Exercices de routine Exercice # 1. Montrer que

Université Claude Bernard Lyon 1 Licence de mathématiques 3 ^e année

Mesure et intégration Année 2020–2021

Devoir maison # 2

– à rendre le vendredi 18 décembre 2020 –

Exercices de routine Exercice # 1. Montrer que

Z 1

0

1

x ^x dx = X

n≥1

1 n ⁿ .

On pourra utiliser le développement en série de l’exponentielle.

Exercice # 2. Soit µ une probabilité sur B R . Pour x ∈ R et y > 0, soit H _µ (x, y) := 1

π Z

R

y

y ² + (x − t) ² dµ(t).

Le but de cet exercice est de montrer que si H _µ = H _ν , alors µ = ν.

a) Montrer que H µ est continue.

b) Soit x ∈ R . Déterminer lim

y&0 y H _µ (x, y).

c) Soient a < b deux réels. Déterminer lim

y&0

Z b

a

H _µ (x, y) dx.

On pourra s’inspirer de la preuve du théorème 7.12 et utiliser le théorème de convergence dominée.

d) Soit ν une autre probabilité sur B R . On suppose que H _µ = H _ν . Montrer que µ = ν.

On pourra utiliser la proposition 4.23.

Exercice # 3. (Mesure superficielle) Si S ⊂ R ³ , nous définissons la mesure superficielle (aire) A (S) de S par

A (S) := lim

ε→0+

1

2ε ν ₃ ({x ∈ R ³ ; dist(x, S) ≤ ε})

(si l’ensemble {x ∈ R ³ ; dist(x, S) ≤ ε} est borélien pour tout ε > 0 suffisamment petit, et si la limite existe). Calculer A (S) si :

a) S est une sphère euclidienne.

b) S est un compact contenu dans R ² × {0} (identifié à R ² ).

Pour la question b), on pourra établir une inclusion de la forme {x ∈ R ³ ; dist(x, S) ≤ ε} ⊂ K _ε × [−ε, ε],

avec K _ε ⊂ R ² convenable.

Exercice # 4. (Calcul d’intégrales oscillantes) Pour 0 < a < 2, soit I(a) :=

Z ∞

0

sin x

x ^a dx (intégrale généralisée).

a) En établissant et utilisant l’identité 1

x ^a = 1 Γ(a)

Z ∞

0

t ^a−1 e ^−xt dt, ∀ a > 0, ∀ x > 0, montrer que

I(a) = 1 Γ(a)

Z ∞

0

t ^a−1 t ² + 1 dt.

On pourra partir de légalité Z ∞

0

sin x

x ^a dx = lim

A→∞

Z A

0

sin x x ^a dx

et utiliser une estimation connue pour les intégrales généralisées de la forme Z ∞

A

sin x f(x) dx.

b) En se ramenant à un calcul de fonction Bêta d’Euler, montrer que I(a) = Γ(a/2) Γ(1 − a/2)

2 Γ(a) .

Indication : faire le changement de variable t = x

1 − x 1/2

.

Exercice # 5. (Théorème d’Egoroff (ou Egorov)) Soit (X, T , µ) un espace mesuré, avec µ finie. Soient f _n , f : X → R des fonctions mesurables telles que f _n → f (convergence simple). Le théorème d’Egoroff affirme que f _n → f « presque uniformément », au sens suivant :

∀ ε > 0, ∃ C ∈ T tel que µ(C) < ε et f n → f uniformément sur X \ C. (1) (La convergence uniforme reviendrait à C = ∅.)

Prouver ce résultat comme suit.

Soit (N _k ) k≥1 ⊂ N . Posons A _k,N

:=

x ∈ X ; |f _n (x) − f(x)| < 1

k , ∀ n ≥ N _k

, B := \

k≥1

A _k,N(k) .

(L’ensemble B dépend à la fois de la suite (f _n ) _n et de la suite (N _k ) _k .) a) Montrer que A _k,N

, B ∈ T .

b) Montrer que f _n → f uniformément sur B .

c) Montrer que, pour tout k ≥ 1, il existe N _k tel que µ(X \ A _k,N

) < ε/2 ^k .

d) Pour N _k comme dans la question précédente, montrer que µ(X \ B) < ε. Conclure.

Exercice # 6. (Lemme de Brezis-Lieb) Préliminaire. Un cas particulier du lemme de Fatou est le suivant.

Soit (X, T , µ) un espace mesuré. Si f _n ≥ 0 est mesurable, ∀ n, et f _n → f , alors Z

f ≤ lim inf

n

Z

f _n . Le lemme de Brezis-Lieb, qui s’applique à des situations plus générales, permet, dans ce cas particulier, de

« mesurer » l’écart entre Z

f et lim inf

n

Z f _n .

Dans ce qui suit, les fonctions f _n : X → R sont supposées mesurables, avec (X, T , µ) mesuré.

a) Supposons f _n → f et f _n , f intégrables. Montrer que Z

|f _n | = Z

|f | + Z

|f _n − f | + o(1) quand n → ∞. ¹ On pourra commencer par établir l’inégalité

−|f | ≤ |f _n | − |f _n − f| ≤ |f |

et utiliser le théorème de convergence dominée.

b) De même si f _n , f sont intégrables et f _n → f p. p.

c) En déduire le corollaire suivant : si u _n , u sont des fonctions mesurables positives telles que u _n → u p. p., et si

Z

u n → Z

u < ∞, alors Z

|u n − u| → 0.

d) (Attention, hypothèse inhabituelle concernant p) Soit 0 < p < 1. En reprenant la preuve de a), montrer le résultat suivant. Si f _n → f et

Z

|f _n | ^p < ∞, Z

|f| ^p < ∞, alors Z

|f _n | ^p = Z

|f | ^p + Z

|f _n − f | ^p + o(1) quand n → ∞. (2)

Exercice #7. Soit (X, T , µ) un espace mesuré et (f _n ) n≥0 une suite décroissante de fonctions µ-intégrables qui convergent vers 0 simplement. Montrer que

X

n≥0

(−1) ⁿ Z

f _n =

Z X

n≥0

(−1) ⁿ f _n .

On pourra utiliser la preuve du théorème de Leibniz sur les séries alternées.

Exercice # 8. Dans ce qui suit, z ₁ , . . . , z _n sont des nombres complexes. Le problème que nous étudions est le suivant : montrer qu’il existe J ⊂ J 1, . . . , n K tel que la somme

S _J :=

X

j∈J

z _j

soit « grande ». Précisons d’abord le problème. Nous avons S _J ≤ X

j∈J

|z _j | ≤

n

X

j=1

|z _j | := S,

et donc S _J ne peut pas dépasser S. Nous nous proposons de montrer qu’il existe J tel que « S _J soit une partie significative de S ».

Je ne connais pas la réponse à la question c) (et elle n’est pas demandée). Les questions d) et e) sont indépendantes de a) et b).

Clairement, pour n = 1 le meilleur choix est de prendre J := {1}, et dans ce cas S 1 = S = |z 1 |.

Étudions le cas n ≥ 2.

a) Si n = 2, montrer qu’il est possible de choisir J tel que S _J ≥ 1

2 S = 1 2

2

X

j=1

|z _j |,

et que la constante 1

2 est la meilleure possible.

1. Rappelons que o(1) quand n → ∞ désigne une suite (c

) telle que lim

n→∞

c

= 0.

b) Si n = 3, montrer qu’il est possible de choisir J tel que S _J ≥ 1

3 S = 1 3

3

X

j=1

|z _j |,

et que la constante 1

3 est la meilleure possible.

c) (Je ne connais pas la réponse) Quelle est la meilleure constante si n = 4 ? En tout cas, elle n’est pas 1 4 . En effet, nous allons montrer le résultat suivant.

∀ n ∈ N ^∗ , ∀ z 1 , . . . , z n ∈ C , ∃ J ⊂ J 1, n K tel que S J ≥ 1

π S. (3)

Dans ce qui suit, le produit scalaire des nombres complexes h , i est le produit scalaire usuel dans R ² . d) Soit ω = e ^ıt un nombre complexe de module 1. Posons

J t := {j ∈ J 1, n K ; hz j , ωi ≥ 0}.

(Donc J t contient les j tels que l’angle entre z j et ω soit ≤ π/2.) Montrer que

X

j∈J

z j

≥ X

j∈J

hz j , ωi =

n

X

j=1

hz j , ωi + . (4)

Rappelons que x ₊ est la partie positive de x : x ₊ :=

( x, si x ≥ 0 0, si x < 0 . e) Calculer

Z 2π

0 n

X

j=1

hz _j , e ^ıt i ₊ dt et obtenir (3) grâce à (4).

Exercice # 9. (Intégration par parties (I)) Nous travaillons dans ([0, ∞[, B [0,∞[ , ν 1 ). Soient f, g ∈ L ¹ . Soient F (x) :=

Z

[0,x]

f (t) dt, G(x) :=

Z

[0,x]

g(t) dt, ∀ x ≥ 0.

a) Montrer que F et G sont bien définies.

b) Montrer que F et G sont continues et bornées.

Pour la continuité, on pourra s’inspirer de la preuve du théorème 7.12, variante p. p.

c) Montrer la formule d’intégration par parties Z ∞

0

F (x)g(x) dx = Z ∞

0

f (x) dx Z ∞

0

g(x) dx − Z ∞

0

f(x)G(x) dx.

Exercice # 10. (Intégration par parties (II)) Nous travaillons dans ( R , B R , ν ₁ ) et ( R ⁿ , B R

, ν _n ).

a) Soit g ∈ C( R ) intégrable. Montrer qu’il existe une suite (R _j ) _j ⊂ [0, ∞[ telle que R _j → ∞, g(R _j ) → 0 et g(−R _j ) → 0.

On pourra commencer par montrer que lim

j→∞

Z

[j≤|x|≤j+1]

|g| = 0, et montrer que l’on peut choisir

R _j ∈]j, j + 1[.

b) Soit h ∈ C ¹ ( R ), avec h et h ⁰ intégrables.

(i) Montrer que Z

R

h ⁰ = 0.

(ii) Montrer que, pour tout η ∈ R , Z

R

e ^−ıxη h ⁰ (x) dx = ıη Z

R

e ^−ıxη h(x) dx.

c) Soit f ∈ C ¹ ( R ⁿ ), avec f et ∂f

∂x ₁ intégrables. Montrer que, pour tout ξ ∈ R ⁿ , Z

R

e ^−ıx·ξ ∂f

∂x ₁ (x) dx = ıξ ₁ Z

R

e ^−ıx·ξ f (x) dx.

d) Soient f, g ∈ C ¹ ( R ⁿ ) et 0 < M < ∞. Proposer et montrer une formule de la forme Z

[−M,M ]

∂f

∂x ₁ (x)g(x) dx = Z

[−M,M ]

h(x ₂ , . . . , x _n ) d(x ₂ , . . . , x _n )

− Z

[−M,M ]

f(x) ∂g

∂x ₁ (x) dx.

e) Soient f, g ∈ C ¹ ( R ⁿ ) bornées telles que f, g, ∂f

∂x ₁ , ∂g

∂x ₁ soient intégrables. Montrer que Z

R

∂f

∂x 1

(x)g(x) dx = − Z

R

f (x) ∂g

∂x 1

(x) dx.

Exercices avancés

Exercice # 11. (Unicité des mesures à la Lebesgue) I. Soit (X, d) un espace métrique tel que

B X ⊗ B X = B X×X (5)

(nous verrons en partie II de l’exercice une condition suffisante pour la validité de (5)).

Exemple : X = R ⁿ muni de l’une des métriques induites par une norme k k.

Une mesure borélienne µ sur X est uniformément répartie si elle satisfait la condition suivante :

∀ x, y ∈ X, ∀ r > 0, 0 < µ(B(x, r)) = µ(B(y, r)) < ∞.

Le but de cet exercice est de montrer que deux mesures uniformément réparties sont proportion- nelles.

En admettant cette conclusion, nous obtenons une autre caractérisation de la mesure de Lebesgue (voir l’item i) ci-dessous).

Soient µ et ν deux mesures uniformément réparties. Soient g(r) := µ(B(x, r)), h(r) := ν(B (x, r)),

∀ r > 0 (ces fonctions dépendent de r, mais pas de x ∈ X).

Dans ce qui suit, U désigne un ouvert non vide et borné de X.

a) Montrer que µ et ν sont σ-finies.

b) Montrer que 0 < µ(U) < ∞ et 0 < ν(U ) < ∞.

c) Montrer que V := {(x, y) ; x, y ∈ U, d(x, y) < r} est un borélien de X × X.

d) Montrer que

U 3 x 7→ ν(U ∩ B (x, r))

est borélienne.

e) Montrer que Z

U

ν(U ∩ B (x, r)) dµ(x) = Z

U

µ(U ∩ B(y, r)) dν(y).

(On pourra calculer µ ⊗ ν(V ).) f) Montrer que

µ(U ) = lim

r&0

1 h(r)

Z

U

(ν(U ∩ B(x, r))) dµ(x), ν(U ) = lim

r&0

1 g(r)

Z

U

(µ(U ∩ B(y, r))) dν(y).

g) En déduire qu’il existe un réel 0 < C < ∞ (indépendant de U) tel que µ(U) = C ν(U ).

h) Conclure.

i) Soit d la distance induite par une norme sur R ⁿ . Montrer l’équivalence suivante : (i) µ est uniformément répartie sur B R

.

(ii) Il existe 0 < C < ∞ telle que µ = C ν _n .

II. Nous donnons ici une condition suffisante pour la validité de (5), condition qui est satisfaite en parti- culier par R ⁿ avec l’une de ses métriques usuelles.

Voici une question d’échauffement.

a) Montrer que, si (X, d) et (Y, δ) sont des espaces métriques arbitraires, alors B X ⊗ B Y ⊂ B X ×Y . (Penser à la preuve de l’inclusion B _R

⊗ B _R

⊂ B _R

.)

Donc si une inclusion pose problème dans la vérification de (5), il s’agit de B X×Y ⊂ B X ⊗ B Y . En général, cette inclusion est fausse, mais donner un contre-exemple dépasse le cadre de cet exercice.

Un espace métrique (X, d) est séparable s’il existe un ensemble a. p. d. A ⊂ X dense dans X, donc tel que A = X.

b) Montrer que R ⁿ est séparable.

c) Si X est séparable, montrer que pour tout ouvert U nous avons

U = [

a∈A,r∈ Q B(a,r)⊂U

B(a, r).

d) Si (X, d) et (Y, δ) sont séparables, montrer que X × Y est séparable.

e) Si (X, d) et (Y, δ) sont séparables, montrer que les ouverts de X × Y appartiennent à B X ⊗ B Y . f) En déduire que, si (X, d) et (Y, δ) sont séparables, alors B X ⊗ B Y = B X ×Y .

Cas particulier : B R

× B R

= B _R

.

Exercice #12. (Dérivée de l’intégrale) Nous travaillons dans ([0, ∞[, B [0,∞[ , ν ₁ ). Soit f ∈ L ¹ . Soit F (x) :=

Z

[0,x]

f (t) dt, ∀ x ≥ 0.

Soit g ∈ C([0, ∞[).

a) Montrer que [0, ∞[3 x 7→ h(x) :=

Z

[0,x]

g(t)f (x − t) dt est continue.

Indication : on pourra utiliser un changement de variable.

b) Montrer que x 7→

Z x

0

g (t)F (x − t) dt est de classe C ¹ , de dérivée h.

Indication : on pourra partir de la définition de la dérivée, et considérer le taux d’accroissement Z x+ε

0

g(t)F (x + ε − t) dt − Z x

0

g(t)F (x − t) dt

ε , ε 6= 0, ε > −x.

Exercice # 13. (Théorème d’Orlicz) Soit I ⊂ R un intervalle ouvert non vide muni de la mesure de Le- besgue. Nous considérons une suite (e _k ) k≥0 ⊂ L ² = L ² (I) orthonormée et telle que

f =

∞

X

k=0

(f, e _k ) e _k , ∀ f ∈ L ² . (6)

a) Montrer que, pour tout f, il existe une suite extraite (N _` ) (qui en principe dépend de f ) telle que

N

X

k=0

(f, e _k ) e _k → f p. p. quand ` → ∞.

b) En déduire que, pour tout f ∈ L ² , nous avons [f (x)] ² ≤

∞

X

k=0

[(f, e _k )] ²

∞

X

k=0

[e _k (x)] ² = kf k ² _L

(I)

∞

X

k=0

[e _k (x)] ² pour presque tout x ∈ I. (7) c) En prenant, dans (7), f := χ _A , avec A convenable, en déduire le théorème d’Orlicz : pour presque tout

x ∈ I nous avons P

k [e k (x)] ² = ∞.

Indication : commencer par l’ensemble B j :=

(

x ∈ I ; X

k

[e k (x)] ² ≤ j )

, j ∈ N ^∗ ,

et utiliser l’exercice # 47 de la feuille #2 pour construire A.

Exercice # 14. (Inégalités de Nikolski’˘ı) Nous travaillons dans ( R ⁿ , B R

, ν n ).

Soit f : R ⁿ → R . Nous faisons l’hypothèse

f ∈ L ¹ ( R ⁿ ), (8)

qui permet de considérer la transformée de Fourier f b de f . L’hypothèse essentielle est

f b (ξ) = 0 si |ξ| ≥ R (9)

(avec 0 < R < ∞ constante arbitraire).

Sous ces hypothèses, nous nous proposons de montrer les inégalités de Nikolski˘ı directes

kf k _L

≤ C ₁ R ^n(1/p−1/r) kf k _L

, ∀ 1 ≤ p ≤ r ≤ ∞, (10)

k∂ _j f k _L

≤ C ₂ R n(1/p−1/r)+1 kfk _L

, ∀ 1 ≤ p ≤ r ≤ ∞, ∀ j ∈ J 1, n K , (11)

où C ₁ , C ₂ sont des constantes finies qui peuvent dépendre de n, p et r, mais pas de f ou R. Au passage,

sous les hypothèses (8) et (9), nous montrerons que f ∈ C ¹ .

Sous l’hypothèse plus forte (12), f b (ξ) = 0 si |ξ| ≥ R ou si |ξ| ≤ R

2 , (12)

nous avons également l’inégalité de Nikolski˘ıinverse, énoncée et prouvée, par souci de simplicité, uniquement si n = 1 :

kf k _L

≤ C ₃ R ^{1/p−1/r−1} kf ⁰ k _L

, ∀ 1 ≤ p ≤ r ≤ ∞, (13)

où C 3 est une constante finie qui peut dépendre de p et r, mais pas de f ou R.

Voici la démarche proposée pour montrer (10), (11) et (13).

a) (Argument de changement d’échelle) En supposant l’une de trois inégalités vraie pour R = 1, elle est vraie pour tout R. Voici l’argument pour (10). Soit f une fonction vérifiant (8) et (9). Soit (avec les notations de l’exercice #1 a) de la feuille #9) g := f _R .

(i) Montrer que g vérifie les hypothèses (8) et (9), la dernière pour R = 1.

(ii) En appliquant (10) (supposée vraie si R = 1) à g, et en calculant kgk _L

, respectivement kgk _L

en fonction de kfk _L

, respectivement kfk _L

, obtenir (10) pour f.

b) Vérifier que la même démarche est valide pour (11) et (13).

c) (Preuve de (10) si R = 1)

(i) Montrer qu’il existe ϕ ∈ C _c ^∞ ( R ⁿ ) telle que ϕ(ξ) = 1 si |ξ| ≤ R.

(ii) Montrer qu’il existe ψ ∈ L ¹ ( R ⁿ ) telle que ψ b = ϕ.

(iii) Montrer que, de plus, ψ ∈ L ^∞ ( R ⁿ ).

(iv) Montrer que ψ ∈ L ^q ( R ⁿ ), ∀ 1 ≤ q ≤ ∞.

(v) Soit f vérifiant (8) et (9) avec R = 1. Montrer que f = f ∗ ψ. Indication : prendre la transformée de Fourier dans cette égalité.

(vi) Si 1 ≤ p, q, r ≤ ∞ sont tels que 1 + 1 r = 1

p + 1

q , montrer que kf k _L

≤ kψk _L

kfk _L

. (vii) Conclure.

d) (Preuve de (11) si R = 1)

(i) Montrer successivement que ψ ∈ C ¹ ( R ⁿ ), ∂ _j ψ ∈ L ¹ , ∂ _j ψ

V

(ξ) = ıξ _j ϕ(ξ), ∂ _j ψ ∈ L ^∞ ( R ⁿ ), et

∂ _j ψ ∈ L ^q ( R ⁿ ), ∀ 1 ≤ q ≤ ∞, ∀ j ∈ J 1, n K .

(ii) Montrer que f ∈ C ¹ ( R ⁿ ) et que ∂ _j f = f ∗ ∂ _j ψ, ∀ j ∈ J 1, n K . (iii) Conclure.

e) (Preuve de (13) si R = 1) D’après les questions précédentes, nous savons que f ∈ C ¹ ( R ) et que f ⁰ ∈ L ^p ( R ) (et, par ailleurs, que f ⁰ ∈ L ¹ ( R )). Il reste à montrer (13).

(i) Montrer qu’il existe ζ ∈ C _c ^∞ ( R ) telle que ζ (ξ) = 1

ıξ , ∀ ξ ∈ R tel que 1

2 ≤ |ξ| ≤ 1.

(ii) Montrer qu’il existe η ∈ L ¹ ( R ) telle que η b = ζ.

(iii) Montrer que f = f ⁰ ∗ η.

(iv) Conclure, sur le modèle des questions précédentes.