ULCO 2019 – 2020
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TD 2 – Anneaux de fractions et r´esultant
Exercice 1. Soit A un anneau int`egre et S une partie multiplicative de A. Montrer que l’op´eration o+: (S×A)2 →S×Adonn´ee par
o+((s1, a1),(s2, a2)) = (s1s2, s1a2+s2a1), est compatible avec la relation d’´equivalence∼d´efinie surS×Apar
(s1, a1)∼(s2, a2)⇔s2a1 =a2s1. Ceci termine la d´emonstration du Lemme 2 du cours.
Exercice 2. Soit A un anneau commutatif int`egre et S une partie multiplicative de A. Montrer que l’ensemble S−1A muni des op´erations +S−1A et ×S−1A est un anneau commutatif. Ceci termine la d´emonstration du Th´eor`eme 4 du cours.
Exercice 3. SoitAun anneau factoriel. On noteKle corps de fraction deA. Soient(n, m)un couple d’entiers naturels non nuls et
F =
n
X
i=0
aiXi et G=
m
X
j=0
bjXj,
deux polynˆomes deA[X]v´erifiantan 6= 0etam 6= 0. On noteSyl(F, G)la matrice de Sylvester deF etGetRes(F, G)le r´esultant deF etG, i.e,Res(F, G) = det(Syl(F, G)).
On poseB= (Xm−1,0),(Xm−2,0), ...,(1,0),(0, Xn−1), ...,(0,1)
etB0 = Xn+m−1, ..., X,1 . On consid`ere enfin l’application
ϕ:Km−1[X]×Kn−1[X] → Kn+m−1[X]
(U, V) 7→ F U +GV
a.Montrer queBest une base deKn−1[X]×Km−1[X].
b.Montrer queϕest une application lin´eaire.
c.Expliciter la matrice repr´esentative deϕrelativement aux basesBetB0. d.On suppose queF∧G= 1.
i.Montrer queϕest injective.
ii.En d´eduire queRes(F, G)6= 0.
e.On suppose queF∧G6= 1. Montrer queϕn’est pas injective, puis queRes(F, G) = 0.
f.En d´eduire une d´emonstration du Th´eor`eme 11 du cours.
On suppose maintenant n ≥ 2. On note F0 le polynˆome d´eriv´ee deF. Le discriminant ∆(F) est donn´ee par
∆(F) = (−1)n(n−1)2 an
Res(F, F0).
g.On suppose ici queFest de degr´e2et on poseF =aX2+bX+c. Calculer∆(F).
h.Donner une d´emonstration du Corollaire 13 du cours.
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Exercice 4. SoitAun anneau commutatif unitaire int`egre,S une partie multiplicative deAeti:A → S−1Al’homomorphisme canonique deAdansS−1A(donn´e par le Th´eor`eme 4).
a.SoitIun id´eal deA. On noteS−1I l’id´eal deS−1Aengendr´e pari(I). D´emontre queS−1Iest l’ensemble des fractionsa/saveca∈I ets∈S.
b.D´emontrer queS−1I =S−1Asi et seulement siS∩I 6=∅.
c.SoitJ un id´eal deS−1A. PosonsI =i−1(J). Montrer que l’on aS−1I =J.
d.Soit p un id´eal premier de A tel que p ∩S = ∅. D´emontrer que S−1p est un id´eal premier deS−1A.
e.Soitqun id´eal premier deS−1A. D´emontrer quep=i−1(q)est l’unique id´eal premier deAtel queS−1p=q.
f.On supposeS=A−p, o`upest un id´eal premier deA. D´emontrer que tout id´eal propre deS−1A est contenu dansS−1p. En d´eduire queS−1pest l’unique id´eal maximal deS−1A.
Exercice 5. Soit le polynˆomeX3+pX+q ∈C[X]. Quelle condition doivent v´erifierpetqpour qu’il admette une racine double ?
Exercice 6. Soitpun nombre premier etP =Xp−1+Xp−2+· · ·+X+ 1.
a.R´e´ecrireP en tenant compte de la somme d’une progression g´eom´etrique.
b.CalculerP(Y + 1).
c.En d´eduire quePest irr´eductible surQ[X].
Exercice 7. Soitpun nombre premier. Pour tout polynˆomeF ∈Z[X], on noteF son image dansFp[X].
a.Soit F ∈ Z[X]unitaire. Montrer que siF est irr´eductible dansFp[X]alorsF est irr´eductible dansZ[X].
b.PosonsF =X4+ 1.
i.Montrer queF est irr´eductible dansZ[X].
ii.Montrer queF est r´eductible dansF2[X].
On rappel, que pourp≥3, l’´el´ementaest un carr´e dansF∗psi et seulement siap−12 = 1. Et que de plusap−12 =±1pour touta∈F∗p(voir2.ddu TD1).
iii.Trouver une factorisation deX4+ 1dans le cas o`u−1est un carr´e modulop.
iv.Trouver une factorisation deX4+ 1dans le cas o`u2est un carr´e modulop.
v.Trouver une factorisation deX4+ 1dans le cas o`u−2est un carr´e modulop.
vi.Montrer qu’au moins l’un des entiers−1,2,−2est un carr´e modulop.
vii.Conclure.
c.D´emontrer que le polynˆomeX4+X+ 1est irr´eductible dansQ[X].
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