2) Montrer que µ(A

Universit´e des Sciences et Technologies de Lille U.F.R. de Math´ematiques Pures et Appliqu´ees

IFP Ann´ee 2003-04

Devoir n^o2 (nouvelle version)

A rendre dans la semaine du 10 novembre 2003`

Ex 1. Soit (Ω,F, µ) un ensemble mesur´e. Soit (E_n)n∈N une suite d’´el´ements de F telle que

X

n∈N

µ(E_n)<+∞.

Notons :

A ={ω ∈Ω, ω appartient `a une infinit´e de E_n}.

1) Exprimer A en fonction desE_n. 2) Montrer que µ(A) = 0.

Ex 2. On note λ la mesure de Lebesgue sur R. Soit A l’ensemble des r´eels x pour lesquels il existe une infinit´e de couples d’entiers (p, q)∈N×N^∗ tels que

x−p q

≤ 1 q³

Le but de cet exercice est de montrer que λ(A) = 0.

1) V´erifier que A contient l’ensemble Q⁺ des rationnels positifs. A est donc une partie infinie deR.

2) V´erifier que A est un bor´elien deR en traduisant sa d´efinition `a l’aide d’op´era- tions ensemblistes d´enombrables faisant intervenir les intervalles

I_p,q :=

p q − 1

q³,p q + 1

q³,

o`u p∈Net q∈N^∗.

3) Montrer que λ(A) = 0 si et seulement si λ(B) = 0 avecB = [0,1[∩A.

4) Pour q∈N^∗, on d´efinit :

B_q := [0,1[∩ [

p∈N

I_p,q

! .

Montrer quex∈[0,1[ est dansB si et seulement sixappartient `a une infinit´e d’ensembles B_q.

I.F.P. 2003–04, D.M. 2 F. Recher, S. Delaunay

5) Montrer que

λ(B_q)≤ 2(q+ 2) q³ .

6) En utilisant l’exercice pr´ec´edent, montrer queλ(B) = 0.

7) On se propose de montrer que A n’est pas d´enombrable. Pour cela, on fixe une suite d’entiers (j_k)k≥1 telle que pour tout k≥1,j_k+1 >3j_k (par exemple la suite d´efinie par jk= 4^k a cette propri´et´e). On note C l’ensemble des r´eelsx pouvant s’´ecrire sous la forme

x=

+∞

X

k=1

a_k

2^jk, (a_k)k≥1 ∈ {0,1}^N∗.

Montrer queC est inclus dans A et qu’il est en bijection avec {0,1}^N∗. Conclure.

Ex 3. Soit (Ω,F, µ) un espace mesur´e tel que 0 < µ(Ω) < +∞. On dit qu’un

´ev´enementA de mesure non nulle est un atome de (Ω,F, µ) si

∀B ∈F, B ⊆A=⇒µ(B) = 0 ou µ(B) =µ(A).

On pourra utiliser le r´esultat suivant, cons´equence directe de la formule de Poincar´e : si A₁, . . . , A_n d´esignent n (≥ 2) ´ev´enements dont les intersections deux `a deux sont µ-n´egligeables, alors

µ(A₁∪ · · · ∪A_n) =µ(A₁) +· · ·+µ(A_n).

1) D´emontrer que l’on d´efinit une relation d’´equivalence ∼dans F en posant :

∀A, B ∈F, A∼B ⇐⇒ µ(A∆B) = 0.

D´emontrer qu’alorsµ(A) =µ(B).

2)

2.a) D´emontrer que si A est un atome de (Ω,F, µ) et si N est un ´ev´enement µ- n´egligeable, A∆N est un atome de (Ω,F, µ) ´equivalent `a A.

2.b) D´emontrer que si une classe d’´equivalence contient un atome, elle ne contient que des atomes qui ont tous la mˆeme mesure.

2.c) D´emontrer que si A etB sont deux atomes non-´equivalents, µ(A∩B) = 0.

3) On suppose que (Ω,F, µ) poss`ede au moins un atome. On choisit un repr´esentant dans chaque classe d’´equivalence form´ee d’atomes. On note (A_i, i∈I) la famille d’atomes ainsi obtenue. D´emontrer qu’elle est finie ou infinie d´enombrable.

4) On munitR de la tribu F=

B; B ∈Bor(R), B ⊇[0,1] ou B^c ⊇[0,1] ,

et l’on consid`ere la fonctionP sur F qui ne prend que les valeurs 0 et 1 et v´erifie

∀F ∈F, P(F) = 1 ⇐⇒ F ⊇[0,1].

D´emontrer que la fonction P est une probabilit´e sur (R,F) et que [0,1] est un atome de (R,F, P).

2