r )

g(r):0

r (

/ 2

h(r) -- f

/z

( /fl)A*"rcice

-

/

g(r) : '+ ^T1

/ t (a)

g(r)

/ t

/O 9 (b)

/0 5 (c)

1t.5 (d) Endéduirequeg(r) (0pour *<T,ets(r) )0pour n>|

2.

/

/O.5

f

,/0,5 (b)

/(r)

/L (c)

/

+*[.

/ , (d)

/

/4

..

/

/4 d'abscisser:r.

/*5$)

(r):2

- IU-'

T@): ÿ "* ffi

flà ^Exercice ¹ -

/4 ^2.

^tq T# ^a

/Z ^2.

/2, ^3.

6" t/P - _" ¹² - ^ÿæ -l

S@): ^r2tn(r)

^h(r) ^-- f

g(r) : '+ ^{^T1}

/ t ^(a)

/O 9 ^(b)

/0 5 ^(c)

1t.5 ^(d) Endéduirequeg(r) (0pour *<T,ets(r) )0pour n>|

,/0,5 ^(b)

/ , ^(d)

- _IU-'

T@): _ÿ "* ffi