b) En déduire: i) une transformation conformef :fz2C: Imz <Rezg !D

Université Pierre et Marie Curie Paris VI LM368-Analyse Complexe II

EXAMEN DE 24 JUIN 2010 Durée 2 heures

Les calculatrices et les documents sont interdits. Les exercices sont indépendents et ne sont pas classés par ordre de di¢ culté. Aucun point ne sera

attribué pour les a¢ rmations non-justi…ées.

Exercice 1

a) Déterminer une transformation homographiqueT :S!Stelle que T(fz2C: Rez= Imzg [ f1g) =@D

oùDdésigne le disque unité et Sla sphère de Riemann.

b) En déduire:

i) une transformation conformef :fz2C: Imz <Rezg !D; ii) une transformation conformeg: fz2C: 0<Rezg !D;

iii) une transformation conformeh:fz2C: 0<Imz <Rezg !D. Exercice 2

Soitu:D!Rharmonique.

a) Prouver que pour tour0< r <1.

u(0) = 1 2

Z 2 0

u reⁱ d :

Indication. On pourrait utiliser la formule intégrale de Cauchy.

On suppose queu(0) = 0.

b) En déduire que pour tour0< r <1.

sup

jzj=r

u(z)>0et inf

jzj=ru(z)60.

c) En déduire que0n’est pas un zéro isolé deu.

Exercice 3 On considèreA= n¹⁼⁴ _n

2N .

a) Déterminer l’ensemble des pointsz2Ctel que Y

n2N

1 _n1=4^z soit con- vergent .

Pour une fonctionf, on désigne parZ(f)l’ensemble des zéros def. b) Ecrire sous la forme d’un produit in…ni une fonctionf 2 O(C)telle que Z(f) =A, chaque point deAétant un zéro simple de f.

c) Est-ce qu’on peut trouver une fonction g 2 O(C) telle Z(g) = B où B= n ¹⁼⁴ _n

2N ?

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