ENS Lyon Alg`ebre 1
L3 2007-2008
Corrig´e des exercices 12, 13, 14 (planche 2)
Exercice 12
SiA est un corps, x= 0 convient. Sinon, soitx0 ∈A tel que N(x0) = min{N(x)>0/ x /∈A∗}.
Notons π:A→A/(x) la projection canonique. Soit un ´el´ement π(y) de A/(x). Alors y ∈ A s’´ecrit sous la forme y = qx0 +r, avec r = 0 ou N(r) < N(x0). Ceci force r= 0 ou r∈A∗. De plus on a bien y∈r+ (x), donc π(y) = π(r).
Montrons que tout ´el´ement non nulπ(y) deA/(x)est inversible : il exister∈A∗∪{0}
tel que π(y) = π(r). En particulier,r 6= 0, donc r est inversible et π(y)π(r−1) = 1.
Exercice 13
1. Il est imm´ediat que N est multiplicative, et que N(u+vα) = (u+v/2)2+ (v√
19/2)2 =u2 +uv+ 5v2.
Si x=u+vα est une unit´e de A, alors il existe y∈A tel que xy = 1 et donc en passant `a la norme, N(x) est un inversible (positif) de Z. Ainsi N(x) = 1, ce qui force v = 0 et u=±1.
R´eciproquement, siN(x) = 1, on ax=±1 qui est une unit´e deA. Finalement : x est une unit´e de A ssi N(x) = 1, ssi x=±1.
2. Consid´erons l’application Z[X] 3 P 7→f P(α) : elle est `a valeurs dans A (car α2 = α −5, et par r´ecurrence toutes les puissances de α sont dans A), et c’est un morphisme d’anneau. Son noyau {P ∈ Z[X]/ P(α) = 0} est l’id´eal (X2−X+5) (faire la division euclidienne parX2−X+5). D’apr`es le th´eor`eme de factorisation (pour des anneaux), f passe au quotient en un isomorphisme de Z[X]/(X2−X+5) dans A.
Si B est un anneau et g : A → B un morphisme d’anneaux, alors b = g(α) convient car b2 − b+ 5 = g(α2 − α+ 5) = 0. R´eciproquement, si b v´erifie b2−b+ 5 = 0, posons g(u+vα) =u+vb:g est bien d´efinie car tout ´el´ement de As’´ecrit de fa¸con unique sous la forme u+vα, et on v´erifie facilement que g est un morphisme d’anneaux.
L’´equationx2−x+ 5 = 0 n’ayant pas de solutions dansZ/2ZetZ/3Z, il n’existe pas de morphisme de A dans Z/2Z ni dansZ/3Z.
3. Supposons par l’absurde que A est euclidien. D’apr`es l’exercice 12, il existe x ∈ A non inversible tel que A/(x) soit un corps et il existe une surjection de A∗ ∪ {0} → A/(x). Or A∗∪ {0} = {−1; 0; 1}, donc A/(x) est un corps `a 2 ou 3 ´el´ements. Cela donne un morphisme surjectif de A sur F2 ou F3, ce qui contredit la question pr´ec´edente. AinsiA n’est pas euclidien.
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Exercice 14
1. Soit a, b ∈ A et z = a/b = u+vα avec u, v ∈ Q. On cherche q = k +lα (k, l∈Z) tel que N(z−q)<1 ouN(2z−q)<1. On aN(z−q) = (u−k)2+ (u−k)(v−l) + 5(v−l)2.
Premier cas : dist(v,Z) ≤ 1/3. Alors comme dist(u,Z) ≤ 1/2, on obtient en prenant k (resp. l) l’entier le plus proche de u (resp. de v) :
N(z−q)≤ 1 4 +1
6 + 51 9 <1.
Deuxi`eme cas : dist(v,Z) > 1/3. Alors 2z = 2u+ 2vα, et dist(2v,Z) ≤ 1/3 puisque
[v] +1
3 < v <[v] + 2
3 =⇒2[v] +2
3 <2v <2[v] + 1 + 1 3.
On est donc ramen´e au cas pr´ec´edent, en prenant k (resp. l) l’entier le plus proche de 2u (resp. de 2v).
2. L’anneauA/(2) est isomorphe `aZ/2Z[X]/(X2−X+5). OrX2−X+ 5 est de degr´e 2, sans racine dans Z/2Z, il est donc irr´eductible, donc premier dans l’anneau factoriel Z/2Z[X]. Puisque Z/2Z est un corps, Z/2Z[X] est principal et donc l’id´eal (X2 −X+ 5) est maximal. Ainsi Z/2Z[X]/(X2−X+5) est un corps, donc A/(2) est un corps et (2) est maximal.
3. Soit b qui minimise {N(x)>0/x∈I}: montrons que I = (b). Soita∈I. Premier cas : il existe q, r ∈ A tels que soit r = 0, soit N(r) < N(b), et a =bq+r. Comme a∈ I etb ∈ I, on a r ∈I ce qui par d´efinition de b force r = 0 : d’o`u a=bq ∈(b).
Deuxi`eme cas : il existeq, r∈A tels que soitr = 0, soitN(r)< N(b), et 2a = bq+r. De nouveaur = 0, c’est-`a-dire 2a=bq. Comme l’id´eal (2) est maximal donc premier, 2 est premier dans A et (lemme de Gauss) n´ecessairement 2 divise b ou q.
Si 2 divise q, alors 2a=bq = 2bqq0 ie a =bq0 ∈(b).
Sinon, b = 2b0 et donc a = b0q, o`u N(b0) < N(b). Montrons que c’est impos- sible : il suffit en fait de montrer que b0 ∈ I. Puisqu’on a suppos´e que 2 ne divise pas q ie q /∈ (2), on a (q,2) = A car (2) est maximal. Ainsi il existe x, y ∈A tels que 1 = qx+ 2y, et
b0 =xqb0+ 2yb0 =xa+yb∈I : contradiction.
Finalement a ∈(b).
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